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期中复习专项02 一元二次方程7大题型
题型一 一元二次方程的定义及一般形式
1．若关于的方程是一元二次方程，则的值不可能为（ ）
A．1 B． C．0 D．2
【答案】A
【解析】∵方程是一元二次方程，
∴，则，
故选：A．
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】A、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、方程整理后得到，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
C、方程是一元三次方程，故本选项不符合题意；
D、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D．
3．下列方程中，一元二次方程共有（ ）个．
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证．
【解析】①，符合一元二次方程的定义；
②，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义；
③未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义；
④，符合一元二次方程的定义；
⑤，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义；
⑥，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义．
一元二次方程共有2个．
故选：B．
4．一元二次方程的常数项是（ ）
A．1 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式为，其中分别为二次项，一次项，常数项，进行判断即可．
【解析】一元二次方程的常数项是；
故选D．
5．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A． B．2x C．2 D．1
【答案】C
【解析】一元二次方程一次项的系数是2，
故选：C．
6．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ）
A．， B．， 10 C．8， D．8，10
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴一次项系数、常数项分别是，，
故选：A．
7．将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3， B．3，4 C．3， D．
【答案】C
【解析】将一元二次方程化成一般形式，
二次项系数和一次项系数分别为，；
故选：C．
8．（12-13九年级上·甘肃武威·期中）若方程是关于的一元二次方程，则 ．
【答案】
【解析】是关于的一元二次方程，
，，
解得：，
故答案为：．
9．一元二次方程化为一般形式是 ．
【答案】
【解析】∵，
∴，即，
∴一元二次方程化为一般形式是，
故答案为：．
题型二 一元二次方程的解及解的估算
10．若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】C
【解析】将代入，得：，
．
故选C．
11．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．3
【答案】A
【解析】是关于的一元二次方程，
，即
由一个根，代入，
可得，解之得；
∴；
故选：A．
12．下表是某同学求代数式的值的情况．根据表格，可知方程的根是（ ）
x … 0 1 2 …
… 8 3 0 0 …
A． B． C．， D．，
【答案】D
【解析】由表格知，当和时，成立，
该方程的根是，，
故选：D．
13．根据下列表格的对应值：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
0.84 2.29 3.76
可以判断方程，为常数的一个解x的范围是（ ）
A． B． C． D．无法判定
【答案】B
【解析】由题意，列出表格如下：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
0.84 2.29 3.76
1.29 2.76
由表格可知，当时，存在一个的值使，即满足方程，
故选B．
14．观察下列表格，一元二次方程的一个解x所在的范围是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0.19 0.44 0.71
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由表格可知，当时，，当时，，
∴当时，存在一个的值，使，
∴一元二次方程的一个解x所在的范围是；
故选B．
15．根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（ ）
… …
… …
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
∵当时，，当时，，
∴当时，一定有一个x对应的值使得，
∴一元二次方程的一个根的范围是，
故选：D．
16．已知：是方程的一个根，求代数式的值是 ．
【答案】1
【解析】∵a是方程的一个根，
∴
∴原式
．
故答案为：1
17．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ．
【答案】1
【解析】把代入方程得，
解得．
故答案为：1
18．如果m是方程的一个根，那么代数式的值为 ．
【答案】
【解析】∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
题型三 配方法解一元二次方程及其应用
19．方程的解为（ ）
A． B． ， C． ， D．，
【答案】B
【解析】∵，
∴或，
解得，，
故选：B．
20．一元二次方程用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，即或，
故选：C．
21．用配方法解方程，则配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】原方程变形得：，
配方得：，
即，
故选：A．
22．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，
，
，
故选：B．
23．用配方法解方程，则配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，
，
，
故选：C．
24．把多项式进行配方，结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
故选B．
25．当x取何值时，多项式有 （填最大值或最小值），其最大值或最小值是 ．
【答案】最大值
