中小学教育资源及组卷应用平台
期中复习专项04 图形的相似10大题型
题型一 成比例线段
1．已知，且，则的值是（ ）．
A． B．3 C．1 D．0
【答案】A
【解析】，
，
∴
，
故选：．
2．如果地图上两地的图距是，表示实际距离为，那么在地图上图距是的两地，实际距离是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解：设在地图上图距是的两地，实际距离是，
根据题意得，解得，
故选：C．
3．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．，，， B．、、、
C．，，， D．、，，
【答案】D
【解析】A、由于，所以不成比例，故不符合题意；
B、由于，所以不成比例，故不符合题意；
C、由于，所以不成比例，故不符合题意；
D、由于，所以成比例，故符合题意；
故选D．
4．若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】D
【解析】∵a，b，c，d是成比例线段，
∴，
∴，即，解得：．
故选：D．
5．若，则的值为 ．
【答案】/0.5
【解析】，
，
，
，
故答案为：．
6．已知，求 ．
【答案】/
【解析】∵，
∴，
∴，
故答案为：．
7．已知线段b是线段c和线段d的比例中项，且，则线段 ．
【答案】
【解析】∵线段b是线段c和线段d的比例中项，且，
∴，
∴，
故答案为：．
题型二 黄金分割
8．如图，是乐器上的一根弦，且长为，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点（即），则支撑点与A之间的距离为 ．（结果保留根号）
【答案】
【解析】设，则，
，
即，
，
即
解得，（舍），
点A与点C之间的距离为，
故答案为：．
9．如图，某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车的倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置，如果车头与倒车镜的水平距离为米，则该车车身总长为 米．
【答案】/
【解析】设该车车身总长为米，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，
该车车身总长为：米，
故答案为：．
10．如图，线段，在线段上找一点把分为和两段，其中，若，则点就叫做线段的黄金分割点，其中（或）的值叫做黄金分割数．则黄金分割数是 ．
【答案】
【解析】∵，设，则，
∴根据可得，，
整理得，，
∵，
∴，
当时，原分式方程中的分母不为0，
∴，
当时，，
∴；
当时，，不符合题意，舍去；
∴黄金分割数是，
故答案为： ．
11．黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若，则AB的长为 ．（结果保留根号）
【答案】
【解析】∵C、D两点都是的黄金分割点，设，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
解得：，（舍去），
故答案为：．
12．“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的插比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点大致是的黄金分割点，如果的长为，那么的长约为 ．
【答案】
【解析】∵点P大致是的黄金分割点，，
∴，
∴，
故答案为：．
题型三 平行线分线段成比例
13．如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，，，；
选项A、C、D正确，不符合题意；选项B错误，不符合题意．
故选：B．
14．如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】A．，
，故本选项不符合题意；
B．，
，故本选项不符合题意；
C．，
，故本选项不符合题意；
D．，
，故本选项符合题意；
故选：D．
15．如图，在三角形中，，，点M是的中点，是的角平分线，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过点M作交于点N，
∵，点M是的中点，
∴，
∴点N是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
，
∴，
∵是的中位线，
∴，
∴，
故选：B．
16．如图，若，，，，则长为 ．
【答案】2
【解析】∵，
∴．
∵，
∴，
解得．
故答案为：2．
17．如图，在中，，，，点为的中点，于点．
（1）的长为 ；
（2）的值为 ．
【解析】（1）点为的中点，，
，
，，
，
，
的面积，
，
，
解得：，
故答案为：；
（2）过点作，交的延长线于点，
，，
，
∴，
在中，，，
，
，
，
，，
，
，
∵，
，
故答案为：．
18．如图，直线，，，则的长是 ．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴；
故答案为．
19．如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，则 ．
【答案】18
【解析】∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：18．
20．如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长．
【答案】，
【解析】∵，，，
∴，即，
解得：，
∴．
∵，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，．
题型四 相似比及相似多边形的性质
21．下列各组图形中，不一定相似的是（ ）
A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形
