4.5.2 用近似解求方程的解 课件 （共18张PPT） 2024~2025学年高一数学人教A版（2019）必修第一册

(共18张PPT)
4.5.2 用近似解求方程的解
学习目标
1.通过求具体方程的近似解了解二分法.
2.根据具体函数图象，能够借助信息技术用二分法求方程的近似解.
情境引入
受台风影响，某地出现了暴雨并伴有大风天气，造成了一段长2千米的电路发生了故障．如果你是一名维修工人如何迅速查出故障所在点？
设出现故障线路的起点和终点分别为A、B，
A
B
取中点
这种解决问题的方法就是运用了二分法的思想.
新课讲授
解：y=lnx+2x-6=0，可以等价变形为lnx= -2x+6，
在同一直角坐标系内做函数y=lnx和y=-2x+6的图象.
y=lnx
y=-2x+6
观察图象可知，y=lnx和y=-2x+6的图象交点的横坐标x0∈(2，3). 而x0就是方程lnx+2x-6=0的实数根，进而就是函数f(x)=lnx+2x-6的零点.
例1 对于函数f(x)=lnx+2x-6，我们知道它零点所在区间是（2，3），那么是否可以通过这样的方法求出来零点的近似值呢？
这只是确定了函数f(x)=lnx+2x-6的零点，即方程lnx+2x-6=0的实数根的范围，这个x0的值究竟是多少呢？
对于一个已知零点所在区间[a，b]，取其中点 c ，计算f(c)，
①如果f(c)=0，那么 c 就是函数的零点；
②如果不为0，通过比较中点与两个端点函数值的正负情况，即可由零点存在性定理判断零点是在（a，c)内，还是在（c，b)内，
从而将范围缩小了一半，以此方法重复进行……
当零点所在范围缩小到满足一定精确度的区间，区间内任意一点都可以作为零点的近似值。为了方便，常把区间的一个端点作为零点的近似值.
f(x)=lnx+2x-6
∵f(2)<0， f(3)>0∴x0∈(2，3)
2.5
∵f(2.5)<0， f(3)>0∴x0∈(2.5，3)
2.75
∵f(2.5)<0， f(2.75)>0∴x0∈(2.5，2.75)
2.5
2.5
2.75
2.625
2.5
2.625
……
∵f(2.5)<0， f(2.625)>0∴x0∈(2.5，2.625)
∵f(2.5)<0， f(2.5625)>0∴x0∈(2.5，2.5625)
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值
(2，3) 2.5 -0.084
(2.5，3) 2.75 0.512
(2.5，2.75) 2. 625 0.215
(2.5，2.625) 2.562 5 0.066
(2.5，2.5625) 2. 531 25 -0.009
(2.53125，2.5625) 2. 546 875 0.029
(2.53125，2.546875) 2. 539 062 5 0.010
(2.53125，2.5390625) 2. 535 156 25 0.001
当精确度为0.01时，因为|2.539 062 5-2.531 25|=0.007 812 5<0.01，
所以区间(2.531 25， 2.539 062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值，
也可以将x = 2.531 25作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值，也即方程
lnx+2x-6=0的近似解.
概念讲解
对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法．
是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？
不是，只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点．
练1.下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是( )
ABC
练2.已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A.4，4 B.3，4 C.5，4 D.4，3
D
归纳总结
二分法求函数y=f(x)零点的步骤：
(1) 确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2) 求区间(a，b)的中点c；
(3) 计算f(c) ；
若f(c)=0，则c就是函数的零点c ；
若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a，c))；
若f(b)·f(c)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c，b))；
(4) 判断是否达到精度ε，若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，
否则重复(2) (3) (4) ；
例2 借助信息技术，用二分法求方程 2x+3x=7函数的近似解(精确度为0.1).
解：原方程即2x+3x-7=0 ，令f(x) =2x+3x-7，用信息技术画出函数y=f(x)的图象，并列出它的对应值表.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
①观察函数图象和上表，f(1)·f(2)<0，可知零点在(1，2)内，
②取区间(1，2)的中点x1=1.5，f(1.5)≈ 0.33，
∵f(1)·f(1.5)<0，∴x0 ∈(1，1.5)，
③取区间(1，1.5)的中点x2=1.25 ，f(1.25)≈-0.87，
∵f(1.25)·f(1.5)<0，∴x0∈(1.25，1.5)，
④同理可得x0∈(1.375，1.5)，
⑤同理可得x0∈(1.375，1.437 5)，
由于|1.375-1.437 5|=0.062 5<0.1，满足精确度
所以，原方程的近似解可取区间端点值为1.437 5.
例2 借助信息技术，用二分法求方程 2x+3x=7函数的近似解(精确度为0.1).
例3 一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测( )
A.4次 B.6次 C.8次 D.30次
解析:第一次，可去掉30个结果，从剩余的30个中继续二分法；
第二次，可去掉15个结果，从剩余的15个中继续二分法；
第三次，可去掉7或8个结果，考虑至多的情况，所以去掉7个结果，从剩余的8个中继续二分法；
第四次，可去掉4个结果，从剩余的4个中继续二分法；
第五次，可去掉2个结果，从剩余的2个中继续二分法；
第六次，可去掉1个结果，得到最终结果，所以至少需要检测六次.
B
练3.现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重.如何称
解：先在天平左右各放4个球.有两种情况:
(1)若天平平衡，则“坏球”在剩下的4个球中.
取剩下的4个球中的3个球放天平的一端，取3个好球放天平的另一端，
①若仍平衡，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重;
②若不平衡，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重.任取其中2个球分别放在天平左右两端，无论平还是不平，均可确定“坏球”.
(2)若不平衡，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重.
从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能.
①若平衡，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重;
②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻;
③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重).
显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重.
课堂总结
回顾本节课，回答下列问题：.知识清单：
(1)二分法的定义.
(2)如何利用二分法求函数的零点、方程的近似解？
当堂检测
1.用二分法求方程ln x-=0在[1，2]上的根时，取中点c=1.5，则下一个有根区间为(　　)
A.(1，1.25) B.(1，1.5) C.(1，2) D.(1.5，2)
2.用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的近似解，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是______.
D
(1，2)
当堂检测
3.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:
那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确度0.1)为(　　)
A.1.4 B.1.3 C.1.2 D.1.5
A
f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)=-0.984
f(1.375)=-0.260 f(1.437 5)=0.162 f(1.406 25)=-0.054