【解析】，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴有最大值，最小值为，
故答案为：．
26．解方程：
【解析】，
，
∴．
27．解下列一元二次方程：
(1)；
(2)．
【解析】（1）解：，
，
，
，
∴，；
（2）解：，
，
，
∴，．
28．阅读材料，回答下列问题：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．
【初步思考】观察下列式子：
（1）
∵
∴
∴代数式的最小值为；
（2）
∵
∴
∴代数式的最大值为7．
【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题：
（1）代数式的最小值为______；
（2）已知；，请比较与的大小，并说明理由；
【拓展提高】
（3）薛城区某学校打算把长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积．
【解析】（1）由题意，，
又对于任意的都有，
．
代数式的最小值为．
故答案为：．
（2），理由如下：
，
又对于任意的都有，
．
．
（3）由题意，设，长方形的面积为，
．
当时，即时围可使小兔的活动范围较大，最大面积为．
答：当长方形的长和宽均为时，长方形的面积最大为．
29．解方程：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
【解析】（1）
∴
则
（2）
∴，
则
∴，
开平方得，，
∴
（3）
开平方得到，
∴，
（4）
∴
∴，
∴，
题型四 公式法解一元二次方程
30．用指定方法解方程：
(1)；（配方法）
(2)．（公式法）
【解析】（1）解：，
配方得，即，
开方得，
解得，
即，；
（2）解：，
，
∴，
∴，
∴，．
31．解下列方程．
(1)．
(2)．
【解析】（1）解：，
，
∴，
∴．
（2）解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
32．解方程：
(1)；
(2)（用公式法解）．
【解析】（1）解：移项得：，
开方得：，
解得：，．
（2），，，
，
方程有两个不等的实数根，
即，．
33．（1）解方程：
（2）解方程：
【解析】（1）移项得：，
配方得：，
即，
开方得：，
，．
（2），，，
，
方程有两个不相等的实数根，
，
，．
34．解方程：
(1) ；
(2)．
【解析】（1）解：，
∴，， ，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：，
∴，
∴或，
∴，．
35．解方程
(1)（配方法）
(2)（公式法）
(3)（配方法）
(4)
【解析】（1）解：
解得：，
（2）解：
，，
，
（3）解：
解得：，
（4）解：
解得：，
题型五 一元二次方程根的判别式的应用
36．小华和小麦对关于x的一元二次方程展开讨论，小华说：若，则此方程一定有实数根；小麦说：若a，c异号，则此方程一定有实数根．下列判断正确的是（ ）
A．小华正确，小麦错误 B．小华错误，小麦正确
C．小华，小麦都正确 D．小华，小麦都错误
【答案】C
【解析】小华：当时，则，所以此方程一定有实数根；
小麦：若a，c异号，则，所以此方程一定有实数根；
所以小华，小麦的说法都正确；
故选C．
37．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【解析】∵，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
38．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【解析】∵一元二次方程，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
39．定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论错误的是（ ）
A．如果，那么这两个方程一定都有两个不相等的实数根
B．如果是的倒方程的解，则
C．如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解
D．如果是一元二次方程的根，则也是倒方程的根
【答案】A
【解析】A、对于方程和，
其根的判别式均为，
∵，
∴，
又∵，
∴的取值不确定，故无法确定这两个方程一定都有两个不相等的实数根，选项A不正确，符合题意；
B、是一元二次方程的倒方程，
将代入，解得，故选项B正确，不符合题意；
C、∵一元二次方程无解，
∴，它的倒方程的根的判别式也为，
∴它的倒方程也无解，故选项C正确，不符合题意；
D、若是一元二次方程的根，
则有，
∴，
即也是倒方程的根，
故选项D正确，不符合题意．
故选：A．
40．在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于的一元二次方程的实数根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】A
【解析】直线不经过第四象限，
，
关于的方程，
，
关于的方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
41．常数a，b， c在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程根的情况是( )
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【答案】B
【解析】观察数轴可知：，，．
∴在方程中，，
该方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
42．已知为常数，点在第二象限，点在轴的正半轴上，则关于的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【解析】∵点在第二象限，点在轴的正半轴上，
∴，
∴，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选A
43．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论实数取何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根的平方等于4，求的值．
【解析】（1）证明：关于的一元二次方程，
，
无论实数取何值，方程总有两个实数根；
（2）解：方程有一个根的平方等于4，
方程的这个根为，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，的值为或．
44．已知关于x的一元二次方程无实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)判断关于x的一元二次方程的根的情况．
【解析】（1）解：由题意得：且；
解得：
（2）解：当时，即时：
方程为，此一元一次方程有一个实数根；
当且时：此方程为一元二次方程
，
∵，