C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形
【答案】D
【解析】A．一组邻边对应成比例的两个矩形，对应角都是直角，一定相似，故本选项不符合题意；
B．两个顶角相等的等腰三角形其他角也相等，一定相似，故本选项不符合题意；
C．有一个内角对应相等的两个菱形其他角也相等，菱形四条边相等，对应边成比例，故一定相似，故本选项不符合题意；
D． 有两条边对应成比例的两个直角三角形，不一定相似，故本选项符合题意；
故选：D．
22．下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由图形相似的概念知，选项D中的两个图形不相似；
故选：D．
23．下列命题为真命题的是（ ）
A．对角线相互垂直的四边形是菱形；
B．对角线相互垂直且相等的四边形是正方形
C．所有的矩形都相似，且所有的菱形也都相似
D．任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成平行四边形
【答案】D
【解析】对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，因不能判定邻边是否相等，故A选项不是真命题；
对角线相互垂直且相等的四边形不一定是正方形，故B选项不是真命题；
所有的矩形不一定相似，所有的菱形也不一定相似，故C选项不是真命题；
任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成平行四边形，故D选项是真命题，
故选：D．
24．在如图所示的三个矩形中，相似的是（ ）
A． B． C． D．都不相似
【答案】B
【解析】矩形，，的邻边之比分别为：，，，
∴相似的是，
故选：．
25．如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正方形的边长为，
∵、、、分别为正方形各边的中点，
∴，
∵，
∴新新正方形与原正方形的相似比，
故选：．
26．如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的二面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】由题意知，
，
∵裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，
，
，
，
(舍去)或
故选：D．
27．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为 ．
【答案】
【解析】设，
∵四边形是一张矩形纸片，
∴，，
由折叠的性质得，，，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵矩形与原矩形相似，
∴，
∴，
解得，（不合，舍去），
∴，
故答案为：．
28．如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为 ．
【答案】
【解析】∵五边形与五边形相似，且相似比为，，
∴，
∴．
故答案为：．
题型五 证明两三角形相似
29．如图，在中，，，则图中共有（ ）对相似三角形
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】∵，
∴，
同理可得：，
∴，
∵、，
∴，
∴，
综上，图中共有4对相似三角形．
故选C．
30．已知：在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意；
B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意；
故选：B．
31．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个等腰直角三角形 B．两个直角三角形
C．两个等腰三角形 D．两个锐角三角形
【答案】A
【解析】、任意两个等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，两腰分别相等，它们两边的比值成比例，夹角为直角相等，根据相似三角形的判定定理可得任意两个等腰直角三角形相似，故符合题意；
、任意两个直角三角形，根据三角形相似的判定定理不能得到任意两个直角三角形相似，故不符合题意；
、任意两个等腰三角形，根据三角形相似的判定定理不能得到任意两个等腰三角形相似，故不符合题意；
、任意两个锐角三角形，根据三角形相似的判定定理不能得到任意两个锐角三角形相似，故不符合题意；
故选：．
32．如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽
【答案】见解析
【解析】证明：将绕点B逆时针旋转得到，
由旋转性质，得，，，
，
，
，
即，
∽
33．已知：在和中， ．求证：．
【答案】见解析
【解析】证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E，
∵，∴，
∴，
又，，
∴，，
∴，
在和中
，
∴，
∴．
33．（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，，分别在边，上，，，，求的长．
【解析】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵点在的延长线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
题型六 利用相似三角形测高
35．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
【答案】D
【解析】由题意知：，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验，是所列方程的解，
故选：D．
