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期中复习专项03 概率的进一步认识5大题型
题型一 利用几何图形求概率
1．一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
2．如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷在矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．一飞镖游戏板，投掷一个飞镖到指定的区域（）如图，若要使飞镖落在中心区域（）的概率为，则与的半径之比为 ．
5．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为
6．如图，小球在菱形上自由地滚动，点，分别在，上，且，，点，在上，且，则小球最终停在阴影区域上的概率是 ．
题型二 列表法或树状图求概率
7．一个转盘白色扇形和红色扇形的圆心角分别为和，让转盘自由转动2次，一次落在白色，一次落在红色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的任意两个，能使灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色就可以配成紫色，则可以配成紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
10．某市中考体育考试考查5个项目，具体规定是：项目必考，再从，，，四项中随机抽考两项，则抽考两项恰好是，两项的概率是 ．
11．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1、2、3，这些卡片除数字不同外其余均相同，小明从盒子里随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后在随机抽一张卡片，则两次抽取的卡片之积是偶数的概率是 ．
12．第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了 名学生，并补全条形统计图；
(2)求A所在扇形的圆心角度数；
(3)学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率．
13．从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛．
(1)若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概念是________；
(2)任意选取2名学生参加比赛，求一定有丁的概率．（用树状图或列表的方法求得）
14．有4张背面完全相同的卡片，其正面分别标有数字，0，1，2，将卡片的背面朝上，洗匀后，从中任意抽出1张，将卡片上的数字记录下来，放回洗匀后再从中任意抽出1张，同样将卡片上的数字记录下来．
(1)求第一次抽出的卡片上数字是正数的概率；
(2)小明、小亮做游戏，规则如下：若两次抽出的卡片上的数字的乘积为正数，则小明胜；若两次抽出的卡片上的数字的乘积为负数，则小亮胜．这个游戏规则对小明、小亮公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．
题型三 求概率判断游戏是否公平
15．学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
16．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜．
(1)小明赢的事件是______事件．（选填：必然，随机或不可能．）
(2)这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由．
17．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀．
(1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为__________；
(2)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由．
18．有一张观看“我和我的祖国”的电影票，小胡和小明都想拥有，为此两人做了一个游戏，在一个不透明的纸箱里装有点数分别是1、2、3的纸牌各一张，三张纸牌的花色大小相同，游戏规则是：两人各摸纸牌一张，小胡先从纸箱里摸牌一张，记录好点数后放回，再由小明从纸箱里摸牌一张，若两人摸到纸牌的点数和为奇数时，小胡拥有电影票；若两人摸到纸牌的点数和为偶数时，则小明拥有电影票，这个拥有电影票的游戏规则对双方公平吗？请利用树状图或列表法说明理由．
19．有两个可以自由转动的均匀转盘、分别被分成等份、等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：
①分别转动转盘与．
②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）．
③如果和为，王扬获胜；否则刘非获胜．
(1)用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率；
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？若不公平，请制定一个新的游戏规则．
题型四 概率的应用
20．在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（ ）粒．
A． B． C． D．
21．某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（ ）
内容 时间/秒
日期 4
星期 3
时间 6
天气 3
A．日期 B．星期 C．时间 D．天气
22．如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．
(1)转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______；
(2)小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则．
23．5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校七年级某班同学计划参观其中一个展馆．
(1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ；
(2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率．
24．贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．
25．为迎接建党100周年，甲、乙两位学生参加了知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录这8次成绩（单位：分），并按成绩从低到高整理成如下表所示，由于表格被污损，甲的第5个数据看不清，但知道甲的中位数比乙的众数大3．
甲 78 79 81 82 x 88 93 95
乙 75 80 80 83 85 90 92 95
（1）求x的值；
（2）现要从中选派一人参加竞赛，从统计或概率的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．
26．我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
王老师所调查的4个班征集到作品共 件，其中B班征集到作品 件，请把图2补充完整；
王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？
如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率(要求写出用树状图或列表分析过程)
题型五 用频率估计概率及其应用
27．下列说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率就是概率
C．若顺次连接某四边形的四边中点得到一个正方形，则原四边形一定是正方形
D．如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
28．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ）
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800
近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410
A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410
29．在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频率稳定在0.4，则口袋中红色小球的个数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．15
30．在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为 ．
31．在不透明的袋子中装有黑、白两种球共50个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则袋子中黑球的个数约为 .
