专项十一：长方体和正方体综合应用题“拓展版”（含解析）-2024-2025学年六年级数学上册期中末核心考点（苏教版）

/ 让教学更有效 典型例题·专项练习篇
期中典型专练十一：长方体和正方体综合应用题“拓展版”
1．有一个棱长是100厘米的正方体铁块，现在要把它熔铸成一个横截面是边长为50厘米的正方形的长方体铁块，这个长方体铁块的长是多少厘米？
2．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长10分米，宽5分米，高6分米，制作这个鱼缸至少需要多少平方分米的玻璃？在鱼缸里面放水，水深4分米，需放水多少千克？（1立方分米的水重1千克）
3．某小学要粉刷新教室，除地板与门窗外，其余都要粉刷。已知教室的长是8m，宽6m，高4m，门窗的面积是12.5m2。如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少钱？21教育名师原创作品
4．小明用一张长60厘米，宽40厘米的长方形硬纸板，在四角剪去边长为5厘米的正方形，再折成一个长方体的盒子，盒子的容积是多少立方厘米？（用纸板厚度忽略不计）
5．用方砖铺地，每块砖0.8平方米，需要1200块，若改用每块边长为0.4米的砖，需要多少块？
6．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长6分米，宽5分米，高3分米．
（1）做这个鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？
（2）在鱼缸里注入60升水，水深多少分米？（玻璃的厚度忽略不计）
7．下图是一个长方体纸盒的展开图，求它的体积。
8．一种长方体的广告灯箱，长80厘米，宽20厘米，高125厘米，框架由铝合金条制成，各个面都用灯箱布围成。制作一个这样的广告灯箱，至少需要灯箱布多少平方分米？需要铝合金条多少分米？【出处：21教育名师】
9．张大爷准备用铁皮做一个长方体烟囱，烟囱高8分米，底面是边长为2分米的正方形，做这个烟囱至少需要多少平方分米铁皮？2·1·c·n·j·y
10．用一根长120厘米的铁丝，围成一个长方体框架，已知长、宽、高的比是 2：1：3，这个长方体的长、宽、高各是多少？
11．张叔叔焊接一个长方体无盖铁皮水箱，长1.5米，宽0.6米，高0.4米，如果每升水重1千克，那么这个水箱放多能装水多少千克？
12．有一张边长为12分米的正方形铁皮，从四个角各剪去一个正方形，再做成一个高2分米的长方体无盖铁皮水箱，这个水箱的容积是多少立方分米？
13．下图是一个正方体的展开图，已经画出了五个面，在方格图上再画出第六个面。这个正方体的体积是（ ）立方厘米。
14．有一个空的长方体容器A和一个盛有水的长方体容器B,水深24厘米．将容器B中的水倒一部分到容器A中,使两个容器中水的高度相等，这时水深是多少厘米
15．一个无盖的长方体玻璃鱼缸，长5分米，宽4分米，高3分米．
（1）这个玻璃鱼缸的容积是多少升？
（2）往鱼缸里注入2分米高的水，水与鱼缸接触面的面积是多少平方分米？
16．如图，有一个长方体玻璃鱼缸，现在向鱼缸内注水，随着水面的上升，水与玻璃接触的面会不断变化，当有一组相对的面形成正方形时，鱼缸内的水与鱼缸的接触面积是多少平方分米？【来源：21cnj*y.co*m】
17．为测量一块鹅卵石的体积，四名同学合作进行了如下实验。
步骤1：小明准备了一个长方体玻璃缸，并从里面测量出玻璃缸的长是20厘米，宽是8厘米，高是15厘米；
步骤2：小兰往玻璃缸中倒入8厘米深的水；
步骤3：小红把这块鹅卵石完全放入玻璃缸中，发现水正好能淹没这块鹅卵石（且没有溢出）；
步骤4：小强测出水面上升了5厘米。
请你根据他们测量的数据，算出鹅卵石的体积。
18．学校器材室买来两根长度相同的铁丝，其中一根铁丝刚好焊成一个棱长为6厘米的正方体框架，如果用另一根铁丝焊成一个长8厘米，宽7厘米的长方体框架，它的高是多少厘米？