∴；
此时方程有两个不相等的实数根；
综上所述：当时，方程有一个实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根；
题型六 因式分解法解一元二次方程
45．一元二次方程的根是（ ）
A． B．5 C．2或–5 D．或5
【答案】D
【解析】，
∴或，
∴；
故选D．
46．若实数满足，则的结果为 ．
【答案】1
【解析】设
则原式等于，
整理 得
解得（舍弃），
即．
故答案为：1．
47．解下列方程
(1)；
(2)．
【解析】（1）解：∵，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴或，
∴，．
48．解方程：
(1)；
(2)．
【解析】（1）解：
解得，；
（2）解：
或
解得，．
49．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．
(1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”；
(2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值．
【解析】（1）解：解方程，得，，
解方程，得，，
∴一元二次方程与有且只有一个相同的实数根，
∴一元二次方程与属于“同伴方程”；
（2）解：解，得，，
当相同的实数根是时，则，
解得，
把代入，得，
解得，，
∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意；
当相同的实数根是时，则，
解得，
把代入，得，
解得，，
∴两个方程有且仅有一个相同的实数根，符合题意；
∴m的值为或．
50．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：．
解：方程两边同除以，得．…第一步
移项，合并同类项，得．…第二步
系数化为1，得．…第三步
任务：
(1)小明的解法从第_________步开始出现错误；
(2)此题的正确结果是__________________．
(3)解方程：．
【解析】（1）解：小明的解法从第一步开始出现错误，
故答案为：一；
（2）解：，
，
，
或，
，，
故答案为：，；
（3）解：，
，
，
或，
，．
51．解方程：
(1)（配方法）
(2)（公式法）
(3)（因式分解法）
【解析】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
52．阅读材料，解答问题：
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为．
解得，．
或．
∴，．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
．
【解析】设，则原分式方程可化为，
整理，得，
解得，，
当时，即，
解得，
当时，即，
解得．
综上所述，原方程的解为，．
题型七 一元二次方程的应用
53．有两人同时患了流感，经过两轮传染后共有200人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
【答案】B
【解析】设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，
第一轮过后有个人感染，第二轮过后有个人感染，
那么由题意可知，
整理得，，
解得或，
不符合题意，舍去．
那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．
故选：B．
54．如图所示，某小区规划在一个长m，宽9m的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．如果使草坪部分的总面积为，设小路的宽为xm，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】草坪部分的长为 m，宽为 m，
根据题意即可得出方程为：，
整理得：．
故选：A
55．若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（ ）
A．27 B．72 C．27或16 D．或
【答案】A
【解析】设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，根据题意得：
，
整理得，
解得，(不合题意，舍去)，
∴，，
∴这个两位数是27．
故选：A．
56．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，设道路的宽为根据题意列方程 ．
【答案】
【解析】根据题意，设道路的宽为，绿化的面积为，
∴，整理得，，
故答案为： ．
57．王老师购买了张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有名学生，则可列方程 ．
【答案】
【解析】设班级有名学生，
根据题意得：，
故答案为：．
58．李师傅去年开了一家商店．今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．
(1)求每月盈利的平均增长率；
(2)按照这个平均增长率，预计6月份这家商店的盈利将达到多少元？
【解析】（1）解：设该商店的每月盈利的平均增长率为x，根据题意得：
，
解得：，（舍去）．
答：每月盈利的平均增长率为；
（2）解：由（1）知，该商店的每月盈利的平均增长率为，则6月份盈利为：
（元）．
答：预计6月份这家商店的盈利将达到元．
59．商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元．
(1)降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x的代数式表示）；
(2)为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？
(3)该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
【解析】（1）解：设每套拖把降价x元，则每天销售量增加套，即每天销售套，
每套拖把盈利元．
故答案为：，；
（2）解：设每套拖把降价x元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套，
依题意得：，
整理得：，
解得：．
又∵需要尽快减少库存，
∴．
答：每套拖把降价17元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利1242元；
（3）解：商家不能达到平均每天盈利1400元，理由如下：
设每套拖把降价y元，则每套的销售利润为元，平均每天的销售量为套，
依题意得：，
整理得：．
∵，
∴此方程无实数解，
即不可能每天盈利1400元．
60．“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
(1)当销售量为30件时，产品售价为______元/件；
