4.5.1 函数的零点与方程的解 课件（共21张PPT） 2024~2025学年高一数学人教A版（2019）必修第一册

(共21张PPT)
4.5.1 函数的零点与方程的解
学习目标
1.类比二次函数的零点推广函数零点的概念，类比二次函数的零点与二次方程的根的关系得到函数的零点与方程的解之间的关系.
2.结合二次函数的图象，经历由特殊到一般的思维过程，得出函数零点存在定理，体会用函数的观点认识方程，会利用函数判断方程是否有解.
复习回顾
判别式 >0 0 <0
y=ax2+bx+c 的图象
ax2+bx+c=0 的根
函数的图象与 x 轴的交点
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根与二次函数y= ax2+bx+c(a>0)的图象有如下关系：
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
(x1,0) , (x2,0)
没有交点
有两个相等的实数根x1 = x2
没有实数根
两个不相等的实数根x1 、x2
(x1,0)即
新课讲授
问题1：你认为方程f(x)=0的实根和对应函数的图象与x轴交点的横坐标有什么关系？
方程f(x)=0的实数根 函数y= f(x)图象与x轴交点的横坐标
这样，函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.所以：
方程f(x)=0有实数解
函数y=f(x)有零点
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
与二次函数的零点一样，对于一般函数 y=f(x)，我们把使得f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
概念讲解
思考：(1)函数的零点是点吗？
(2)函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)＝0根的个数有什么关系？
函数的零点不是点，而是实数
①数值上相等 ②存在性相同 ③个数相等
问：求函数零点的方法有哪些？
(1)代数法：若方程 f(x)=0可解，其实数根就是函数y=f(x)的零点.
(2)图象法：①若方程f(x)=0 难以直接求解，与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点.
②将其改为f(x)=g(x)- h(x)=0 ,进一步改为g(x)=h(x)，在同一坐标系中分别画出两个函数y=g(x) 和 y=h(x) 的图象，两图象交点的横坐标就是函数 y=f(x)的零点.
例1 求函数的零点.
解：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3(x＝1舍去)；
当x>0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2.
所以函数的零点为－3和e2.
以二次函数 f(x)=x2-2x-3为例，观察它的图象，发现它在区间[2, 4]上有零点.
这时，(1)函数图象与x轴有什么关系
(2)在区间[-2, 0]上是否也有这种关系
你认为应如何利用函数 f(x)的取值规律来刻画这种关系
2
1
-1
-2
1
2
0
y
x
3
-1
4
-2
(1)可以发现：①在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴.
②函数在端点x=2和x =4的取值异号，即 f(2) f(4)<0.
③函数 f(x)=x2-2x-3在区间(2，4)内有零点x =3,，它是方程x2-2x-3=0的一个根.
(2)同样地，在区间[-2, 0]上，
可以发现：①在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”x轴.
②函数在端点x=2和x =4的取值异号，即 f(-2) f(0)<0.
③函数f(x)=x2-2x-3在(-2，0)内有零点x= -1，它是方程x2-2x-3=0的另一个根.
2
1
-1
-2
1
2
0
y
x
3
-1
4
-2
观察函数的图象：
①在区间(a，b)上______(有/无)零点；f(a) f(b)_____0（＜或＞）．
②在区间(b，c)上______(有/无)零点；f(b) f(c) _____ 0（＜或＞）．
③在区间(c，d)上______(有/无)零点；f(c) f(d) _____ 0（＜或＞）
b
a
c
0
y
x
d
有
＜
有
＜
有
＜
如果函数 y=f(x) 在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，
且有 f(a) f(b)<0 ，那么函数 y=f(x)在区间 (a，b) 内有零点，
即存在 c ∈ (a，b)，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的解.
归纳总结
函数零点存在定理
理解定理，判断正误：
(1)f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点.
(2)函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.
(3)若y=f(x)满足f(a)·f(b)>0，则区间(a，b)内必无零点.
(4)f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a，b)内只有一个零点.
×
×
×
×
函数零点存在定理的三个注意点：
1 函数是连续的；
2 定理不可逆；
3 至少存在一个零点.
例2 方程3x-x2=0在区间[-1，0]上有没有解 为什么
解：设函数f(x)=3x-x2，在区间[-1，0]上有f(-1)=3-1-(-1)2=-<0，f(0)=30-02=1>0.
又∵函数f(x)=3x-x2的图象是一条连续的曲线，∴由零点存在定理可知方程f(x)=0在区间(-1，0)内有解，
即在区间[-1，0]上有解，故方程3x-x2=0在区间[-1，0]上有解.
C
B
例3 如何求方程lnx+2 x－6=0实数解的个数？
解：方法一：函数f(x)=lnx+2 x－6的定义域为(0，+∞)，
又∵f(2)=ln2+2 ×2－6<0， f(3)=ln3+2 ×3－6>0，
∴函数在定义域(0，+∞)内仅有一个零点
∴f(x)=lnx+2x-6在(0，+∞)上是增函数，
∵y=lnx和y=2x-6在(0，+∞)上都是增函数，
方法二：方程lnx+2 x－6=0实数解的个数化为f(x)=lnx和f(x)= -2x+6图象交点的个数.
2
1
-1
-2
1
2
0
y
x
3
-1
y=lnx
y= －2x+6
例3 如何求方程lnx+2 x－6=0实数解的个数？
归纳总结
1.函数零点存在定理的推论：如果函数 y=f(x) 在[a，b]上，图象是连续的，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异，即f(a)f(b)﹤0，且是单调函数，那么，这个函数在(a，b)内必有唯一的一个零点.
2.求函数零点或零点个数的方法：
(1)定义法：解方程 f(x)=0，得出函数的零点.
(2)图象法：画出y= f(x)的图象，其图象与x轴交点的横坐标.
(3)定理法：函数零点存在性定理.
解：函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，
∴原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点的个数.
在同一平面直角坐标系下，作出两函数的图象(如图).
由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点.
从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根，
即函数f(x)＝ln x＋x2－3有一个零点.
练2.求f(x)＝ln x＋x2－3的零点个数.
课堂总结
回顾本节课，说说下列三个知识点：
1.函数零点的概念
2.函数零点与方程的根的关系
3.函数零点存在性定理
当堂检测
1.对于函数f(x)，若f(－1)f(3)<0，则( )
A.方程f(x)＝0一定有一实数解
B.方程f(x)＝0一定无实数解
C.方程f(x)＝0一定有两实根
D.方程f(x)＝0可能无实数解
2.函数f(x)=3x-4的零点所在区间为(　　)
A.(0，1) B.(-1，0)
C.(2，3) D.(1，2)
C
D
当堂检测
3.若函数f(x)=2x+x-4的零点所在区间为(k，k+1)(k∈Z)，则k=(　 )
A.1 B.2
C.3 D.4
4.已知函数f(x)= g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是　　　　　　　　.
A
[-1，+∞)