36．如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为， 测量得到， 蜡烛高为， 则像的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据题意可得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
37．如图所示，某种品牌小轿车左右两个参照点A和F的距离为米，这两个参照点到地面的距离米，若驾驶员的眼睛点P到地面的距离米，则驾驶员的视野盲区的长度为 米．
【答案】9
【解析】设与交于，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：9．
38．如图所示，我校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，求建筑物的高．
【解析】由题意得：，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
39．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．
【解析】据题意可得，，
，
．
，，，
，
，
．
答：树高为．
40．【数学眼光】
星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示．
【问题提出】
问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示）
【数学思维】
但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示．
问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度．
【数学语言】
问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？
【解析】问题一：由反射特点可知，
又∵，
∴，
∴
∵，，
即：，
∴．
问题二：
由反射特点可知，，
∵
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，，
∴，解得，
∴，
解得；
问题三：（1）理论上入射角等于反射角，即本题中直角减去入射角和反射角得到和，实际操作中有误差；
（2）实际中测量两点之间的距离也存在误差．
41．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米．
测量数据（精确到0.1米）如表所示：
直杆高度 直杆影长 的长
第一次 1.0 0.6 15.8
第二次 1.0 0.7 20.1
(1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______；
(2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米．
【解析】（1）由同一时刻测量，可得，
第一次测量：，化简得，，
第二次测量：，化简得，，
故答案为：，；
（2）对于，代入，
得，，
解得：，
钟楼米，
故答案为：43．
题型七 相似三角形的判定与性质综合
42．如图，矩形中，平分，过点作，连接并延长交于点，交于点．则下列结论：①；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】①四边形是矩形，
，
平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，
设，则有
，
；
故①正确；
②四边形是矩形，
，
，
，
，
即：，
，
，
，
，
，
故②正确；
③如图，延长交于，
由①②得：
，
，
，
即：，
，
，
，
，，
，
由①得：，
，
，
解得：，
，
，
解得：，
四边形是矩形，
，
故③错误；
④由上过程得：，
，
，
，
由③得：，
，
，
解得：，
，
，
，
解得：，
，
同理可证：，
，
，
故④正确；
故选：B．
43．如图，点分别在菱形的边、上，且，交于点G，延长交的延长线于点H，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴设，则，，，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
44．如图，在中，已知，，，若的面积是27，则的面积是（ ）
A．9 B．36 C．48 D．52
【答案】C
【解析】∵，
∴，，
∴，
∴，
，，
，
，
，
，
∴的面积是48，
故选：C．
45．如图，在中，，，，平分，平分，过点D作直线，分别交于点P、Q，若，则线段的长是（ ）
A．5 B． C． D．6
【答案】B
【解析】由勾股定理得，，
∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，即，
如图，
∴，
∴，
∴，
设，则，，，
∵，
∴，即，
解得，，，
∴，
故选：B．
46．已知中，，平分，，．点D、E分别是边、上的点（点D不与点B、C重合），且，、相交于点F．
(1)求的长；
(2)如图1，如果，求的值；
(3)如果是以为腰的等腰三角形，求长．
【解析】（1）解：平分，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
（2）解：由（1）可知，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
如图，过点作交于点，
，，
，，
，
，
；
（3）解：是以为腰的等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
．
47．如图，在中，，，，点P从点A开始向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动．
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？