(2)直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；
(3)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？
(4)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利最大并求出最大值？
【解析】（1）解：由题知，（元/件），
当销售量为30件时，产品售价为元/件；
故答案为：105；
（2）解：根据题意得：，
该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，
日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为（）；
（3）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：该产品的售价每件应定为90元．
（4）解：根据题意得： ，
，
，
当时，上式取最大值，
当该产品的售价每件应定为95元，利润最大值为1250元．
61．如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一点从出发沿方向以的速度运动，两点同时出发，运动时间为（）．
(1)当为秒______时，的面积是平方厘米．
(2)的面积能否为面积的？若能，求出的值；若不能，说明理由．
【解析】（1）解：由题意得，，，
∴，
当的面积是平方厘米时，，
即，
解得，
故答案为：；
（2）解：不能，理由如下：
由题意得，，
方程整理得，，
∵，
∴方程无解，
∴的面积不能为面积的．
62．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 7 70
5 5 40
根据上表数据，求规定用水量a的值．
【解析】（1）3月份应交水费10+5a（8﹣a）＝（10+40a﹣5a2）元；
（2）由题意得：5a（7﹣a）+10＝70，
解得：a＝3或a＝4
5a（5﹣a）+10＝40
解得：a＝3或a＝2，
综上，规定用水量为3吨．
则规定用水量a的值为3．
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题型一 一元二次方程的定义及一般形式
1．若关于的方程是一元二次方程，则的值不可能为（ ）
A．1 B． C．0 D．2
2．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列方程中，一元二次方程共有（ ）个．
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．一元二次方程的常数项是（ ）
A．1 B． C．4 D．
5．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A． B．2x C．2 D．1
6．将方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别是（ ）
A．， B．， 10 C．8， D．8，10
7．将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3， B．3，4 C．3， D．
8．（12-13九年级上·甘肃武威·期中）若方程是关于的一元二次方程，则 ．
9．一元二次方程化为一般形式是 ．
题型二 一元二次方程的解及解的估算
10．若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
11．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．3
12．下表是某同学求代数式的值的情况．根据表格，可知方程的根是（ ）
x … 0 1 2 …
… 8 3 0 0 …
A． B． C．， D．，
13．根据下列表格的对应值：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
0.84 2.29 3.76
可以判断方程，为常数的一个解x的范围是（ ）
A． B． C． D．无法判定
14．观察下列表格，一元二次方程的一个解x所在的范围是（ ）
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
0.19 0.44 0.71
A． B．
C． D．
15．根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（ ）
… …
… …
A． B．
C． D．
16．已知：是方程的一个根，求代数式的值是 ．
17．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ．
18．如果m是方程的一个根，那么代数式的值为 ．
题型三 配方法解一元二次方程及其应用
19．方程的解为（ ）
A． B． ， C． ， D．，
20．一元二次方程用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（ ）
A． B． C． D．
21．用配方法解方程，则配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
22．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
23．用配方法解方程，则配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
24．把多项式进行配方，结果为（ ）
A． B．
C． D．
25．当x取何值时，多项式有 （填最大值或最小值），其最大值或最小值是 ．
26．解方程：
27．解下列一元二次方程：
(1)；
(2)．
28．阅读材料，回答下列问题：
利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．
【初步思考】观察下列式子：
（1）
∵
∴
∴代数式的最小值为；
（2）
∵
∴
∴代数式的最大值为7．
【尝试应用】阅读上述材料并完成下列问题：
（1）代数式的最小值为______；
（2）已知；，请比较与的大小，并说明理由；
【拓展提高】
（3）薛城区某学校打算把长的篱笆围成长方形形状的生物园来饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？请尝试用以上方法求出长方形生物园的最大面积．
29．解方程：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
题型四 公式法解一元二次方程
30．用指定方法解方程：
(1)；（配方法）
(2)．（公式法）
31．解下列方程．
(1)．
(2)．
32．解方程：
(1)；
(2)（用公式法解）．
33．（1）解方程：
（2）解方程：
34．解方程：
(1) ；
(2)．
35．解方程
(1)（配方法）
(2)（公式法）
(3)（配方法）
(4)
题型五 一元二次方程根的判别式的应用
