4.5.3 函数模型的应用 课件（共25张PPT） 2024~2025学年高一数学人教A版（2019）必修第一册

(共25张PPT)
4.5.3 函数模型的应用
学习目标
1.能利用已知函数模型求解实际问题.
2.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题.
问题导入
我们知道，函数是描述客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来刻画．面临一个实际问题，该如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？
新课讲授
1.常见函数模型
常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)
(1)反比例函数模型 f(x)＝(k为常数且k≠0，x≠0)
(2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
(3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
(4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1)
(5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
(6)分段函数
2.建立函数模型解决问题的基本过程
思考：解决函数应用问题的基本步骤是什么？
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
归纳总结
例1 人口问题是当今世界各国普遍关注的问题．认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据．早在 1978 年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthas，1766—1834)就提出了自然状态下的人口增长模型y=y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．下表是1950～1959年我国的人口数据资料:
(1)如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率 (精确到0.0001)，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；
(2)如果按上表的增长趋势，那么大约在哪一年我国的人口数达到13亿？
解：(1)设1951～1959年我国各年的人口增长率分别为r1,r2,…,r9.
由55196(1+r1)=56300可得1951年的人口增长率r1≈0.0200．
同理可得，r2≈0.0210,r3≈0.0229,r4≈0.0250,r5≈0.0197，
r6≈0.0223，r7≈0.0276,r8≈0.0222,r9≈0.0154．
于是，1951～1959年期间，
我国人口的年平均增长率为:r=(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221
令y0=55196，
则我国在1950～1959年期间的人口增长模型为y=55196e0.0221t，t∈N．
根据表中的数据画出散点图，并画出函数y=55196e0.0221t(t∈N)的图象，由图可以看出，所得模型与1950～1959年的实际人口数据基本吻合 ．
(2)如果按上表的增长趋势，那么大约在t=39，即1989年我国的人口数达到13亿.
事实上，我国1989年的人口数为11.27亿，直到2005年才突破13亿．对由函数模型所得的结果与实际情况不符 ， 你有何看法 ？
因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策．因此这一阶段的人口增长条件并不符合马尔萨斯人口增长模型的条件，自然就出现了依模型得到的结果与实际不符的情况．
例2 2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳 14的残留量约为初始量的55.2％，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的
分析：因为死亡生物机体内碳14的初始量按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，所以应选择函数y=kax(k∈R，且k≠0;a>0，且a≠1)建立数学模型．
解:设样本中碳14的初始量为k，衰减率为p(0根据问题的实际意义，可选择如下模型：
y=k(1-p)x(k∈R，且k≠0;0由碳14的半衰期为5730年，得k(1-p)x=k，
于是(1-p)=，所以y=k()x，　
由样本中碳14 的残余量约为初始量的55.2％可知 ，即0.552k=k()x，
解得x=．
由计算工具得x≈4912．
因为2010年之前的4912年是公元前2902年，所以推断此水坝大概是公元前2902年建成的．
例3 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；
方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.
请问，你会选择哪种投资方案？
①问题中涉及哪些数量关系？
②如何用函数描述这些数量关系？
投资天数、回报金额
日回报
累计回报
40
40
40
40
40
10
10+10
=10×2
10+10+10
=10×3
10+10+10+10
=10×4
10+10+10+10+10
=10×5
0.4
0.4×2
0.4×2×2
=0.4×22
0.4×2×2×2
=0.4×23
0.4×2×2×2×2
=0.4×24
方案一
方案二
方案三
1
2
3
4
5
则方案一可以用函数________________进行描述；
方案二可以用函数__________________进行描述；
方案三可以用函数___________________进行描述.
设第x天的回报是y元，
y=40 (x∈N*)
y=10x (x∈N*)
y=0.4×2x-1 (x∈N*)
三种方案每天回报表
0
x
y
20
40
60
80
100
120
140
4
2
6
8
10
12
　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … 30
方案一 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 … 1200
方案二 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 … 4650
方案三 0 1 2.8 6 12 25 50.8 102 204 409 819 … 429496729.2
累计回报表
投资1~6天，应选择方案一；
投资7天，应选择方案一或方案二；
投资8~10天，应选择方案二；
投资11天(含11天)以上，应选择方案三.
例4 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.
现有三个奖励模型：y=0.25x， y=log7x+1， y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
分析：本例提供了三个不同增长方式的奖励模型，按要求选择其中一个函数作为刻画奖金总数与销售利润的关系．由于公司总的利润目标为1000万元，所以销售人员的销售利润一般不会超过公司总的利润．于是，只需在区间[10，1000]上，寻找并验证所选函数是否满足两条要求 ：
第一，奖金总数不超过5万元，即最大值不大于5；
第二，奖金不超过利润的25％，即y≤0.25x．不妨先画出函数图象，通过观察函数图象，得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．
解：借助信息技术画出函数y=5，y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x的图象． 观察图象发现，在区间[10，1000]上 ， 模型y=0.25x，y=1.002x的图象都有一部分在直线y=5的上方 ， 只有模型y=log7x+1的图象始终在y=5的下方 ， 这说明只有按模型y=log7x+1进行奖励时才符合公司的要求 ．
下面通过计算确认上述判断 ．
先计算哪个模型的奖金总数不超过5万元 ．
对于模型y=0.25x， 它在区间[10，1000]上单调递增 ， 而且当x=20时，y=5，
因此，当x>20时，y>5，所以该模型不符合要求 ；
对于模型y=1.002x，由函数图象，并利用信息
技术，可知在区间(805，806)内有一个点x0满
足1.002x0=5，由于它在区间[10，1000]上单调
递增，因此当x>x0时，y>5，所以该模型也不
符合要求 ；
对于模型y=log7x+1，它在区间[10，1000]上单调递增，而且当x＝1000 时 ，y=log71000+1≈4.55＜5 ， 所以它符合奖金总数不超过5万元的要求 ．
再计算按模型y=log7x+1奖励时， 奖金是否不超过利润的25％ ，即当x∈[10，1000]时，是否有y≤0.25x，
即y=log7x+1≤0.25x成立 ．
令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10，1000]，
利用信息技术画出它的图象.
由图象可知函数f(x)在区间[10，1000]上单调递减，
因此f(x)≤f(10)≈－0.3167<0，即y=log7x+1≤0.25x．
所以，当x∈[10，1000]时，y≤0.25x，说明按模型y=log7x+1奖励 ，奖金不会超过利润的25％．
综上所述，模型y=log7x+1确实能符合公司要求 ．
课堂总结
实际应用问题
审 题
(设)
分析、联想、抽象、转化
构建数学模型
数学化
(列)
寻找解题思路
(解)
解答数学问题
还原
(答)
利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：
当堂检测
1.某工厂一年中第十二个月的产量是第一个月产量的a倍,那么该工厂这一年的月平均增长率是(　　)
D
当堂检测
D
2.我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”.用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每天取其一半，永远也取不完.这样，每天剩下的部分都是前一天的一半，如果把“一尺之锤”看成单位“1”，那么x天后剩下的部分y与x的函数关系式为( )
当堂检测
D
3.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y=f(x)的图象大致是(　　)
4.已知某个病毒经30 min可繁殖为原来的2倍，且病毒的繁殖规律为y=ekt(其中k为常数，t表示时间，单位:h，y表示病毒个数)，则k=　　　　，经过5 h，1个病毒能繁殖　　　　个.
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