3.3 幂函数 课件（共24张PPT） 2024~2025学年高一数学人教A版（2019）必修第一册

(共24张PPT)
3.3 幂函数
学习目标
1.理解幂函数的概念，会画幂函数的图象；
2.结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质.
新课讲授
前面学习了函数的概念，利用函数概念和对函数的观察，研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.先看几个实例.
（1）如果张红以1元的价格购买了某种蔬菜，那么她需要支付元，这里是的函数；
（2）如果正方形的边长为，那么正方形的面积，这里是的函数；
（3）如果立方体的棱长为，那么立方体的体积，这里是的函数；
（4）如果一个正方形场地的面积为，那么这个正方形场地的边长，这里是的函数；
（5）如果某人内骑车行进了，那么他骑车的平均速度，即，这里是的函数.
问题1：请观察（1）—（5）中的函数解析式，讨论它们有何共同特征.
（1）； （2）； （3）；
（4），即=； （5），即.
实际上，这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1，2，3，，-1；它们都是形如的函数.
概念讲解
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
注意：(1)自变量前的系数是1.
(2)幂的系数为1.
(3)α是任意常数.
(4)函数的定义域与α有关.
例1 在函数y＝ ，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A.0 　　B.1　　 C.2 　　 D.3
B
解析：∵y＝ ＝x－2，∴是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；
y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1)，所以常函数y＝1不是幂函数.
归纳总结
幂函数的判断方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式，
即:(1)系数为1；(2)指数为常数；(3)后面不加任何项.
反之，若一个函数为幂函数，则该函数必是这种形式.
练1.已知y＝(m2＋2m－2) ＋2n－3是幂函数，求m，n的值.
练2.已知幂函数y=(k-1)xα的图象过点(2，4)，则k+α等于(　　)
D
解析：∵幂函数y=(k-1)xα的图象过点(2，4)，
∴k-1=1，2α=4，∴k=2，α=2.∴k+α=4，故选D.
问题2：根据之前所学，我们应该从哪些方面来研究幂函数？
根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题.
问题3：你能在同一坐标系下作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝x－1这五个函数的图象吗？
问题4：观察函数图象以及函数解析式，完成下表.
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定义域
值域
奇偶性
单调性
R 　 R　 R　 [0，＋∞) {x|x≠0}
R　 [0，＋∞)　 R　 [0，＋∞)　 {y|y≠0}
奇函数　 偶函数 　 奇函数 非奇非偶函数　 奇函数
增函数
在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减
增函数
在[0，＋∞)上单调递增
在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减
通过以上信息，我们可以得到：
(1)函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ 和y＝x－1的图象都通过点 ；
(2)函数y＝x，y＝x3，y＝x－1是 ，函数y＝x2是 ；
(3)在区间(0，＋∞)上，函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，函数y＝x－1 ；
(4)在第一象限内，函数y＝x－1的图象向上与y轴 ，向右与x轴_________.
(1，1)
奇函数
偶函数
单调递减
无限接近
无限接近
单调递增
注意：一般幂函数的图象特征
(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都过点(1，1).
(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增.
特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸.
(3)当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义.
(4)在(－∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限.
(5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称.
(6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列.
例2 如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取
±2，　四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为( )
B
练3.如图所示，曲线C1与C2分别是函数y=xm和y=xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是(　　)
A.nC.n>m>0 D.m>n>0
A
例3 函数f(x)=(m2-m-5)xm-1是幂函数，且在区间(0，+∞)上单调递增，试确定m的值.
解：根据幂函数的定义，得m2-m-5=1，
解得m=3或m=-2.
当m=3时，f(x)=x2在区间(0，+∞)上单调递增；
当m=-2时，f(x)=x-3在区间(0，+∞)上单调递减，不符合要求.
故m=3.
练4.如果幂函数y=(m2-3m+3) 的图象不过原点，求实数m的取值.
解：由幂函数的定义得m2-3m+3=1，解得m=1或m=2；
当m=1时，m2-m-2=-2，函数为y=x-2，其图象不过原点，满足条件；
当m=2时，m2-m-2=0，函数为y=x0，其图象不过原点，满足条件.
综上所述，m=1或m=2.
例4 比较下列各组中两个数的大小:
归纳总结
1.比较幂大小的三种常用方法
2.利用幂函数单调性比较大小时要注意的问题
比较大小的两个实数必须在同一个函数的同一个单调区间内，否则无法比较大小.
课堂总结
根据本节课所学，回答下列问题：
(1)幂函数的定义.
(2)几个常见幂函数的图象.
(3)幂函数的性质.
当堂检测
1.下列函数中不是幂函数的是( )
A.y＝ B.y＝x3
C.y＝3x D.y＝x－1
C
A
3.已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)x-m-1(m∈R)为偶函数.
(1)求 的值；
(2)若f(2a+1)=f(a)，求实数a的值.
解：(1)因为f(x)是幂函数，所以m2-5m+7=1得m=2或3.
当m=2时，f(x)=x-3是奇函数，所以不满足.
当m=3时，f(x)=x-4，满足题意，
(2)由f(x)=x-4和f(2a+1)=f(a)可得|2a+1|=|a|，