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期中复习专项01 特殊平行四边形11大题型
题型一 利用菱形性质进行求解
1．如图，在菱形中，直线分别交、、于点、和．且，连接．若，则为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于，两点，过，两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若， ，则菱形的面积为（ ）
A．12 B．18 C．6 D．2
5．如图所示，在菱形中，以点B为圆心，一定长为半径画弧分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点Q．若，则 ．
6．如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是对角线上一动点，以为斜边向右侧作等腰，连接，则线段的最小值为 ．
7．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于点，则 ．
8．如图，在菱形中，对角线相交于点，，则菱形的面积为 ．
9．如图，菱形的对角线的长分别是3和6，则菱形的面积是 ．
题型二 添加一个条件使四边形变菱形
10．如图，四边形的对角线，相互垂直，则下列条件能判定四边形为菱形的是（ ）
A． B．，相互平分
C． D．
11．如图，在四边形中，对角线相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
12．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接、、、，与交于点，添加下列条件不能使四边形成为菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
13．已知四边形的对角线垂直平分对角线于点，要使四边形为菱形，则可添加的条件是 （添加一个条件即可，不添加其他的点和线）．
14．如图，平行四边形的对角线相交于点O，过O的直线分别交、于点M、N．
(1)求证：
(2)连接，．请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由）
15．已知：如图，在中，点、在上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当四边形是菱形时，四边形应满足什么条件？（不需要说明理由）
题型三 菱形的判定
16．如图，在四边形中，，过点D分别作于点E，于点F．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)猜想与的数量关系，并说明理由．
17．如图，在矩形中，延长到，使，延长到，使，连接、、、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
18．如图，在菱形中，E，F是对角线上的两点，且．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是菱形．
19．如图，在中，点是对角线的中点，过点作，垂足为点，且交分别于点．求证：四边形是菱形．
20．如图，在中，平分交于，作交于点，作交于点．
求证：四边形是菱形．
21．如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
题型四 根据菱形的性质与判定进行求解
22．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
23．如图，在四边形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，，，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
24．在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点，交于点O．若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为（ ）
A．互相垂直平分 B．互相平分且相等
C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等
25．如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则 ．
26．如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是 ．
27．如图所示，是平行四边形的对角线，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于，两点作直线，分别交、于点、，连结、若，，则平行四边形的边上的高为 ．
28．已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
29．在四边形中，，，对角线交于点O，平分，延长至点E，使，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长．
30．如图，在平行四边形中，，，垂足分别为，，且．
(1)求证：平行四边形是菱形；
(2)若，，求平行四边形的面积．
题型五 矩形性质的应用
31．若顺次连结一个四边形各边的中点得到的图形是矩形，则这个四边形的对角线（ ）
A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直且平分
32．下列选项中，矩形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对边相等
C．对角线相等 D．对角互补
33．如图，在菱形中，，E，F分别为边和上的两个动点．当四边形为矩形时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
34．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
35．如图，在矩形中，点E是的中点，若，则的度数为 ．
36．如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点．，在点从移动到（点不动）的过程中，则线段 ．
37．如图，已知是矩形的对角线，E在线段上，F在线段上，求作菱形．
38．如图，矩形中，，，动点P以的速度从点A出发沿折线向终点C运动，动点Q以的速度从点D开始沿折线向终点B运动，如果点P、Q同时出发，设点P运动的时间t秒的面积为S．
(1)当Q在上运动时，______；
(2)当_____秒时，为等腰直角三角形？
(3)表示的面积S(可用含有t的代数式表示)，请直接写出结果．
39．如图，矩形中，对角线交于点O，以为邻边作平行四边形，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求四边形的面积．
40．在矩形中，，、分别是、上两点，并且垂直平分，垂足为．
(1)连接、．说明四边形为菱形；
(2)求的长．
题型六 矩形与折叠问题
41．如图，在矩形纸片中，，，点E是AB上一点，点F是上一点，点是上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
42．如图所示，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
43．如图，在矩形中，，在边上适当选定一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上一点处，且的面积是，则的长为（ ）
A． B． C． D．1
44．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点A落在点E处，交于点F且，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
45．如图，矩形中，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为 ．
46．已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为 ．
47．在矩形中，，，在上取一点E，将沿直线折叠，得到．
(1)如图1，若点F刚好落在上时，求的长；
(2)如图2，若点E从C到D的运动过程中，的角平分线交的延长线于点M，求M到的距离．
题型七 矩形的判定
48．在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中三个角是否是直角 D．测量对角线是否相等
49．下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（ ）
A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角
B．有三个角是直角
C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等
50．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：
甲：量得窗框两组对边分别相等；
乙：量得窗框对角线相等；
丙：量得窗框的一组邻边相等：
丁：量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等．
检测后，他们都判断说窗框是矩形，则检测方法正确的同学是 ．
51．如图，在中，对角线，相交于点，，在对角线上，且
(1)求证：；
(2)连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形(不需要证明