36．小华和小麦对关于x的一元二次方程展开讨论，小华说：若，则此方程一定有实数根；小麦说：若a，c异号，则此方程一定有实数根．下列判断正确的是（ ）
A．小华正确，小麦错误 B．小华错误，小麦正确
C．小华，小麦都正确 D．小华，小麦都错误
37．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
38．一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
39．定义：是一元二次方程的倒方程．则下列四个结论错误的是（ ）
A．如果，那么这两个方程一定都有两个不相等的实数根
B．如果是的倒方程的解，则
C．如果一元二次方程无解，则它的倒方程也无解
D．如果是一元二次方程的根，则也是倒方程的根
40．在平面直角坐标系中，若直线不经过第四象限，则关于的一元二次方程的实数根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
41．常数a，b， c在数轴上的位置如图所示，则关于x的一元二次方程根的情况是( )
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
42．已知为常数，点在第二象限，点在轴的正半轴上，则关于的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
43．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论实数取何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根的平方等于4，求的值．
44．已知关于x的一元二次方程无实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)判断关于x的一元二次方程的根的情况．
题型六 因式分解法解一元二次方程
45．一元二次方程的根是（ ）
A． B．5 C．2或–5 D．或5
46．若实数满足，则的结果为 ．
47．解下列方程
(1)；
(2)．
48．解方程：
(1)；
(2)．
49．定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如：和有且只有一个相同的实数根，所以这两个方程为“同伴方程”．
(1)根据定义，判断一元二次方程与是否属于“同伴方程”；
(2)关于x的一元二次方程与为“同伴方程”，求m的值．
50．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：．
解：方程两边同除以，得．…第一步
移项，合并同类项，得．…第二步
系数化为1，得．…第三步
任务：
(1)小明的解法从第_________步开始出现错误；
(2)此题的正确结果是__________________．
(3)解方程：．
51．解方程：
(1)（配方法）
(2)（公式法）
(3)（因式分解法）
52．阅读材料，解答问题：
解方程：．
解：把视为一个整体，设，
则原方程可化为．
解得，．
或．
∴，．
以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照材料解下列方程：
．
题型七 一元二次方程的应用
53．有两人同时患了流感，经过两轮传染后共有200人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）
A．8人 B．9人 C．10人 D．11人
54．如图所示，某小区规划在一个长m，宽9m的矩形场地上，修建同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．如果使草坪部分的总面积为，设小路的宽为xm，那么x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
55．若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（ ）
A．27 B．72 C．27或16 D．或
56．如图所示，某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条“之”字路，余下部分绿化，绿化的面积为，设道路的宽为根据题意列方程 ．
57．王老师购买了张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有名学生，则可列方程 ．
58．李师傅去年开了一家商店．今年1月份开始盈利，2月份盈利2400元，4月份的盈利达到3456元，且从2月到4月，每月盈利的平均增长率都相同．
(1)求每月盈利的平均增长率；
(2)按照这个平均增长率，预计6月份这家商店的盈利将达到多少元？
59．商场销售某种拖把，已知这种拖把的进价为80元/套，售价为120元/套，商场每天可销售20套、国庆假期临近，该商场决定采取适当的降价措施，经调查：这种拖把的售价每降价1元，平均每天可多售出2套，设这种拖把每套降价x元．
(1)降价后每套拖把盈利______元，平均每天可销售______套（用含x的代数式表示）；
(2)为扩大销售量，尽快减少库存，当每套拖把降价多少元时，该商场销售这种拖把平均每天能盈利1242元？
(3)该商场销售这种拖把平均每天的盈利能否达到1400元？若能，求出x的值；若不能，请说明理由．
60．“抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件．
(1)当销售量为30件时，产品售价为______元/件；
(2)直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式；
(3)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？
(4)该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利最大并求出最大值？
61．如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一点从出发沿方向以的速度运动，两点同时出发，运动时间为（）．
(1)当为秒______时，的面积是平方厘米．
(2)的面积能否为面积的？若能，求出的值；若不能，说明理由．
62．近年来，随着城市居民入住率的增加，污水处理问题成为城市的难题．某城市环境保护局协同自来水公司为鼓励居民节约用水，减少污水排放，规定：居民用水量每月不超过a吨时，只需交纳10元水费，如果超过a吨，除按10元收费外，超过部分，另按每吨5a元收取水费（水费＋污水处理费）．
（1）某市区居民2018年3月份用水量为8吨，超过规定水量，用a的代数式表示该用户应交水费多少元；
（2）下表是这户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况；
月份 用水量（吨） 交水费总金额（元）
4 7 70
5 5 40
根据上表数据，求规定用水量a的值．
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