32．某篮球运动员在最近几场比赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数n 8 10 12 9 10 16 20
进球次数m 6 8 9 7 7 12 15
进球频率
(1)计算进球频率；
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？
33．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据：
摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000
摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252
摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）；
(2)试估算盒子里白球有 个；
(3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是
（填写所有正确结论的序号）．
①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．
②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”．
③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”．
④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项．
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期中复习专项03 概率的进一步认识5大题型
题型一 利用几何图形求概率
1．一个均匀的小球在如图所示的水平地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，若每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】这个图形的总面积为9，黑砖部分的面积为4，因此黑砖部分占整体的，
所以小球最终停留在黑砖上的概率是，
故选：A．
2．如图，一枚飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成．向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】随意投掷一个飞镖，击中黑色区域的概率是=，
故选B
3．如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷在矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，
设矩形中，，
∵点分别是的中点，
∴；
同理可得：，
∴，
∴，
故选：A ．
4．一飞镖游戏板，投掷一个飞镖到指定的区域（）如图，若要使飞镖落在中心区域（）的概率为，则与的半径之比为 ．
【答案】
【解析】设与的半径分别为，，
∵要使飞镖落在中心区域（）的概率为，
则＝，即，
∴与的半径之比为：；
故答案为：．
5．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为
【答案】
【解析】整个正方形被分成了9个小正方形，黑色正方形有5个，
落在黑色区域即获得笔记本的概率为，
故答案为：．
6．如图，小球在菱形上自由地滚动，点，分别在，上，且，，点，在上，且，则小球最终停在阴影区域上的概率是 ．
【答案】
【解析】，，
，，
、分别是的三等分点，
，，
，
，
同理可得，，
小球最终停在阴影区域上的概率是．
故答案为：．
题型二 列表法或树状图求概率
7．一个转盘白色扇形和红色扇形的圆心角分别为和，让转盘自由转动2次，一次落在白色，一次落在红色区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】白色区域用A表示，红色区域分别用和，如图，
画树状图如下：
一共有9种等可能的结果，而转盘自由转动2次，一次落在白色，一次落在红色区域的结果数有4种，
∴让转盘自由转动2次，一次落在白色，一次落在红色区域的概率是，
故选：D．
8．在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的任意两个，能使灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】同时闭合、，灯泡会发光，
根据题意列出表格如下：
由表可知，应该有6种情况，能使灯泡发光的情况有2种，
∴能使灯泡发光的概率．
故选：A．
9．如图，用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色就可以配成紫色，则可以配成紫色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中可配成紫色的结果有种，
（可配成紫色），
故选：A．
10．某市中考体育考试考查5个项目，具体规定是：项目必考，再从，，，四项中随机抽考两项，则抽考两项恰好是，两项的概率是 ．
【答案】
【解析】
解：列表得：
项目必考，再从、、、四项中随机抽考两项，
共有12种等可能的结果，恰好选中、两位同学的有2种情况，
（恰好选中、．
故答案为：．
11．在一个不透明的盒子中装有三张卡片，分别标有数字1、2、3，这些卡片除数字不同外其余均相同，小明从盒子里随机抽取一张卡片记下数字后放回，洗匀后在随机抽一张卡片，则两次抽取的卡片之积是偶数的概率是 ．
【答案】
【解析】画树状图得：
共有9种等可能的结果，两次抽取的卡片上数字之积是偶数的有5种情况，
两次两次抽取的卡片上数字之积是偶数的概率．
故答案为：．
12．第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查共抽取了 名学生，并补全条形统计图；
(2)求A所在扇形的圆心角度数；
(3)学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率．
【解析】（1）解：本次调查共抽取了（名）．
选项B的人数为（人）．
补全条形统计图如图所示．
（2）解：A所在扇形的圆心角度数为；
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙）
由表格可知，共有12种等可能的结果，
其中甲、乙同时被选中的结果有2种，
∴甲、乙同时被选中的概率为．
13．从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛．