52．如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F分别为的中点，延长至G，使，连接．
(1)求证：；
(2)当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．
53．如图，在平行四边形中，延长到点，使，交于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由．
54．如图，平行四边形的对角线，相交于点O，是等边三角形．
(1)求证：平行四边形为矩形；
(2)若，求四边形的面积．
55．如图，为菱形的对角线，过点C作于点D，交于点E，点A在的延长线上，且满足，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
56．如图，菱形的对角线、相交于点，点为边的中点，过点作交的延长线于点．求证：四边形是矩形．
题型八 正方形性质的应用
57．下列说法不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．正方形是轴对称图形，且有四条对称轴 D．正方形的对角线平分一组对角
58．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形的邻边平行且相等 B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个内角都是直角 D．正方形的两条对角线互相垂直平分且相等
59．如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连结交于点F，则等于（ ）度．
A．112.5 B．125 C．135 D．150
60．如图，已知四边形为正方形，E 为对角线上一点，连接， 过 点E 作，交的延长线于点F，，， 则的长为（ ）
A． B． C．6 D．
61．如图，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，且正方形绕点旋转，已知，则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为（ ）
A．2 B． C．1 D．无法确定
62．如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至处，延长交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
63．如图，在菱形中，，正方形的顶点，在边和上，且．
（）的度数为 ．
（）若，则阴影部分的面积为 ．
64．如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ．
65．如图1，将边长为2的正方形如图放置在平面直角坐标系内．
(1)如图2，若将正方形绕点O顺时针旋转，直接写出A点坐标______．
(2)如图3，若将正方形绕点O顺时针旋转，求点B的坐标．
题型九 正方形性质与判定应用
66．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（ ）
A． B． C． D．
67．如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为点，若，，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
68．如图，在正方形中，点P在对角线上，分别为垂足，连接，若，则（ ）.
A． B． C． D．5
69．如图，在菱形中，对角线，交于点O，要使菱形成为正方形，应添加的一个条件是 ．
70．如图所示，在中，，为的中点，四边形为平行四边形，，相交于，连接，．
(1)试确定四边形的形状，并说明理由．
(2)当满足什么条件时，四边形为正方形？请给予证明．
71．如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：．
(2)若为等腰直角三角形，，求证：四边形是正方形．
72．如图，四边形是平行四边形，D为边上的中点，，连接，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，判断四边形的形状，并说明理由．
73．如图，正方形中， ，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形．
(2)求的值．
74．如图，点E是正方形中边上一点，且．
(1)尺规作图：①以与为邻边作正方形；②作，垂足为H（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，求证：
(3)连接，猜想四边形是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
题型十 中点四边形
75．顺次连接菱形四边中点所得的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．不能确定
76．如图，在中，，点分别是的中点，顺次连接，在从逐渐增大到的过程中，四边形形状的变化依次是（ ）
A．平行四边形→菱形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→正方形→平行四边形
77．定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
如图，在四边形中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形叫做四边形的中点四边形．
利用三角形中位线的相关知识解决下列问题：
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当对角线满足下列条件时，请你探究中点四边形的形状：(写出结果并证明)当时， 四边形是 ．
78．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为，顺次连接，得到四边形EFGH（即四边形的中点四边形）．
(1)求证：四边形的形状是平行四边形；
(2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是矩形；
(3)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形．
79．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”
【概念理解】
（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）．
【性质探究】
（2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论．
【问题解决】
（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”．
题型十一 四边形中的动点及最值问题
80．如图，矩形中，已知，F为上一点，且，连接．以下说法中：①；②当点E在边上时，则；③当时，则；④的最小值为10．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
81．如图，在矩形中，，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为 ．
82．如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是 ．
83．在矩形中，点E，F分别是，上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在点P处，连接，若，，则的最小值为 ．
84．如图，在矩形中，，点M从点A出发沿以秒的速度移动，同时，点N从点D出发沿以秒的速度移动，当点M到达点D时，M，N都停止移动，以为边向上作正方形，设移动的时间为x（秒），正方形的面积为．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当时，求y的值．
85．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿线段向点运动；同时点从点出发，以 的速度沿向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设、运动时间为秒，回答下列问题：
(1)求为何值时，四边形是矩形
(2)求为何值时，？
(3)是否存在的值，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
86．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是连接，，，设点，运动的时间为．
(1)求为何值时，四边形是矩形；
(2)求为何值时，四边形是菱形．
87．【问题原型】
如图1，在正方形中，．求证：．
【问题应用】
如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且．
（1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 ；
（2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 ．
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期中复习专项01 特殊平行四边形11大题型
题型一 利用菱形性质进行求解
1．如图，在菱形中，直线分别交、、于点、和．且，连接．若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵四边形是菱形，
