2024-2025学年河北省唐山市丰南一中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年河北省唐山市丰南一中高三（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设为虚数单位，若复数，则复数的实部为( )
A. B. C. D.
3.命题：，的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.“或”是“幂函数在上是减函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.定义在上的奇函数满足：任意，都有，设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的范围是( )
A. B. C. D.
8.若关于的不等式对恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数是偶函数，且在上单调递增的是( )
A. B. C. D.
10.已知函数的定义域为，且函数是偶函数，函数是奇函数，当时，，下列结论正确的是( )
A. 的图象的一条对称轴是直线 B. 当时，
C. 函数有个零点 D.
11.设函数，则下列说法正确的是( )
A. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
B. 若函数有个零点，则实数的取值范围是
C. 设函数的个零点分别是，，，则的取值范围是
D. 存在实数，使函数在内有最小值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的单调增区间为______．
13.曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数 ______．
14.对于函数和，设，，若存在，，使得，则称函数和互为“零点相邻函数”，若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，，，分别为角，，的对边，．
求角的大小；
若，且的面积为，求的周长．
16.本小题分
设等差数列前项和为，等比数列的各项都为正数，且满足，，．
求，的通项公式；
设，求数列的前项的和．答案可保留指数幂的形式
17.本小题分
某企业为进一步增加市场竞争力，计划在年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本万元，每生产千部手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为元，且生产的手机当年全部销售完．
求年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；
当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
18.本小题分
三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点．
求证：平面；
求平面与平面所成夹角的余弦值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知函数．
若，求的图象在处的切线方程；
若恰有两个极值点，
求的取值范围；
证明：．
参考答案
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15.解：，
，即，
，
又，
角的大小为；
由得，，
又，解得，
，
，则，
的周长为．
16.解：设等差数列公差为，等比数列公比为，
由题意，即，
将代入可得，
又等比数列的各项都为正数，即，
解得，
所以，
；
因为，
所以，
，
所以数列的前项的和为．
17.解：根据题意，每生产千部手机，所获的销售额为万元，
所以；
由可知，
当时，，
所以当时，取得最大值，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
综上所述，当时，取得最大值，
即当年产量为千部时，企业所获得的利润最大，最大利润是万元．
18.解：证明：连接，A.
由，分别是，的中点，根据中位线性质，，且，
由棱台性质，，于是，
由，可知四边形是平行四边形，则，
又平面，平面，于是平面．
过作，垂足为，过作，垂足为，连接，E.
由面，面，故AA，
又，，，平面，则平面．
由平面，故，
又，，，平面，于是平面，
由平面，故AC于是平面与平面所成角即．
又，，则，
故，在中，，则，
于是，
所以平面与平面所成夹角的余弦值为；
方法一：几何法
过作，垂足为，作，垂足为，连接，，过作，垂足为．
由题干数据可得，，，
根据勾股定理，，
由平面，平面，则，
又，，，平面，于是平面．
又平面，则，
又，，，平面，故平面．
在中，，
又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍，
即点到平面的距离是．
方法二：等体积法
辅助线同方法一．
设点到平面的距离为．
，
．
由，即，
所以点到平面的距离是．
19.解：当时，，，
，则，
则的图象在处的切线方程为，即；
，
令，由恰有两个极值点，，
则有两个不同实数根，，且，
则有，即，即的取值范围是；
证明：由知，，且，，
则
，
则要证，即证，
即，
令，
，
令，则在上恒成立，
故在上单调递减，
又，，
故存在，使，即，
则当时，，时，，
即在上单调递增，在上单调递减，
则，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，
由，则，
即，即，
即可得证：．
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