(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？
(3)几秒钟后，与相似？
【解析】（1）解：设经过秒以后，面积为（）
此时，，，
由，得，
整理得：，
解得：，（舍）．
（2）解：设经过秒后，的长度等于，
由，得，
解得：（舍去），．
答：2秒后，的长度为．
（3）解：当时，
即，解得
当时，
，
即，
解得，
或．
48．（1）如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，则_______
（2）如图2，正方形的边长为，为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角三角形，，连接，求的度数．
（3）在（2）的条件下，如图3，连接，求面积的最大值．
【解析】（1）和均为等腰直角三角形，
，
故答案为：；
（2）连接，如图所示
四边形是正方形
，
为等腰直角三角形，
，
（3）作交于，不妨设，如图所示：
由（2）可知，
那么为等腰直角三角形
那么
，，
时，最大，此时最大值为4
49．西安环城公园是一处融合了明代城墙韵味与现代绿化风貌的公益性公园．它不仅是自然的馈赠，更是历史的见证．小华和小刚打算测量环城公园安定门段的牌坊的高度．如图，小华站在点D处，位于点D正前方3米的点C处有一平面镜，通过平面镜小华刚好可以看到牌坊顶端A的像，此时测得小华眼睛到地面的距离ED为1.5米；小刚在G处竖了一根高为2米的标杆，发现地面上的点H，标杆的顶端F和牌坊的顶端A在一条直线上，此时测得米，米，已知，于G，于D，于B，点B，C，D，G，H在一条直线上，请根据以上数据计算牌坊的高度．
【解析】根据题意，得，
又，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
即牌坊的高度11米．
题型八 利用相似三角形的性质求解
50．已知，的周长是周长的一半，，，则边上的高等于（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】B
【解析】∵，的周长是周长的一半，
∴与的相似比为，
∴与的面积比为，
∵，
∴的面积为
∵，则边上的高等于
故选：B．
51．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，，
，
故选：C．
52．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，已知，，测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（ ）米．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，
由题意可得：，
，
，，
，
，
，
米，米，米，
，
解得：米，
故选：D．
53．如图，在中，，与四边形的面积的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
54．如图，已知等腰三角形中，，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当时， ．
【答案】
【解析】设运动时间为，
∵，
∴，
即，
解得：，
∴，
故答案为：．
55．已知，相似比为，则与的周长比为 ．
【答案】/
【解析】∵，相似比为，
∴与的周长比等于相似比．
故答案为：．
56．在中，，，，现有动点P从点A出发，沿线段向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段向终点B运动，连接．如果点P的速度是，点Q的速度是．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．
(1)当t为多少时，的长度等于？
(2)当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似？
【解析】（1）解：∵中，，，，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得，
，或，
∵，
∴
（2）解：∵，
∴当与相似时，
一种情况是
，
∴，
∴；
另一种情况是
，
∴，
∴，
故当或时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似．
题型九 相似三角形的动点问题
57．如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为（ ）
A．4.5s B．4.5s或5.76s C．6.76s D．5.76s或6.76s
【答案】B
【解析】设运动时间为，
由题意，得：，
∴，
当时：则，即，
解得：；
当时：则，即，
解得：；
综上：或；
故选B．
58．如图，，，，，．点P在上移动：当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为 ．
【答案】或2或10
【解析】若，
∴，
设，
∵，，，
，
解得；经检验符合题意，
若，
∴，
设，
∵，，，
，
解得；经检验，符合题意，
综上所述，的长度为或2或10，
故答案为：或2或10．
59．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动；
(1)当移动几秒时，的面积为8．
(2)若两点同时分别从A、B出发，经过多长时间与相似？
【解析】（1）解：设运动时间为t秒时，由题意知，，，
∴，
解得或4，
∴当移动2秒或4秒时，的面积为8，
答：当移动2秒或4秒时，的面积为8；
（2）解：分两种情况：
①当时，则，
即，
解得：，
②当时，
则，
即，
解得：，
综上，当移动3秒或秒时，与相似．
60．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿运动：同时，点从点出发，以的速度沿运动.当点到达点时，、两点同时停止运动.设点、运动时间为.