19．一个长方体的饮料盒，它的长、宽、高分别是6厘米、4厘米、10厘米。如果围着它贴一圈商标纸（上下面不贴），这张商标纸的面积至少是多少？【版权所有：21教育】
20．用丝带捆扎一种长、宽、高分别是30厘米、25厘米、20厘米的礼品盒(如下图)，接头处长35厘米。21cnjy.com
（1）捆扎这种礼品盒至少需要准备多少厘米的丝带？
（2）这种礼品盒的表面积是多少平方厘米？
21．兰兰和慧慧用同样大的硬纸分别做了一个同样大的纸盒．可是兰兰的纸盒装了12本同样的书，而慧慧的纸盒里装了10本同样的书．谁盒子里的书大一些？为什么？
22．一根长方体立柱，底面周长是3分米，高是3.8米。如果在这根立柱的表面涂油漆，涂油漆的面积是多少平方米？2-1-c-n-j-y
23．一个长方体玻璃缸,从里面量长9分米、宽4分米、高7分米,水深4分米．如果放入一个棱长是3分米的正方体铁块且全部浸入,那么水面上升了多少分米
24．一只长方体的玻璃缸，长10分米、宽7分米、高6分米，缸里水深4.5分米。如果在缸里放入一块棱长为5分米的正方体铁块，会溢出多少升水？
25．把一个正方体木块锯成两个长方体，其中小长方体的表面积比大长方体的表面积少20平方厘米，原来正方体木块的棱长是5厘米，小长方体的表面积是多少平方厘米？
26．一个长方体，如果长增加2厘米，则表面积增加36平方厘米；如果宽增加3厘米，则表面积增加90平方厘米；如果高增加4厘米，则表面积增加112平方厘米；那么，原来这个长方体的棱长总和是多少厘米？21·cn·jy·com
27．一个密封的长方体玻璃器中装有水，从里面量，长30厘米，宽20厘米，高15厘米，水深8厘米，如果把容器的右侧面作为底面放在桌上，这时水深多少厘米？水与容器接触的面积是多少平方厘米？
28．在一个长20厘米、宽16厘米的长方形的四个角上分别剪去一个边长2厘米的正方形，然后做成一个无盖的长方体容器．这个长方体容器的占地面积是多大 容积是多少立方厘米
29．乐乐和聪聪在研究长方体。
（1）乐乐利用下面的长方形围长方体。
他认为：可以用①，③，④，⑤，⑦，⑧号长方形围成长方体。看一看，量一量，想一想：乐乐的想法正确吗？请写出你的理由。21*cnjy*com
（2）聪聪把一个长方体展开，下面是展开图的一部分，请你把缺少的部分画出来。
参考答案：
1．400厘米
【分析】正方体铁块熔铸成长方体铁块后体积不变，据此解答。
【详解】100×100×100÷（50×50）
＝1000000÷2500
＝400（厘米）
答：这个长方体铁块的长是400厘米。
【点睛】本题主要考查的是长方体的体积和正方体体积公式的应用。
2．230平方分米；200千克
【分析】第一问：制作这个鱼缸需要多少平方分米，可以知道是求这个鱼缸的表面积，鱼缸有5个面，那么相当于只需要求前，后，左，右，下这五个面的面积和即可；
第二问：把水倒入鱼缸，那么由水组成的形状相当于一个和鱼缸底面积相等，高为4分米的长方体，那么用底面积乘4即可求出水的体积，再转换单位即可。21世纪教育网版权所有
【详解】10×5＋（10×6＋5×6）×2
＝50＋90×2
＝50＋180
＝230（平方分米）
答：制作这个鱼缸至少需要230平方分米的玻璃。
10×5×4
＝50×4
＝200（立方分米）
200×1=200（千克）
答：需放水200千克。
【点睛】本题主要考查长方体计算的实际问题，一定要注意求的是什么，同时看清楚题目是让求几个面的面积。
3．590元
【分析】把教室看作一个长方体，要刷的面积＝长方体的一个底面＋长方体的四个侧面－门窗面积。粉刷教室费用＝粉刷面积×4元。【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】8×6＋（6×4＋8×4）×2－12.5
＝48＋112－12.5
＝160－12.5