∴，，．
∴．
∵
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
故选：B．
2．如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于，两点，过，两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意得，点E在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
3．如图，在菱形中，，对角线、相交于点，是对角线上的一动点，且于点，于点．由以下结论：①为等边三角形；②；③；④．其中正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】∵四边形是菱形，，
∴，，，，
∴为等边三角形，，则，
故①②正确；
∵，，
∴，
∴，，，
∴，，
故③④正确，
综上，正确的有4个，
故选：D．
4．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，若， ，则菱形的面积为（ ）
A．12 B．18 C．6 D．2
【答案】A
【解析】四边形是菱形，
，，
，
，
菱形的面积为．
故选：A．
5．如图所示，在菱形中，以点B为圆心，一定长为半径画弧分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点Q．若，则 ．
【答案】
【解析】∵菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由作图步骤可得平分，
∴，
∴，
故答案为：．
6．如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是对角线上一动点，以为斜边向右侧作等腰，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】2
【解析】如图所示，连接，
在中，，
∴当点三点共线时，最短，则的值最小，如图所示，连接，过点作于点，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴，且，
∴是等边三角形，
∵是的中点，
∴，，
∴在中，，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∴，
解得，，即，
∴，
故答案为： ．
7．如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于点，则 ．
【答案】
【解析】四边形是菱形
故答案为：．
8．如图，在菱形中，对角线相交于点，，则菱形的面积为 ．
【答案】
【解析】∵四边形是菱形，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，负值舍去．
∴，
∴菱形的面积为，
故答案为：．
9．如图，菱形的对角线的长分别是3和6，则菱形的面积是 ．
【答案】
【解析】菱形的对角线，的长分别是3和6，
菱形的面积．
故答案为：．
题型二 添加一个条件使四边形变菱形
10．如图，四边形的对角线，相互垂直，则下列条件能判定四边形为菱形的是（ ）
A． B．，相互平分
C． D．
【答案】B
【解析】、根据已知和不能推出四边形是平行四边形，更不是菱形，此选项错误，不符合题意；
、∵，互相平分，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形，此选项正确，符合题意；
、根据已知和不能推出四边形是平行四边形，更不是菱形，此选项错误，不符合题意；
、根据已知和不能推出四边形是平行四边形，更不是菱形，此选项错误，不符合题意；
故选：．
11．如图，在四边形中，对角线相交于点．添加下列条件，不能判定四边形是菱形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，
∴四边形是平行四边形，
当或时，均可判定四边形是菱形；
当时，
由知，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
当时，可判定四边形是矩形；
故选：B．
12．如图，四边形为平行四边形，延长到，使，连接、、、，与交于点，添加下列条件不能使四边形成为菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】四边形为平行四边形，
，，
，
，
四边形为平行四边形．
A．，
，
又，
，
四边形为菱形，故本选项正确；
B．无法判定平行四边形是菱形，故本选项错误；
C．，
，，
对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故本选项正确；
D．，，
，
平行四边形为菱形，故本选项正确．
故选B．
13．已知四边形的对角线垂直平分对角线于点，要使四边形为菱形，则可添加的条件是 （添加一个条件即可，不添加其他的点和线）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】添加，理由如下：
∵四边形的对角线垂直平分对角线于点，
，
，
∴四边形是菱形，
故答案为：（答案不唯一）．
14．如图，平行四边形的对角线相交于点O，过O的直线分别交、于点M、N．
(1)求证：
(2)连接，．请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由）
【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：添加：，理由如下：
如图，连接，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
15．已知：如图，在中，点、在上，且．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当四边形是菱形时，四边形应满足什么条件？（不需要说明理由）
【解析】（1）证明：连接交于，如图所示：
四边形是平行四边形，
∴，．，，
．
在和中，，
．
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：当四边形是菱形时，四边形应满足；理由如下：
由（1）得：四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
题型三 菱形的判定
16．如图，在四边形中，，过点D分别作于点E，于点F．
(1)求证：四边形是菱形．
(2)猜想与的数量关系，并说明理由．
【解析】（1）证明：∵，
∴四边形为平行四边形．
又∵，
∴四边形为菱形．
（2）解：．
理由：∵四边形为菱形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
17．如图，在矩形中，延长到，使，延长到，使，连接、、、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
【解析】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，即，
∴平行四边形是菱形．
（2）解：四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴菱形的面积为．
18．如图，在菱形中，E，F是对角线上的两点，且．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是菱形．
【解析】（1）证明：∵四边形为菱形，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（2）证明：连接交于点，
∵四边形为菱形，
∴，且为，中点，
又∵，
∴
∴与互相垂直且平分，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
19．如图，在中，点是对角线的中点，过点作，垂足为点，且交分别于点．求证：四边形是菱形．
【解析】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，，
∵点是对角线的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
20．如图，在中，平分交于，作交于点，作交于点．
求证：四边形是菱形．
【解析】证明：∵，
∴四边形为平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
则四边形是菱形．
21．如图，中，，垂直平分，垂足为，交于点，，连接，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
【解析】（1）证明：∵，
，
垂直平分，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
（2）解：，
，，
，
∴，
又∵，
四边形是平行四边形，
，
由（）可知，，
．
题型四 根据菱形的性质与判定进行求解
22．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可得：在四边形中，，
∴四边形为菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
23．如图，在四边形中，、分别是、的中点，、分别是、的中点，，，，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，令与的交点为，
、分别是、的中点，、分别是、的中点，
、、、分别是、、、的中位线，
，，，，，，
，
，
四边形是菱形，
，
，，
，
，，
，
，
，
故选：C.