(1)为何值时面积为9？
(2)当与相似时，的值是多少？
【解析】（1）解：由题意知，，
，
，
当时，，
解得，
的值为3时面积为9；
（2）解：分两种情况，
当时，，
即，
解得；
当时，，
即，
解得；
综上可知，当与相似时，的值是或．
61．如图1，在中，，点D是上一定点．动点P从C出发，以的速度沿方向运动，动点Q从D出发，以的速度沿方向运动．点P出发后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止．图2是当时的面积与点P的运动时间的函数图象．
(1)_______，________；
(2)当点P在边上时，t为何值时，使得与为相似？
【解析】（1）解：当点运动到点时，的面积为18，
∴，
解得，
，
当时，，点在点，点在上，如图1，作于，
在中，，
，
∵，
，
∴，即，
解得，
∴，
即；
故答案为：；
（2）解：点在边上，
当，点在点，，
若，
∴，即，
解得；
当，则，
当时，，如图2，
∵，
∴，即，解得，不合题意舍去；
当时，，如图3，
∵，
∴，即，
解得，
综上所述，当为或时，与为相似．
62．如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间那么：
(1)当t为何值时，为等腰直角三角形？
(2)求四边形的面积，提出一个与计算结果有关的结论；
(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似？
【解析】（1）四边形是矩形，，，
，，，
点P沿边从点A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动，
，，，
∵当时，是等腰直角三角形，
∴即，
∴当时，△AQP是等腰直角三角形；
（2）∵在中，，边上的高，，
在中，，边上的高，
，
，
由计算结果发现：在P、Q两点移动的过程中，四边形的面积始终保持不变．
（3）根据题意，可分为两种情况，
在矩形ABCD中：
①当时， ，
，
解得，
②当时， ，
，
解得，
所以，当或时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似．
题型十 图形的位似
63．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∵和是以点为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∴，
∴和的周长之比为，
故选：D．
64．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【解析】当位似图形与在y轴同侧时，
∵，相似比为2，
∴；
当位似图形与在y轴两侧时，
∵，相似比为2，
∴；
故选：D．
65．如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为3，则的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【解析】解∵已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若
∴，，
∴，，
∴，
解得，
故选：D．
66．如图，点，，以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是 ．
【答案】或
【解析】将放大倍，点，
点的坐标是或，即或，
故答案为：或．
67．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
拓展设问：与的面积比为________，周长之比为________．
【答案】A；拓展设问：，
【解析】∵△ABC与是位似图形，位似中心为点O，点的对应点为，
∴△ABC与的相似比为，
∵点B的坐标为，
∴点B的对应点的坐标为，即，
拓展设问：
△ABC与的相似比为，
与的面积比为，周长之比为．
故答案为：A；；．
68．如图，O为原点，B，C两点坐标分别为．
(1)以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，并画出图形；
(2)已知为内部一点，写出M的对应点的坐标．
【解析】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由图可得，点，即对应点的是原点横、纵坐标的倍．
所以点的对应点的坐标为．
69．在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为．格点（顶点是网格线的交点）的两个顶点坐标分别是，．
(1)请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，并写出点的坐标；
(2)以为位似中心在网格内画出的位似图形，使与其位似图形的相似比为，并计算的周长．
【解析】（1）解：坐标系如图所示，则点A的坐标为；
（2）解：如图所示，即为所求；
∵，，，
∴，，
，
∴的周长为，
∵与的相似比为，
∴与的周长比为，
∴的周长为．
70．如图，在的网格图中，已知和点，
(1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2；
(2)写出各顶点的坐标．
【解析】（1）解：如图，为所作；
（2）解：由（1）作图可得，，，．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
期中复习专项04 图形的相似10大题型
题型一 成比例线段
1．已知，且，则的值是（ ）．
A． B．3 C．1 D．0
2．如果地图上两地的图距是，表示实际距离为，那么在地图上图距是的两地，实际距离是（ ）．
A． B． C． D．
3．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．，，， B．、、、
C．，，， D．、，，
4．若a，b，c，d是成比例线段，其中，，，则线段d的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
5．若，则的值为 ．
6．已知，求 ．
7．已知线段b是线段c和线段d的比例中项，且，则线段 ．
题型二 黄金分割
8．如图，是乐器上的一根弦，且长为，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点（即），则支撑点与A之间的距离为 ．（结果保留根号）
9．如图，某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车的倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置，如果车头与倒车镜的水平距离为米，则该车车身总长为 米．
