2024-2025学年四川省宜宾市叙州区高三（上）第一次诊断数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省宜宾市叙州区高三（上）第一次诊断数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.等差数列的前项和记为，若，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
6.“对任意实数都有”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.若正实数，满足，不等式有解，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8.如果对任意一个三角形，只要它的三边长，，都在函数的定义域内，就有，，也是某个三角形的三边长，则称为“稳定型函数”则下列函数中是“稳定型函数”的有个
，； ，；
，； ，．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且，则，的值可能为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.数列的前项和为，若，，则( )
A. 数列是公比为的等比数列 B.
C. 既无最大值也无最小值 D.
11.已知函数的定义域为，且，的图象关于对称当时，，若，则下列说法正确的是( )
A. 的周期为 B. 的图象关于对称
C. D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是奇函数，当时，，则的值为______．
13.已知函数在区间有且仅有个零点，则的取值范围是______．
14.已知数列和满足，，，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若，求函数的极值；
讨论函数的单调性．
16.本小题分
已知．
若，，求的值；
证明：．
17.本小题分
已知中，角，，所对的边分别为，，，其中，．
若，求的面积；
若是锐角三角形，为的中点，求长的取值范围．
18.本小题分
已知数列中，，且，为数列的前项和，，数列是等比数列，，．
求数列和的通项公式；
若，求数列的前项和．
19.本小题分
对于函数，若实数满足，则称为的不动点已知函数．
当时，求证：；
当时，求函数的不动点的个数；
设，证明：．
参考答案
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15.解：若，则，
所以，
所以当或时，，当时，，
所以在上递减，在，递增，
所以的极小值为，极大值为；
因为，
则，
所以当时，，所以在上递增，
当时，
则当或时，，当时，，
所以在，上递增，在上递减，
当时，
则当或时，，时，，
所以在，上递增，在上递减，
综上，当时，在，上递增，在上递减，
当时，在上递增，
当时，在，上递增，在上递减．
16.解：，，，
，；
，，；
，，
．
证明：欲证，即证，
即证，
，
即证，
即证，
即证，
即证，证毕．
17.解：因为，由正弦定理可得，故，
又，故，
因为，而为三角形内角，故，
所以；
在中，由，
在中，由，
而，所以，
故，
而是锐角三角形，故，
即，故，
故即，
则长的取值范围为
18.解：由，
可得，，
则数列是首项、公差均为的等差数列，可得，
即有，可得，对也成立，
即有，；
设数列是公比为的等比数列，
由，，可得，，
解得，则；
，
可得数列的前项和为

19.证明：时，，
所以，当且仅当时取等号，
所以在上单调递增，
所以．
解：当时，，
令，则方程的正实数解的个数就是函数的不动点的个数．
令，，则，，
当时，，所以在上是单调递增的；
当时，，所以在上是单调递减的；
所以，当时，取得最小值；
因为，，所以方程有个正实数解，
所以当时，函数有个不动点．
证明：由知，当时，，即时，．
设，，则，即，；
设，，则，所以，
即，所以，；
所以，
即．
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