2024-2025学年江苏省泰州市靖江高级中学高三（上）第一次段考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省泰州市靖江高级中学高三（上）第一次段考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若，则或
B. 若，则点的集合为以为圆心，为半径的圆
C. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
D. 若，则点的集合中有且只有两个元素
3.若，则、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
4.设是公比为的无穷等比数列，为其前项和，，则“存在最小值”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知平面向量满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若数列满足，且是递增数列，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.在中，内角，，所对的边分别为，，，若成等差数列，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若函数在上有个零点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系中，一动点从点开始，以的角速度逆时针绕坐标原点做匀速圆周运动，后到达点的位置设，记，则( )
A.
B. 当时，取得最小值
C. 点是曲线的一个对称中心
D. 当时，的单调递增区间为
10.定义：两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是( )
A. 若平行四边形的面积为，则
B. 在正中，若，则
C. 若，，则的最小值为
D. 若，，且为单位向量，则的值可能为
11.若数列满足：，对，有成立，则( )
A.
B. ，使得
C. 对，都有
D. 对，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的最小值为______．
13.已知函数，数列满足，，，，则 ______．
14.已知，，分别是的三个内角，，的对边，已知角，，若是锐角三角形，则的面积为的取值范围为______；若是钝角三角形，则边的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求的值．
已知函数，若，，求的值．
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，，
求；
若点在内部，满足，且的面积为，
求的值；
求的值．
17.本小题分
设函数，其中．
若，且对任意的，都有，求实数的取值范围；
若对任意的，都有，求实数的取值范围；
若对任意的，，都有，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知数列的前项和为，满足，数列是等比数列，公比，，．
求数列和的通项公式；
设数列满足，，其中．
求数列的前项和；
求．
19.本小题分
定义运算：，已知函数，．
若函数的最大值为，求实数的值；
证明：．
若函数存在两个极值点，，证明：．
参考答案
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14.
15.解：因为
；
由
，
因，可得，
即得，
因为，可得，
故．
由
．
16.解：因为，
，
所以由得，
所以，因为，
所以或；
因为点在内部，所以，所以，
设，由得：
，整理得，
则；
方法一：由余弦定理知；；，
又；所以，
由知，所以，
因为，所以，
所以，即；
方法二：由知，
因为，由，所以，
所以，
故，
所以，
所以．
17.解：当时，，
由，
由题意：，
所以．
所以的取值范围为．
对任意，恒成立，
即，恒成立，
所以或，
所以所求的取值范围是：．
设函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以“对任意的，，都有”等价于“”．
当时，，，
由，得，因此；
当时，，，
由，得，因此；
当时，，，
由，得，因此；
当时，，，
由，得，因此，
综上所述，实数的取值范围为区间
18.解：当时，，
当时，，
所以，
显然符合上式，
所以，
由题意，
所以．
易知，，
即数列的前项中有项分别为，，，，，其余项均为，
故数列的前项和；
由知，而，
所以，
易知，，
所以．
19.解：由题意知：，
，
当时，，在上单调递减，不存在最大值；
当时，由，得，
当时，；当时，，
函数的单调增区间为，单调减区间为．
，
令，
求导得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
因此，
；
证明：由知，，
即，
当时，．
，
；
证明：，
，
函数存在两个极值点，等价于
方程有两个不相等的正实数根，
故，解得，
，
要证，即证，
，
不妨令，
故，
由，得，
令，
在恒成立，
所以函数在上单调递减，
故．
成立．
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