2.4　一元二次方程根与系数的关系课件

课件23张PPT。一元二次方程的
根与系数的关系当 b2-4ac=0时，一元二次
方程有两个相等的实数根。当 b2-4ac＞0时，一元二次
方程有两个不相等的实数根。当 b2-4ac＜0时，一元二次
方程没有实数根。三种情况：我们把 叫作一元二次方程 的根的判别式，记作“ ”，即1.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？由求根公式可知：一元二次方程的根的值由方程的系数a,b,c来决定。那么，根与系数之间还有什么关系呢？（1）x2-7x+12=0(2)x2+3x-4=0(4) 2x2+3x-2=0解下列方程并完成填空：341271-3- 4- 4-1--2算一算：（3）3x2-4x+1=01-若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
的两根为x1、x2, 则 . . X1+x2=+==-X1x2=●===证明：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,那么x1+x2= , x1x2 = -注：能用公式的前提条件为△=b2-4ac≥0在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
⑵在使用X1+X2=－ 时， 注意“－ ”不要漏写。 如果一元二次方程
的两个根分别是 、 ，那么： 一元二次方程根与系数的关系是法国数学家“韦达”发现的,所以我们又称之为韦达定理.说出下列各方程的两根之和与两根之积：(1) x2 - 2x - 1=0(3) 2x2 - 6x =0(4) 3x2 = 4(2) 2x2 - 3x + =0x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0x1x2=x1x2=0x1x2= -说一说：　　例　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根 x1，x2 的和与积：　　（1） x 2 - 6x - 15 = 0
　　（2）3x 2 + 7x - 9 = 0
　　（3）5x - 1 = 4x 2 3．运用性质，巩固练习x1 + x2 = 6x1 x2 = -15x1 + x2 =x1 x2 = -3x1 + x2 =x1 x2 =　　练习　不解方程，求下列方程两个根的和与积：
　　（1） x 2 - 3x = 15
　　（2） 3x 2 + 2 = 1- 4x
　　（3） 5x 2 - 1 = 4x 2 + x
　　（4） 2x 2 - x + 2 = 3x + 1 x1 + x2 = 3x1 x2 = -15x1 + x2 =x1 x2 =x1 +x2 = 1x1 x2 = -1x1 + x2 = 2x1 x2 =3．运用性质，巩固练习例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,
求它的另一个根及k的值。解法：设方程的另一个根为x2.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得 k= - 2由根与系数的关系，得2 x2＝3k即2 x2＝－6∴ x2 ＝－3答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.解：设方程的两根分别为 和 ，
则：
而方程的两根互为倒数
即：
所以：
得：2.方程 　　的两根互
为倒数，求k的值。例3、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，
不解方程，求：
（1） ; （2) ;
; (4) .
另外几种常见的求值:1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，
求它的另一个根及m的值。2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值.解：设方程的另一个根为x2,则x2+1= ,∴ x2= ,又x2●1= ,∴ m= 3x2 = 16 解：由根与系数的关系,得x1+x2= - 2 , x1 · x2=∴ (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=试一试：411412则：＝＝ 求与方程的根有关的代数式的值时,
一般先将所求的代数式化成含两根之和,
两根之积的形式,再整体代入. 4.已知方程　　　　　　　　的两个实数根
是　　　且　　　　　 ， 求k的值. 解：由根与系数的关系得
x1+x2=-k， x1x2=k+2
又 x12+ x2 2 = 4
即(x1+ x2)2 -2x1x2=4
K2- 2(k+2）=4
K2-2k-8=0
∵ △= K2-4k-8
当k=4时， △=-8＜0
∴k=4(舍去）
当k=-2时，△=4＞0
∴ k=-2解得：k=4 或k=－2
探究：6.已知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根x1、x2.
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x12-x22=0时，求m的值.6.（2013?荆州）已知：关于x的方程
kx2－(3k－1)x+2(k－1)=0
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个实数根x1，x2,
且│x1－x2│=2,求k的值.2、熟练掌握根与系数的关系；
3、灵活运用根与系数关系解决问题.1.一元二次方程根与系数的关系？小结：