24．在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点，交于点O．若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为（ ）
A．互相垂直平分 B．互相平分且相等
C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等
【答案】A
【解析】如图，连接，
∵点H和点E分别是和的中点，
是的中位线，
，，同理可得，，，
，，
∴四边形是平行四边形，
，，且，
是菱形，
与互相垂直平分．
25．如图，四边形为平行四边形，且平分，作，垂足为．若， ，则 ．
【答案】/
【解析】∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
26．如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分的面积是 ．
【答案】
【解析】过点作于点E，于点，
根据题意得：，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
同理：，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴．
故答案为：．
27．如图所示，是平行四边形的对角线，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于，两点作直线，分别交、于点、，连结、若，，则平行四边形的边上的高为 ．
【答案】
【解析】如图，
由作法得垂直平分，
∴，，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形，
∴
∴，
设 的边上的高为，
∵，
∴，
即 的边上的高为．
故答案为．
28．已知：如图，平行四边形中，对角线，相交于点，延长至，使，连接交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴；
（2）解：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，
由（）得：四边形是平行四边形，
∴，
∴．
29．在四边形中，，，对角线交于点O，平分，延长至点E，使，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长．
【解析】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
30．如图，在平行四边形中，，，垂足分别为，，且．
(1)求证：平行四边形是菱形；
(2)若，，求平行四边形的面积．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
平行四边形是菱形；
（2）解：连接交于O，
四边形是菱形，，
，，，
，，
，
，
．
题型五 矩形性质的应用
31．若顺次连结一个四边形各边的中点得到的图形是矩形，则这个四边形的对角线（ ）
A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直且平分
【答案】C
【解析】如下图，四边形是矩形，且分别是的中点，
，
∵四边形是矩形，即，
∴，
故选：C．
32．下列选项中，矩形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．对边相等
C．对角线相等 D．对角互补
【答案】A
【解析】A、矩形的对角线不一定互相垂直，故选项符合题意；
B、矩形的对边相等，故选项不符合题意；
C、矩形的对角线相等，故选项不符合题意；
D、矩形的对角互补，故选项不符合题意；
故选：A
33．如图，在菱形中，，E，F分别为边和上的两个动点．当四边形为矩形时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】四边形是菱形，
，
，
四边形为矩形，
，
，
故选：A．
34．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】作于，交于．
则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，
，
，
故选：C．
35．如图，在矩形中，点E是的中点，若，则的度数为 ．
【答案】/30度
根据矩形的性质与直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，从而，根据三角形外角的性质即可求得，进而根据角的和差即可解答．
【解析】∵在矩形中，，且点E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在矩形中，，
∴．
故答案为：
36．如图，在矩形中，分别是上的点，分别是的中点．，在点从移动到（点不动）的过程中，则线段 ．
【答案】
【解析】连接
分别是的中点
为的中位线，
是矩形
，
故答案为：．
37．如图，已知是矩形的对角线，E在线段上，F在线段上，求作菱形．
【解析】分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于、两点，连接，交于点，交于点，交于点，连接，，如图：
由作图可知，，，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
则菱形即为所求．
38．如图，矩形中，，，动点P以的速度从点A出发沿折线向终点C运动，动点Q以的速度从点D开始沿折线向终点B运动，如果点P、Q同时出发，设点P运动的时间t秒的面积为S．
(1)当Q在上运动时，______；
(2)当_____秒时，为等腰直角三角形？
(3)表示的面积S(可用含有t的代数式表示)，请直接写出结果．
【解析】（1）解∶四边形是矩形，，，
，
动点Q以的速度从点D开始沿折线向终点B运动，
，则．
故答案为∶；
（2）解：四边形是矩形， ，，
，
由题意得∶，
，
为等腰直角三角形，
，
，
解得∶，
即当t为时，为等腰直角三角形；
（3）解：分三种情况：
①当时，如图1所示：
由题意得：，
，
的面积
；
②当时，如图2所示：
由题意得，，
，
的面积；
③当时，如图2所示：
由题意得，，
，
的面积
；
综上，
．
39．如图，矩形中，对角线交于点O，以为邻边作平行四边形，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求四边形的面积．
【解析】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴．
∴四边形是菱形；
（2）解：设与交点为M．
∵，
∴．
∵四边形是菱形，
∴，，；
∵，
∴．
∴，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴．
40．在矩形中，，、分别是、上两点，并且垂直平分，垂足为．
(1)连接、．说明四边形为菱形；
(2)求的长．
【解析】（1）证明：∵四边形矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴设，则