(1)若甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概念是________；
(2)任意选取2名学生参加比赛，求一定有丁的概率．（用树状图或列表的方法求得）
【解析】（1）解：由甲一定被选中参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，共有甲、乙，甲、丙，甲、丁三种等可能，符合条件的情况数有1种，
∴甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中乙的概率是；
故答案为：；
（2）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲、乙 甲、丙 甲、丁
乙 乙、甲 乙、丙 乙、丁
丙 丙、甲 丙、乙 丙、丁
丁 丁、甲 丁、乙 丁、丙
所有的等可能的情况数有12种，符合条件的情况数有6种，
所以一定有丁的概率为：．
14．有4张背面完全相同的卡片，其正面分别标有数字，0，1，2，将卡片的背面朝上，洗匀后，从中任意抽出1张，将卡片上的数字记录下来，放回洗匀后再从中任意抽出1张，同样将卡片上的数字记录下来．
(1)求第一次抽出的卡片上数字是正数的概率；
(2)小明、小亮做游戏，规则如下：若两次抽出的卡片上的数字的乘积为正数，则小明胜；若两次抽出的卡片上的数字的乘积为负数，则小亮胜．这个游戏规则对小明、小亮公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由．
【解析】（1）解：第一次抽取卡片共有4种等可能的结果，其中卡片上数字是正数的结果有2种，
∴第一次抽取的卡片上数字是正数的概率是；
（2）解：列表如下：
0 1 2
1 0
0 0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 4
由表可知，共有16种等可能结果，其中结果为负数的有4种结果，结果为正数的有5种结果，
所以小亮获胜的概率，小明获胜的概率，
∴此游戏不公平．
题型三 求概率判断游戏是否公平
15．学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【解析】（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同，
∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，
∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为，
∴小明和小红获胜的概率相同，
∴该游戏对双方公平．
16．小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜．
(1)小明赢的事件是______事件．（选填：必然，随机或不可能．）
(2)这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由．
【解析】（1）解：共有种等可能的结果数：、、、、、、、、，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，
∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
∵小明和小亮获胜是随机事件，
∴小明赢的事件是随机事件，
故答案为：随机；
（2）这个游戏对双方不公平．理由如下：
画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，
∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
又∵，
∴这个游戏对双方不公平．
17．在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀．
(1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为__________；
(2)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由．
【解析】（1）解：∵不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，球上的数字为偶数的是2与4，
∴从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为：，
故答案为：；
（2）解：画树状图得：
∴共有12种等可能的结果，
∵两个球上的数字之差的绝对值为1的有共6种情况，
∴，
∴这种游戏方案设计对甲、乙双方公平．
18．有一张观看“我和我的祖国”的电影票，小胡和小明都想拥有，为此两人做了一个游戏，在一个不透明的纸箱里装有点数分别是1、2、3的纸牌各一张，三张纸牌的花色大小相同，游戏规则是：两人各摸纸牌一张，小胡先从纸箱里摸牌一张，记录好点数后放回，再由小明从纸箱里摸牌一张，若两人摸到纸牌的点数和为奇数时，小胡拥有电影票；若两人摸到纸牌的点数和为偶数时，则小明拥有电影票，这个拥有电影票的游戏规则对双方公平吗？请利用树状图或列表法说明理由．
【解析】根据题意画图如下，
共有9种等可能的情况数，其中两人摸到纸牌的点数和为奇数有4种情况，两人摸到纸牌的点数和为偶数有5种情况，
则小胡拥有电影票的概率是，小明拥有电影票的概率是，
∵，
∴这个拥有电影票的游戏规则对双方不公平．
19．有两个可以自由转动的均匀转盘、分别被分成等份、等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：
①分别转动转盘与．
②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）．
③如果和为，王扬获胜；否则刘非获胜．
(1)用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率；
(2)你认为这个游戏对双方公平吗？若不公平，请制定一个新的游戏规则．
【解析】（1）解：列表如下：
╲ 0
0 0
2 2 1 0
3 3 2
共有种等可能的结果，其中和为的结果有种，
王扬获胜的概率；
（2）解：这个游戏对双方不公平，理由如下：
由（1）可知，王扬获胜的概率为，刘菲获胜的概率为，，
二人获胜的概率不相等，因此游戏不公平，
新的游戏规则如下：分别转动转盘与；两个转盘停止转动后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）；如果和为，王扬获胜，和为刘菲获胜．
题型四 概率的应用