10．如图，线段，在线段上找一点把分为和两段，其中，若，则点就叫做线段的黄金分割点，其中（或）的值叫做黄金分割数．则黄金分割数是 ．
11．黄金分割在生活中有着非常广泛的应用，如图，在国旗上的五角星中，C、D两点都是线段AB的黄金分割点．若，则AB的长为 ．（结果保留根号）
12．“黔绣”的技师擅长在叶脉上飞针走绣，巧妙地将传统刺绣图案与树叶天然纹理完美结合，创作出神奇的“叶脉苗绣”作品．实际上，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的插比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点大致是的黄金分割点，如果的长为，那么的长约为 ．
题型三 平行线分线段成比例
13．如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，已知，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
15．如图，在三角形中，，，点M是的中点，是的角平分线，，则（ ）
A． B． C． D．
16．如图，若，，，，则长为 ．
17．如图，在中，，，，点为的中点，于点．
（1）的长为 ；
（2）的值为 ．
18．如图，直线，，，则的长是 ．
19．如图，、相交于点，点、分别在、上，．若，则 ．
20．如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长．
题型四 相似比及相似多边形的性质
21．下列各组图形中，不一定相似的是（ ）
A．一组邻边对应成比例的两个矩形 B．两个顶角相等的等腰三角形
C．有一个内角相等的两个菱形 D．有两条边对应成比例的两个直角三角形
22．下列每个选项的两个图形，不是相似图形的是（ ）
A． B．
C． D．
23．下列命题为真命题的是（ ）
A．对角线相互垂直的四边形是菱形；
B．对角线相互垂直且相等的四边形是正方形
C．所有的矩形都相似，且所有的菱形也都相似
D．任意画一个四边形，以四边的中点为顶点可以组成平行四边形
24．在如图所示的三个矩形中，相似的是（ ）
A． B． C． D．都不相似
25．如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为（ ）
A． B． C． D．
26．如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的二面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于（ ）
A． B． C．2 D．
27．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则的长为 ．
28．如图，已知五边形与五边形相似且相似比为，．则的长为 ．
题型五 证明两三角形相似
29．如图，在中，，，则图中共有（ ）对相似三角形
A．2 B．3 C．4 D．5
30．已知：在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
31．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个等腰直角三角形 B．两个直角三角形
C．两个等腰三角形 D．两个锐角三角形
32．如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽
33．已知：在和中， ．求证：．
34．（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，，分别在边，上，，，，求的长．
题型六 利用相似三角形测高
35．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
36．如图，是凸透镜的主光轴，点O是光心，点F是焦点．若蜡烛的像为， 测量得到， 蜡烛高为， 则像的长为（ ）
A． B． C． D．
37．如图所示，某种品牌小轿车左右两个参照点A和F的距离为米，这两个参照点到地面的距离米，若驾驶员的眼睛点P到地面的距离米，则驾驶员的视野盲区的长度为 米．
38．如图所示，我校数学兴趣小组利用标杆测量建筑物的高度，已知标杆高为，测得，，求建筑物的高．
39．《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．小南利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为，，小南的眼睛到地面的距离为，测得，求树高．
40．【数学眼光】
星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示．
【问题提出】
问题一：现测量得到，，．问：海关大楼高高为多少？（用，，表示）
【数学思维】
但在进一步观察海关大楼周围的环境之后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3所示，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示．
问题二：小星测量得到，，，，请你求出海关大楼的高度．
【数学语言】
问题三：小星在求出来数据之后，上网查阅了资料发现海关大楼高度为，请你尝试着分析出现这样误差的原因是什么？
41．每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设的长为x米，的长为y米．
测量数据（精确到0.1米）如表所示：
直杆高度 直杆影长 的长
第一次 1.0 0.6 15.8
第二次 1.0 0.7 20.1
(1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______；
(2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得，则钟楼的高度约为______米．
题型七 相似三角形的判定与性质综合
42．如图，矩形中，平分，过点作，连接并延长交于点，交于点．则下列结论：①；②；③若，，则；④若，则．其中正确的是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
43．如图，点分别在菱形的边、上，且，交于点G，延长交的延长线于点H，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
44．如图，在中，已知，，，若的面积是27，则的面积是（ ）
A．9 B．36 C．48 D．52