在中，
，
∴
解得：，
∴的长为．
题型六 矩形与折叠问题
41．如图，在矩形纸片中，，，点E是AB上一点，点F是上一点，点是上一点，将矩形沿折叠，使点的对应点正好落在的中点处，则的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】∵四边形为矩形，，
∴，，
∵矩形沿折叠，点的对应点正好落在的中点处，
∴，，
设，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
∴，
故选：B．
42．如图所示，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点D落在点处，则重叠部分的面积为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】∵是矩形，
∴，，，
∴，
由折叠可得，，，
∴，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
解之得：，
∴，
∴．
故选：C．
43．如图，在矩形中，，在边上适当选定一点，沿直线把折叠，使点恰好落在边上一点处，且的面积是，则的长为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【解析】四边形是矩形，
，，，
，
，
，
是由翻折
，，
在中，，设，
，
，
，
．
故选：B
44．如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点A落在点E处，交于点F且，则的长为（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】C
【解析】在长方形中，，
，，
由折叠的性质可知，，，
，
∴，
∵，
，
故选：C．
45．如图，矩形中，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为 ．
【答案】或/8或2
【解析】如图，过点作于，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形为矩形，，
∴，，
由折叠可得，，，，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴；
如图，过点作与，则四边形是矩形，，
∴，，
由折叠可得，，，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴；
综上，的长为或，
故答案为：或．
46．已知，如图，长方形中，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为 ．
【答案】
【解析】根据折叠可知，则，
在中，，
即，
解得，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
47．在矩形中，，，在上取一点E，将沿直线折叠，得到．
(1)如图1，若点F刚好落在上时，求的长；
(2)如图2，若点E从C到D的运动过程中，的角平分线交的延长线于点M，求M到的距离．
【解析】（1）解：四边形是矩形，将沿直线折叠，点F刚好落在上，
∴，，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
；
（2）解：如图，过点作于，交的延长线于，交的延长线于．
四边形是矩形，
，，，
，，
，
四边形是矩形，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，
，
到的距离为8．
题型七 矩形的判定
48．在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是（ ）
A．测量对角线是否平分 B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中三个角是否是直角 D．测量对角线是否相等
【答案】C
【解析】A、根据对角线互相平分只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意；
B、根据对边分别相等，只能得出四边形是平行四边形，故本选项错误，不符合题意；
C、根据矩形的判定，可得出此时四边形是矩形，故本选项正确，符合题意；
D、根据对角线相等不能得出四边形是矩形，故本选项错误，不符合题意；
故选：C．
49．下列条件中，不能判定四边形是矩形的是（ ）
A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角
B．有三个角是直角
C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形
D．一组对边平行，另一组对边相等
【答案】D
【解析】A．一组对边平行且相等，有一个内角是直角的四边形是矩形，故A不符合题意；
B．有三个角是直角的四边形是矩形，故B不符合题意；
C．两条对角线把四边形分成两对全等的等腰三角形的四边形是矩形，故C不符合题意；
D．一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是梯形，故D符合题意．
故选：D．
50．甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时，木工师傅拿尺子要他们帮助检测一个窗框是否是矩形，他们各自做了如下检测：
甲：量得窗框两组对边分别相等；
乙：量得窗框对角线相等；
丙：量得窗框的一组邻边相等：
丁：量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线相等．
检测后，他们都判断说窗框是矩形，则检测方法正确的同学是 ．
【答案】丁
【解析】两组对边分别相等的四边形不一定是矩形，故甲说法错误；
对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线也相等，故乙说法错误；
一组邻边相等的四边形不一定是矩形，故丙说法错误；
两组对边相等的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故丁说法正确；
故答案为：丁．
51．如图，在中，对角线，相交于点，，在对角线上，且
(1)求证：；
(2)连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形(不需要证明
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
，，
在和中，
，
，
；
（2）解：当时，四边形为矩形，
理由：由（）知：，则，，
故四边形为平行四边形，
当时，四边形为矩形；
当时，四边形为矩形，
理由：由（）知：，则，，
故四边形为平行四边形，
当时，四边形为矩形．
由上可得，当时或当时，四边形为矩形．
52．如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F分别为的中点，延长至G，使，连接．
(1)求证：；