20．在数学活动课上，张明运用统计方法估计瓶子中的豆子的数量．他先取出粒豆子，给这些豆子做上记号，然后放回瓶子中，充分摇匀之后再取出粒豆子，发现其中粒有刚才做的记号，利用得到的数据可以估计瓶子中豆子的数量约为（ ）粒．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设瓶子中有豆子粒豆子，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
答：估计瓶子中豆子的数量约为粒．
故选：．
21．某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（ ）
内容 时间/秒
日期 4
星期 3
时间 6
天气 3
A．日期 B．星期 C．时间 D．天气
【答案】C
【解析】由题意可得，
，，，，
∵，
∴大可能看到的内容是时间，
故选：C．
22．如图，现有一转盘被平均分成八等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字，转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．
(1)转动转盘，转出的数字不大于4的概率是_______；
(2)小明和小强玩转盘游戏，转出的数字为2的倍数小明胜，为3的倍数小强胜，这个游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请你设计出公平的游戏规则．
【解析】（1）解：转出的数字不大于4的可能是1、2、3、4这4种结果，则转出的数字不大于4的概率是．
故答案为：．
（2）解：转出的数字为2的倍的可能是2、4、6、8，即小明胜的概率为；转出的数字为3的倍的可能是3、6、9，即小强胜的概率为；由，故该游戏不公平；
设计的方案：转出数字是奇数，则小明胜，转出数字是偶数，则小强胜．
23．5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，主办方设了6个展馆，分别是：A国际综合馆，B东数西算馆，C数字产业馆，D产业数字馆，E创新场景馆，F数字生活馆，某校七年级某班同学计划参观其中一个展馆．
(1)如图①，小红设计了一个均匀的转盘被等分成6个扇形，用字母A，B，C，D，E，F分别表示六个展馆，转动转盘，当转盘停止后，指针落在某一区域，就参观相应的展馆．若转动转盘，指针落在“E创新场景馆”区域的概率是 ；
(2)小红希望转动转盘时，指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，同时又要让每个展馆都有被选中的机会，于是设计了被等分成8个扇形的如图②所示的转盘，请按小红的要求在图②的扇形中填上代表各展馆的字母，并求出指针落在“A国际综合馆”区域的概率．
【解析】（1）解：∵指针落在任一区域的可能性相同，
∴指针落在“E创新场景馆”区域的概率是；
（2）∵每个展馆都有被选中的机会，
∴先将每个展馆都填在一个区域内，
又指针落在“A国际综合馆”区域的概率最大，
∴剩下的两个区域都填上即可，
如图所示：
指针落在“A国际综合馆”区域的概率．
24．贵州“村超”火出圈！所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”．“村超”的民族风、乡土味、欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐．甲乙丙三人模仿“村超”进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
(1)求第4局甲当裁判的概率；
(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．
【解析】（1）解：要第4局甲当裁判，则第3局甲输，
第1局甲当裁判，
第2局甲为选手，
每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，
第2局甲获胜，
第4局甲当裁判的概率；
（2）解：第1局甲当裁判，
乙恰好当1次裁判出现在第2、3、4局，
当在第2局时的概率，
当在第3局时的概率，
当在第4局时的概率，
乙恰好当1次裁判的概率．
25．为迎接建党100周年，甲、乙两位学生参加了知识竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录这8次成绩（单位：分），并按成绩从低到高整理成如下表所示，由于表格被污损，甲的第5个数据看不清，但知道甲的中位数比乙的众数大3．
甲 78 79 81 82 x 88 93 95
乙 75 80 80 83 85 90 92 95
（1）求x的值；
（2）现要从中选派一人参加竞赛，从统计或概率的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．
【解析】（1）依题意，可知
甲的中位数为，乙的众数为80，
∴，
解得x=84．
（2）解法一：派甲参赛比较合适．
理由如下：
，
，
，
，
因为，，
所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．
解法二：派乙参赛比较合适．
理由如下：
从概率的角度看，甲获得85以上（含85分）的概率，
乙获得85分以上（含85分）的概率，
因为P1＜P2，
所以派乙参赛比较合适．
26．我市某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品九年级美术王老师从全年级14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图．
王老师所调查的4个班征集到作品共 件，其中B班征集到作品 件，请把图2补充完整；
王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全年级共征集到作品多少件？
如果全年级参展作品中有5件获得一等奖，其中有3名作者是男生，2名作者是女生现在要在其中抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率(要求写出用树状图或列表分析过程)
【解析】(1)所调查的四个班总数为：(件)，B作品的件数为：12-2-5-2=3(件)；补充图如下
（2）王老师所调查的4个班平均作品数为： （件）
估计全年级共征集到作品： （件）
（3）列表如下：
男1 男2 男3 女1 女2
男1 ______ 男1 男2 男1 男3 男1 女1 男1 女2
男2 男2 男1 ______ 男2 男3 男2 女1 男2 女2
男3 男3 男1 男3 男2 ______ 男3 女1 男3 女2
女1 女1 男1 女1 男2 女1 男3 ______ 女1 女2
女2 女2 男1 女2 男2 女2 男3 女2 女1 ______
共有20种机会均等的结果，其中一男一女占12种，
所以 即恰好抽中一男一女的概率为.