＝147.5（m2）
147.5×4＝590（元）
答：粉刷这个教室需要花费590元。
【点睛】本题考查长方体的表面积的计算。 长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，解决问题时要注意实际要求的是几个面的面积。www.21-cn-jy.com
4．7500立方厘米
【分析】长方体的容积（体积）＝长×宽×高，其中长是60－2×5厘米，宽是40－2×5厘米，高是5厘米，代入数据解答即可。
【详解】（60－2×5）×（40－2×5）×5
＝50×30×5
＝7500（立方厘米）
答：盒子的容积是7500立方厘米。
【点睛】此题主要考查长方体的容积（体积）计算，培养学生的空间想象能力，找出长方体的长、宽和高是解题关键。
5．6000块
【分析】每块砖0.8平方米，需要1200块，利用砖的块数×每块砖的面积＝总面积，可计算出需要铺砖的地面积；改用每块边长为0.4米的砖，先计算出这种砖每块的面积，再用总面积除以改后每块砖的面积即可。
【详解】0.8×1200÷（0.4×0.4）
＝960÷0.16
＝6000（块）
答：需要6000块。
【点睛】对于铺砖类型题目，抓住面积一定，砖的块数×每块砖的面积＝总面积。
6．（1）96平方分米；（2）2分米
【详解】（1）6×5+6×3×2+5×3×2=96（平方分米）
（2）60升=60平方分米
60÷（6×5）=2（分米）
7．320立方厘米
【分析】从图意可知：这个长方体纸盒的长是10厘米，又知24厘米＝10 厘米×2＋高，16 厘米 ＝宽＋高×2，因此用24－10×2＝4厘米，就求出了高是4厘米；用16－4×2＝8厘米，就求出了宽是8厘米。再根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，即可求出这个长方体纸盒的体积。
【详解】高：
24－10×2
＝24－20
＝4（厘米）
宽：
16－4×2
＝16－8
＝8（厘米）
体积：10×8×4＝320（立方厘米）
这个长方体纸盒的体积是320立方厘米。
8．282平方分米；90分米
【分析】（1）求需要灯箱布多少平方厘米，就是求这个长方体的表面积，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答；21·世纪*教育网
（2）求需要铝合金条多少厘米，就是求长方体的棱长总和，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，据此解答。
【详解】（80×20＋80×125＋20×125）×2
＝（1600＋10000＋2500）×2
＝14100×2
＝28200（平方厘米）
＝282（平方分米）
（80＋20＋125）×4
＝225×4
＝900（厘米）
＝90（分米）
答：至少需要灯箱布282平方分米，需要铝合金条90分米。
【点睛】此题考查的是长方体表面积和棱长总和的应用，解答此题关键是一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。
9．64平方分米
【分析】由于长方体烟囱有4个面，没有上下两个面，即根据长方体的表面积公式：（长×高＋宽×高）×2，把数代入公式即可。21教育网
【详解】（8×2＋8×2）×2
＝（16＋16）×2
＝32×2
＝64（平方分米）
答：做这个烟囱至少需要64平方分米铁皮。
【点睛】本题主要考查长方体的表面积公式，要注意联系生活实际看这个长方体有几个面。
10．10厘米、5厘米、15厘米
【详解】试题分析：正方体的棱长总和=（长+宽+高）×4，先用120厘米÷4，求出长、宽、高的和，再根据长、宽、高的比是5：3：2，列出算式求出这个长方体的长、宽、高．
解：2+1+3=6（份），
120÷4×，
=30×，
=10（厘米）；
120÷4×，
=30×，