(2)当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．
【解析】（1）证明：平行四边形的对角线与相交于点，
，
，
∵点分别为的中点
，
，
在和中
，
；
（2）解：当与满足时，四边形是矩形，理由如下：
∵平行四边形的对角线与相交于点，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形．
53．如图，在平行四边形中，延长到点，使，交于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)满足什么条件时，四边形是矩形，并说明理由．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
是等边三角形，
，
，
平行四边形是矩形．
（2）解：四边形是矩形，
．
又，
．
∴在中，，
∴矩形的面积．
55．如图，为菱形的对角线，过点C作于点D，交于点E，点A在的延长线上，且满足，连接．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．
【解析】（1）证明：∵是菱形，
∴，．
∴．
∵，，
∴．
在和中，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，
∴，．
∵，在中，由勾股定理，得．
∴．
∴．
设，则，．
在中，由勾股定理，得．
即．解得．
∴．
56．如图，菱形的对角线、相交于点，点为边的中点，过点作交的延长线于点．求证：四边形是矩形．
【解析】证明：∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
题型八 正方形性质的应用
57．下列说法不正确的是（ ）
A．一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．正方形是轴对称图形，且有四条对称轴 D．正方形的对角线平分一组对角
【答案】B
【解析】A. 一组邻边相等的矩形是正方形，说法正确，不符合题意；
B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原说法错误，符合题意；
C. 正方形是轴对称图形，且有四条对称轴，说法正确，不符合题意；
D. 正方形的对角线平分一组对角，说法正确，不符合题意；
故选：B．
58．下列说法正确的是（ ）
A．平行四边形的邻边平行且相等 B．矩形的对角线互相垂直
C．菱形的四个内角都是直角 D．正方形的两条对角线互相垂直平分且相等
【答案】D
【解析】A、平行四边形的对边平行且相等，原说法错误，不符合题意；
B、矩形的对角线互相平分且相等，原说法错误，不符合题意；
C、矩形的四个内角都是直角，原说法错误，不符合题意；
D、正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，原说法正确，符合题意；
故选D．
59．如图，四边形是正方形，延长到点E，使，连结交于点F，则等于（ ）度．
A．112.5 B．125 C．135 D．150
【答案】A
【解析】∵四边形是正方形
∴
∴
∵
∴
∴．
故选：A．
60．如图，已知四边形为正方形，E 为对角线上一点，连接， 过 点E 作，交的延长线于点F，，， 则的长为（ ）
A． B． C．6 D．
【答案】D
【解析】如图所示，过点E分别作的垂线，垂足分别为G、H，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
61．如图，正方形的对角线相交于点，正方形与正方形的边长相等，且正方形绕点旋转，已知，则旋转过程中两个正方形重叠部分的面积为（ ）
A．2 B． C．1 D．无法确定
【答案】C
【解析】设与交于点，与交于点，
四边形，是正方形，
，．，，
，，
．
．
，
．
，
正方形的面积为，
，即两个正方形重叠部分的面积是
故选：C．
62．如图，在正方形中，，点E在边上，且，将沿对折至处，延长交于点G，连接，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】∵在正方形中，，，
∴，，
∴，，
∵将沿对折至，
∴，，，
又∵，
∴，故①正确；
∴，，
设，则，
在中，，，，
由勾股定理可得，
解得，此时，则，满足条件，故②正确；
∵，，
∴，故③正确；
在五边形中，，
即，
∴，故④正确；
∴正确的有4个，
故选：D．
63．如图，在菱形中，，正方形的顶点，在边和上，且．
（）的度数为 ．
（）若，则阴影部分的面积为 ．
【解析】（）∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（）连接相交于点，与分别相交于点，则，，
∵四边形是菱形，
∴，，，，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴
，
，
，
故答案为：．
64．如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ．
【答案】
【解析】∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
65．如图1，将边长为2的正方形如图放置在平面直角坐标系内．
(1)如图2，若将正方形绕点O顺时针旋转，直接写出A点坐标______．
(2)如图3，若将正方形绕点O顺时针旋转，求点B的坐标．
【解析】（1）解：如图2，作轴于，则，，
，，
A点的坐标为，
故答案为：．
（2）如图3，连接，过点作轴于，则，，
，
在中，，
在中，，，
点的坐标为．
题型九 正方形性质与判定应用
66．将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上点F处，折痕为（如图1）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在上的点处，折痕为（如图2）；再展平纸片（如图3）．则图3中的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由矩形与折叠的性质可知，，，
∴四边形是正方形，，
由折叠的性质可知，，
∴，
故选：B．
67．如图，正方形的对角线相交于点，点在边上，点在上，过点作，垂足为点，若，，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B
【解析】∵四边形是正方形，
∴，，，，，
如图，作于，延长交于，作于，
，
则，
∴四边形、为矩形，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
故选：B．
68．如图，在正方形中，点P在对角线上，分别为垂足，连接，若，则（ ）.
A． B． C． D．5
【答案】A
【解析】如图：延长交于G，则,
∵正方形中，点P在对角线上，
∴,
∵分别为垂足，
∴四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，
∴ ,,
∵，，
∴,即四边形是正方形，
∴,
∵，
∴,
∵,
∴,解得,
∵四边形是矩形，四边形是正方形，
∴,
∴.
故选A.
