3.2.2 课时2 奇偶性的应用 课件(共16张PPT) 2024~2025学年高一数学人教A版（2019）必修第一册

(共16张PPT)
3.2.2 课时2
奇偶性的应用
学习目标
1.掌握用奇偶性求解析式的方法.
2.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式.
复习回顾
(2)图象法:
判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法:
新课讲授
偶函数在对称区间上单调性相反
奇函数在对称区间上单调性相同
单调递增区间：[-1，0]，[1，+∞)
单调递减区间：[0，1]，(-∞，-1]
单调递增区间：(-∞，-1]，[1，+∞)
单调递减区间：[-1，0]，[0，1]
归纳总结
复合函数的奇偶性
f(x) g(x) f(x)+g(x) f(x)－g(x) f(x)·g(x)
偶 偶 偶 偶 偶
偶 奇 不确定 不确定 奇
奇 偶 不确定 不确定 奇
奇 奇 奇 奇 偶
如：f偶g奇，则F(-x)=f(-x)·g(-x)
=f(x)·[-g(x)]
=﹣f(x)·g(x)
=﹣F(x)
f奇g奇，则F(-x)=f(-x)－g(-x)
= - f(x)－[-g(x)]
= - f(x)+g(x)
= - [f(x)－g(x)]
= - F(x)
例1 若函数f(x)=ax2+2bx+4a+b是偶函数，定义域为[3a，a+2]，则a+b=　 　.
-
利用奇偶性求参数的方法:
(1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a+b=0求参数.
(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式，比较系数即可求解.
归纳总结
练1.函数f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数，则m=　　　　　.
解析：根据题意f(x)=x3+(m2-1)x2+x为奇函数，则f(-x)=-f(x)，
则有(-x)3+(m2-1)(-x)2+(-x)=-[x3+(m2-1)x2+x]，
则有2(m2-1)x2=0，故m2-1=0，解得m=±1.
±1
例2 若f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，求f(x)的解析式.
解：当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)＋3＝x2＋2x＋3，
由于f(x)是奇函数，故f(x)＝－f(－x)，
所以f(x)＝－x2－2x－3.
即当x<0时，f(x)＝－x2－2x－3.
又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.
利用函数奇偶性求解析式的方法:
(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(-x)或f(-x)，从而解出f(x).
提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)=0，但若为偶函数，未必有f(0)=0.
归纳总结
例3 若对于任意实数总有，且在区间上是增函数，则( )
解：据题意得：为偶函数，且在区间上是增函数，
∴.
又∵，
∴，即.
故选B.
B
例4 已知定义在的奇函数在区间上是减函数，若，求实数的取值范围.
解：∵是定义在上的奇函数，且在区间上是减函数，
∴函数在区间上为减函数，
若，则有 ，
解得：，
即实数的取值范围是：.
练2.f(x)是定义在[－2，2]上的奇函数， 且在区间[0，2]上单调递减， 若f (m)+f (m－1)>0，求实数m的取值范围.
课堂总结
偶函数 奇函数
定义 一般地，设函数f(x)有的定义域为I，如果x∈I，都有-x∈I，即定义域关于原点对称 f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数
函数的定义域关于原点对称，是这个函数具有奇偶性的前提条件. 几何 特征 偶函数的图象关于y轴对称，即如果点(x，y)在函数的图象上，那么点(-x， y)也在函数的图像上. 奇函数的图象关于原点对称，即如果点(x，y)在函数的图象上，那么点(-x， -y)也在函数的图像上.
与单调性关系 偶函数在两个关于原点对称的区间上的单调性相反. 奇函数在关于两个原点对称的区间上的单调性相同.
拓展 偶函数对于定义域内的任意x值，都有 f(x)=f(|x|) 奇函数如果在x=0处有定义，则图象必过原点，即f(0)=0.
当堂检测
1.如果奇函数f(x)在区间[－3，－1]上单调递增且有最大值5，那么函数f(x)在区间[1，3]上( )
A.单调递增且最小值为－5 B.单调递增且最大值为－5
C.单调递减且最小值为－5 D.单调递减且最大值为－5
2.设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则( )
A
B
当堂检测
3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(-∞，0]上是增函数，且f(2)=0，则使得f(x)<0的x的取值范围是　　 　　　.
(-∞，-2)∪(2，+∞)
解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞，0]上是增函数，
所以f(x)在[0，+∞)上是减函数，
又因为f(2)=0，所以f(x)<0 f(|x|)<0=f(2)，即|x|>2，所以x>2或x<-2.