题型五 用频率估计概率及其应用
27．下列说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率就是概率
C．若顺次连接某四边形的四边中点得到一个正方形，则原四边形一定是正方形
D．如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
【答案】D
【解析】A．对角线相等的平行四边形是矩形，故原说法错误，不符合题意；
B．在大量重复试验中，随着试验次数的增加，频率接近概率，但频率不是概率，故原说法错误，不符合题意；
C．若顺次连接某四边形的四边中点得到一个正方形，则原四边形的对角线相等且互相垂直，而对角线相等且互相垂直的四边形不一定是正方形，故原说法错误，不符合题意；
D．如图，中为边上的中线，且，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴为直角三角形，
∴如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形，故此说法正确，符合题意．
故选：D．
28．某区为了解初中生近视情况，在全区进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，下列对该区初中生近视的概率的估计，最合理的是（ ）
累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 800
近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.400 0.401 0.413 0.409 0.410
A．0.423 B．0.400 C．0.413 D．0.410
【答案】D
【解析】根据表格信息，近视学生数与的比值逐渐趋向于，
故选：D ．
29．在一个不透明的口袋中装有红色、白色小球共25个，这些小球除颜色外其他完全相同．搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，放回，重复上述过程，小林通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色小球的频率稳定在0.4，则口袋中红色小球的个数为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．15
【答案】C
【解析】设红色小球x个，根据题意，得
，
解得．
故选：C．
30．在一个暗箱里有m个除颜色外完全相同的球，其中红球只有4个，每次将球充分摇匀后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回，通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，由此可以推算出m约为 ．
【答案】10
【解析】∵通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率为0.4，
∴摸到红球的概率为0.4，
∴，
∴m约为，
故答案为：．
31．在不透明的袋子中装有黑、白两种球共50个，这些球除颜色外都相同，随机从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，则袋子中黑球的个数约为 .
【答案】20
【解析】经过如此大量重复试验，发现摸出的黑球的频率稳定在0.4附近，
摸出的黑球的概率为0.4，
袋子中装有黑、白两种球共50个，
袋子中黑球的个数为：个，
故答案为：20．
32．某篮球运动员在最近几场比赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数n 8 10 12 9 10 16 20
进球次数m 6 8 9 7 7 12 15
进球频率
(1)计算进球频率；
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率是多少？
【解析】（1）解：利用进球次数除以投篮次数，填表如下：
投篮次数n 8 10 12 9 10 16 20
进球次数m 6 8 9 7 7 12 15
进球频率 0.75 0.8 0.75 0.78 0.7 0.75 0.75
（2）由表格可知：进球的概率是0.75．
33．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同．小颖做摸球试验，搅匀后，她从盒子里随机摸出一个球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，表格是实验中的部分统计数据：
摸球的次数n 10 20 50 100 200 400 500 1000
摸到白球的次数m 4 7 10 28 45 97 127 252
摸到白球的频率m 0.400 0.350 0.200 0.280 0.225 0.243 0.254 0.252
(1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 （精确到0.01）；
(2)试估算盒子里白球有 个；
(3)某小组进行“用频率估计概率”的试验，符合（1）中结果的试验最有可能的是
（填写所有正确结论的序号）．
①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上．
②掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”．
③从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”．
④在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项．
【解析】（1）解：由表可知，当n很大时，摸到白球的频率将会接近；
故答案为：；
（2）解：根据题意得：（个），
故答案为：；
（3）解：①投掷一枚均匀的硬币，落到桌面上恰好是正面朝上的概率为，故此选项不符合题意；
掷一个质地均匀的正方体骰子（面的点数分别为1到6），落地时面朝上点数“大于4”的概率为，故此选项不符合题意；
从一副不含大小王的扑克牌中任意抽取一张，这张牌是“红桃”的概率为，故此选项符合题意；
在一道单选题A、B、C、D四个选项任选一个，正好选中正确选项的概率为，故此选项符合题意．
故答案为：③④．
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