69．如图，在菱形中，对角线，交于点O，要使菱形成为正方形，应添加的一个条件是 ．
【答案】（答案不唯一）
【解析】可添加条件是，理由
∵四边形是菱形，，
∴菱形是正方形．
故答案为：（答案不唯一）
70．如图所示，在中，，为的中点，四边形为平行四边形，，相交于，连接，．
(1)试确定四边形的形状，并说明理由．
(2)当满足什么条件时，四边形为正方形？请给予证明．
【解析】（1）解：四边形是矩形理由如下，
∵，为的中点，
，，
∴，
∵四边形为平行四边形，
．，，
，，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴是矩形；
（2）解：当时，四边形为正方形，
证明：∵四边形为平行四边形，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形为正方形．
71．如图，在中，是边上的中线，是的中点，过点作，交的延长线于点，连接．
(1)求证：．
(2)若为等腰直角三角形，，求证：四边形是正方形．
【解析】（1）证明：∵为的中点，
∴.
∵，
∴.
在和中，
∴，
∴
∵是中边上的中线，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵为等腰直角三角形，，为中线，
∴，，
∴平行四边形是正方形．
72．如图，四边形是平行四边形，D为边上的中点，，连接，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，判断四边形的形状，并说明理由．
【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，
，．
为边上的中点，
，
，，
四边形是平行四边形．
为边上的中点，，
，
，
四边形是矩形．
（2）解：四边形是正方形，
理由：，，
是等腰直角三角形．
为边AB上的中点．
．
由（1），可知四边形是矩形，
四边形是正方形．
73．如图，正方形中， ，点E是对角线上一点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形．
(2)求的值．
【解析】（1）如图，作于，于．
∵四边形是正方形，
，
∵于，于，
，
∵，
，
，
∵，
，
，
∵四边形是矩形，
四边形是正方形．
（2）∵四边形是正方形，四边形是正方形，
，，，
，
，
，
．
74．如图，点E是正方形中边上一点，且．
(1)尺规作图：①以与为邻边作正方形；②作，垂足为H（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，求证：
(3)连接，猜想四边形是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．
【解析】（1）解：如图，正方形为所求作的正方形，为所求作的垂线．
根据作图可知：，，
∵，
∴，
∴四边形为菱形，
∵，
∴四边形为正方形．
（2）证明：连接，如图所示：
在正方形和正方形中，
，，，
∴，
即，
∴，
∴．
（3）解：四边形是平行四边形，证明如下：
如图，连接，
∵，，
∴，
∴G、 、C 、H在同一直线上，
∵，
在中，
∴，
由（2）可知：，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
题型十 中点四边形
75．顺次连接菱形四边中点所得的四边形一定是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．不能确定
【答案】B
【解析】如图：四边形是菱形，点EFGH分别是的中点，顺次连接E、F、G、H
∵E，H是中点，
∴，
同理，，
∴，
则四边形是平行四边形，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
故选：B．
76．如图，在中，，点分别是的中点，顺次连接，在从逐渐增大到的过程中，四边形形状的变化依次是（ ）
A．平行四边形→菱形→平行四边形
B．平行四边形→矩形→平行四边形
C．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
D．平行四边形→矩形→正方形→平行四边形
【答案】A
【解析】连接，
∵E、F、G、H是的各边中点，
∴，
∴，
当时，
∵中，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
当时，是矩形，
∴，
∴，
∴是菱形，
当时，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形．
∴四边形形状的变化依次是：平行四边形→菱形→平行四边形．
故选：A．
77．定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
如图，在四边形中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形叫做四边形的中点四边形．
利用三角形中位线的相关知识解决下列问题：
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当对角线满足下列条件时，请你探究中点四边形的形状：(写出结果并证明)当时， 四边形是 ．
【解析】（1）证明：连接，
∵点E、F、G、H是四边形各边中点，
∴
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵点E、F、G、H是四边形各边中点，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
故答案为：矩形．
78．已知：如图，四边形四条边上的中点分别为，顺次连接，得到四边形EFGH（即四边形的中点四边形）．
(1)求证：四边形的形状是平行四边形；
(2)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是矩形；
(3)当四边形的对角线满足______条件时，四边形是菱形．
【解析】（1）证明：如图，连接、，
点、、、分别为、、、的中点，
、分别为、的中位线，
，，，，
，，
四边形的形状是平行四边形；
（2）解：当时，四边形是矩形，
∵，，，
，
平行四边形是矩形，
故答案为：互相垂直；
（3）解：当时，四边形是菱形，
，，，
，
平行四边形是菱形，
故答案为：相等．
79．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”
【概念理解】
（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，_________是“中方四边形”（填序号）．
【性质探究】
（2）如图1，若四边形是“中方四边形”，观察图形，线段和线段有什么关系，并证明你的结论．
【问题解决】
（3）如图2，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形连结，依次连接四边形的四边中点得到四边形．求证：四边形是“中方四边形”．
