2024-2025学年福建省莆田市第四中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省莆田四中高三（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共9小题，共46分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，且，则等于( )
A. 或 B. C. D. 或
2.下列函数在定义域中既是奇函数又是减函数的是( )
A. B. C. D.
3.“”是“，”成立的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知函数在上单调递减，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.嘉兴河流众多，许多河边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连数学中把这种两端固定的一条均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是( )
A. 为奇函数 B. 的最大值是
C. 在上单调递增 D. 方程有个实数解
6.已知四面体的每条棱长都为，若球与它的每条棱都相切，则球的体积为( )
A. B. C. D.
7.世纪美国天文学家西蒙纽康和物理学家本福特从实际生活得出的大量数据中发现了个现象，以开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本福特定律，即在大量进制随机数据中，以开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律后来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性若说明符号，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
9.已知、、均为实数，且，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.在圆锥中，为高，为底面圆的百径，圆锥的底面半径为，母线长为点为的中点，圆锥底面上点在以为直径的圆上不含、两点，点在上，且，当点运动时，则( )
A.
B.
C. 直线与平面所成的角可能为
D. 三棱锥的外接球体积为定值
11.定义在上的函数满足，其值域是若对于任何满足上述条件的都有，则实数的取值必可以为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在正四棱锥中，用一个平行于底面的平面去截该正四棱锥，得到几何体，，，则几何体的体积为______．
13.已知函数的定义域是，，，当时，，则 ______．
14.已知函数有个不同的零点，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧面底面，，点，分别是，的中点，点在棱上且．
求证：平面；
求直线与平面所成的角的正弦值．
16.本小题分
已知函数
若曲线在点处的切线方程为，求和的值；
讨论的单调性．
17.本小题分
已知是定义在上的奇函数．
试判断函数的单调性；
已知，若对任意且，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图，在三棱柱中，，侧面为菱形，为等边三角形．
求证：；
若，点是侧棱上的动点，且平面与平面的夹角的余弦值为，求点到平面的距离．
19.本小题分
定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数已知函数．
当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
若，求的极值差比系数的取值范围．
参考答案
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15.解：证明：因为，点是的中点，所以，
又侧面底面，侧面底面，平面，所以平面，
如图以点为坐标原点，直线，为轴和轴建立空间直角坐标系，
则
所以，所以
设平面的一个法向量为，则，
取得，，所以，所以，即，
又不在平面内，所以平面．
由知，
设是平面的一个法向量，则，
取得，，所以，
所以，
设直线与平面所成的角为，则，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
16.解：，则，
曲线在点处的切线方程为，
则，解得，
由，解得．
，函数定义域为，
则，
令，解得或，
若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增，
若，则在上恒成立，单调递增，
若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增．
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
17.解：是奇函数，
则，
整理得：，
要使上式对任意的成立，则，
解得或，
当时，的定义域为，不合题意；
当，的定义域为，符合题意．
．
对任意的，，，
有，
，
故函数是上的增函数．
，
恒成立，
等价为恒成立，
令，，
则，
则，可得在时恒成立．
由基本不等式，当且仅当时，等号成立，
，
实数的取值范围为．
18.解：证明：如图，连接与相交于点，连接，
因为四边形为菱形，
则为的中点，所以，
又为等边三角形，
所以，又，平面，，
所以平面，又平面，
所以；
由知，，且，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，
如图，分别取，的中点，，连接，，
则，
所以平面，又为等边三角形，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
故B平面，
以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，
由题，设，
，
故，，
设平面的一个法向量，
则，令，，，
即，
又平面的一个法向量为，
，
解得：或舍，
此时，，
所以点到平面的距离为：
．
19.解：当时，是极值可差比函数，理由如下：
当时，，
所以，
当时，；当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，极小值为，
所以，因此是极值可差比函数．
的定义域为，即，
假设存在，使得的极值差比系数为，则，是方程的两个不等正实根，
，解得，不妨设，则，
由于
，
所以，从而，
得
令，
所以在上单调递增，有，
因此式无解，即不存在使的极值差比系数为．
由知极值差比系数为，
即，不妨设，
令，极值差比系数可化为，
，
又，解得，
令，
设
所以在上单调递减，当时，，
从而，
所以在上单调递增，所以，
即．
故的极值差比系数的取值范围为．
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