45．如图，在中，，，，平分，平分，过点D作直线，分别交于点P、Q，若，则线段的长是（ ）
A．5 B． C． D．6
46．已知中，，平分，，．点D、E分别是边、上的点（点D不与点B、C重合），且，、相交于点F．
(1)求的长；
(2)如图1，如果，求的值；
(3)如果是以为腰的等腰三角形，求长．
47．如图，在中，，，，点P从点A开始向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当P、Q两点中有一点到达终点时，则同时停止运动．
(1)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的面积等于？
(2)如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过几秒时，的长度等于？
(3)几秒钟后，与相似？
48．（1）如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，则_______
（2）如图2，正方形的边长为，为边上一动点，以为斜边在正方形内部作等腰直角三角形，，连接，求的度数．
（3）在（2）的条件下，如图3，连接，求面积的最大值．
49．西安环城公园是一处融合了明代城墙韵味与现代绿化风貌的公益性公园．它不仅是自然的馈赠，更是历史的见证．小华和小刚打算测量环城公园安定门段的牌坊的高度．如图，小华站在点D处，位于点D正前方3米的点C处有一平面镜，通过平面镜小华刚好可以看到牌坊顶端A的像，此时测得小华眼睛到地面的距离ED为1.5米；小刚在G处竖了一根高为2米的标杆，发现地面上的点H，标杆的顶端F和牌坊的顶端A在一条直线上，此时测得米，米，已知，于G，于D，于B，点B，C，D，G，H在一条直线上，请根据以上数据计算牌坊的高度．
题型八 利用相似三角形的性质求解
50．已知，的周长是周长的一半，，，则边上的高等于（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
51．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
52．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，已知，，测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（ ）米．
A． B． C． D．
53．如图，在中，，与四边形的面积的比是（ ）
A． B． C． D．
54．如图，已知等腰三角形中，，，点P从点B出发沿以的速度向点A运动；同时点Q从点C出发沿以的速度向点B运动，在运动过程中，当时， ．
55．已知，相似比为，则与的周长比为 ．
56．在中，，，，现有动点P从点A出发，沿线段向终点C运动，动点Q从点C出发，沿线段向终点B运动，连接．如果点P的速度是，点Q的速度是．它们同时出发，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为．
(1)当t为多少时，的长度等于？
(2)当t为多少时，以C，P，Q为顶点的三角形与相似？
题型九 相似三角形的动点问题
57．如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为（ ）
A．4.5s B．4.5s或5.76s C．6.76s D．5.76s或6.76s
58．如图，，，，，．点P在上移动：当以P，C，D为顶点的三角形与相似时，则的长为 ．
59．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动；
(1)当移动几秒时，的面积为8．
(2)若两点同时分别从A、B出发，经过多长时间与相似？
60．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿运动：同时，点从点出发，以的速度沿运动.当点到达点时，、两点同时停止运动.设点、运动时间为.
(1)为何值时面积为9？
(2)当与相似时，的值是多少？
61．如图1，在中，，点D是上一定点．动点P从C出发，以的速度沿方向运动，动点Q从D出发，以的速度沿方向运动．点P出发后，点Q才开始出发，且当一个点达到B时，另一个点随之停止．图2是当时的面积与点P的运动时间的函数图象．
(1)_______，________；
(2)当点P在边上时，t为何值时，使得与为相似？
62．如图，在矩形中，，，点P沿边从点A开始向点B以的速度移动；点Q沿边从点D开始向点A以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间那么：
(1)当t为何值时，为等腰直角三角形？
(2)求四边形的面积，提出一个与计算结果有关的结论；
(3)当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与相似？
题型十 图形的位似
63．如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
64．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（ ）
A． B． C．或 D．或
65．如图，平面直角坐标系中，已知顶点，以原点为位似中心，将缩小后得到，若的面积为3，则的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
66．如图，点，，以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是 ．
67．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
拓展设问：与的面积比为________，周长之比为________．
68．如图，O为原点，B，C两点坐标分别为．
(1)以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，并画出图形；
(2)已知为内部一点，写出M的对应点的坐标．
69．在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为．格点（顶点是网格线的交点）的两个顶点坐标分别是，．
(1)请在图中的网格平面内画出平面直角坐标系，并写出点的坐标；
(2)以为位似中心在网格内画出的位似图形，使与其位似图形的相似比为，并计算的周长．
70．如图，在的网格图中，已知和点，
(1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2；
(2)写出各顶点的坐标．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