【解析】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：
因为正方形的对角线相等且互相垂直，
故答案为：④；
（2）解：；
理由如下：如图1，
∵四边形是“中方四边形”，
∴是正方形且E、F、G、H分别是的中点，
∴，，，，
∴，
故答案为：，；
（3）证明：如图2，连接交于P，连接交于K，
∵四边形各边中点分别为M、N、R、L，
∴分别是的中位线，
∴，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，
∴．
又∵
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴菱形是正方形，
即原四边形是“中方四边形”．
题型十一 四边形中的动点及最值问题
80．如图，矩形中，已知，F为上一点，且，连接．以下说法中：①；②当点E在边上时，则；③当时，则；④的最小值为10．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】∵，
∴，故①正确；
如图1，当点在上时，取的中点，连接，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
如图2，当时，设与交于，与交于点，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；故③错误；
如图3，在上截取，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当点，点，点三点共线时，有最小值，最小值为的长，
∵，
∴，
∴的最小值为10，故④正确；
故选：C．
81．如图，在矩形中，，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D时，两点同时停止运动，这段时间内，若以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，那么运动时间为 ．
【答案】或；
【解析】∵四边形是矩形，
∴，，
∵，点P从点A向点D以的速度运动，点Q以的速度从点C出发，在B，C两点之间做往返运动，
∴，或，
∵以P，Q，C，D四点为顶点的四边形是矩形，
∴，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
82．如图，在矩形中，，，，分别是和上的两个动点，为的中点，则的最小值是 ．
【答案】
【解析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，，，
则，
∴当，，，在同一条直线上时，所求的最小，最小值即为的长．
过点作的垂线，交的延长线于点，
∴，
∵为的中点，，
∴，，
∴，
∴．
∴的最小值是．
故答案为：．
83．在矩形中，点E，F分别是，上的动点，连接，将沿折叠，使点A落在点P处，连接，若，，则的最小值为 ．
【答案】/
【解析】由折叠的性质得，，
则当，即点B、P、F三点共线时，的最小，
此时，点P在对角线上，
∵，，
∴，
由折叠的性质得，，
∴，
故答案为：．
84．如图，在矩形中，，点M从点A出发沿以秒的速度移动，同时，点N从点D出发沿以秒的速度移动，当点M到达点D时，M，N都停止移动，以为边向上作正方形，设移动的时间为x（秒），正方形的面积为．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当时，求y的值．
【解析】（1）解：在矩形中，，
∴，，
∵点M从点A出发沿以秒的速度移动，同时，点N从点D出发沿以秒的速度移动，
∴，，
∴，
当点M到达点D时，M，N都停止移动，此时，解得，
∴，
正方形的面积
．
∴y与x之间的函数关系式为；
（2）当时，．
当时，y的值为116．
85．如图，在四边形中，，，，，，点从点出发，以的速度沿线段向点运动；同时点从点出发，以 的速度沿向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设、运动时间为秒，回答下列问题：
(1)求为何值时，四边形是矩形
(2)求为何值时，？
(3)是否存在的值，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）解：如图：
由题意得：，，
，
，，
要使四边形是矩形，只需，即，
解得：；
（2）解：若，分两种情况：
①当四边形是平行四边形时，．如图：
，即，
解得：，
即当时，四边形是平行四边形，；
②当四边形是等腰梯形时，．如图：
根据题意得：，，
，
作于，于，
又，，
，
四边形和四边形都是矩形，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
由得：，
解得：，
时，四边形为等腰梯形，．
综上，当或时，；
（3）解：存在，理由如下：
①当时，过作于，如图：
，，，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
解得：或（不合题意，舍去）；
②当时，过作于，如图：
同理可得：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
解得：或；
综上所述，存在的值，使得是以为腰的等腰三角形，的值为：或或．
86．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是连接，，，设点，运动的时间为．
(1)求为何值时，四边形是矩形；
(2)求为何值时，四边形是菱形．
【解析】（1）解：由题意，得，则，
四边形是矩形，
，，
当时，四边形为矩形，
，
解得，
故当时，四边形为矩形．
（2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形，
当时，四边形为菱形．
在中，，
时，四边形为菱形，
解得，
故当时，四边形为菱形．
87．【问题原型】
如图1，在正方形中，．求证：．
【问题应用】
如图，在正方形中，，、分别是边、上的点，且．
（1）如图2，连接、交于点，为的中点，连接，．当为的中点时，四边形的面积为 ；
（2）如图3，连接、，当点在边上运动时，的最小值为 ．
【解析】[问题原型]证明：如图，设与交于点，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
．
[问题应用]（1）解：四边形是正方形，，
，，
，为的中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
为的中点，
，
，
故答案为：．
（2）解：如图，连接，
，，，
在和中，
，
，
，
，
延长到点，使，则，垂直平分，
连接、，则，
，，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
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