=5（厘米）；
120÷4×，
=30×，
=15（厘米）；
答：个长方体的长、宽、高分别是10厘米、5厘米、15厘米．
点评：此题考查的目的是掌握正方体的特征、棱长总和公式，利用按比例分配的方法进行解答即可．
11．360千克
【分析】长方体的体积＝长×宽×高，代入数据求出铁皮水箱中水的体积，再乘每升水的质量即可。
【详解】1.5×0.6×0.4
＝0.9×0.4
＝0.36（立方米）
0.36立方米＝360升
360×1＝360（千克）
答：这个水箱放多能装水360千克。
【点睛】本题主要考查长方体体积公式的运用，解题时注意单位的变化。
12．128立方分米
【分析】根据题意可知，从四个角各减去一个正方形，做成一个高2分米的长方体，由此即可知道剪下的正方形的边长为2分米，即此时的长方体的长：12－2×2＝8（分米），宽：12－2×2＝8（分米），根据长方体的体积公式：长×宽×高，把数代入公式即可求解。
【详解】由分析可知：
长方体的长：12－2×2
＝12－4
＝8（分米）
长方体的宽：12－2×2
＝12－4
＝8（分米）
8×8×2
＝64×2
＝128（立方分米）
答：这个水箱的容积是128立方分米。
【点睛】本题主要考查长方体的体积公式，要注意高2分米就是剪下去小正方形的边长是解题的关键。
13．图见详解；8
【分析】根据正方体展开图的11种特征，可以画“1－4－1”型或“1－3－2”型，折成正方体的棱长是2厘米，根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。
【详解】
（画法不唯一）
2×2×2
＝4×2
＝8（立方厘米）
这个正方体的体积是8立方厘米。
【点睛】熟练掌握正方体展开图的特征以及正方体体积公式应用。
14．8厘米
【详解】解：设这是水深x厘米
40×30x+30×20x=30×20×24
x=8
15．（1）60升
（2）56平方分米
【详解】（1）5×4×3＝60（立方分米）
60立方分米＝60升；
答：它的容积是60升．
（2）（5×2+4×2）×2+5×4
＝（10+8）×2+20
＝18×2+20
＝56（平方分米）
答：水与鱼缸接触面的面积是56平方分米
16．50平方分米
【分析】当向这个容器中注水的高为25厘米时，第一次出现相对的正方形面，这时鱼缸内的水与鱼缸的接触面积是：50×25＋25×25×2＋50×25×2（平方厘米），再把平方厘米换算成平方分米。21*cnjy*com
【详解】50×25＋25×25×2＋50×25×2
＝1250＋1250＋2500
＝5000（平方厘米）
5000平方厘米＝50平方分米
答：鱼缸内的水与鱼缸的接触面积是50平方分米。
【点睛】此题主要考查长方体的表面积的实际应用，关键是理解向这个容器中注水的高是几分米的时候，才会第一次出现相对的面是正方形。
17．800立方厘米
【分析】根据求不规则物体的体积公式计算即可，不规则物体的体积＝底面积×水面上升的高度。
【详解】20×8×5
＝160×5
＝800（立方厘米）
答：鹅卵石的体积为800立方厘米。
【点睛】解答本题的关键是把求鹅卵石的体积转化成求水位升高了的那部分水的体积。
18．3厘米
【分析】根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，代入数据，求出正方体的棱长总和；长方体棱长总和与正方体棱长总和相等，根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；高＝棱长总和÷4－长－宽，代入数据，即可解答。
【详解】6×12÷4－8－7
＝72÷4－8－7
＝18－8－7
＝10－7
＝3（厘米）
答：它的高是3厘米。
【点睛】熟练掌握和灵活运用长方体棱长总和公式和正方体棱长总和公式是解答本题的关键。
19．200平方厘米
【分析】根据题意可知，这张商标纸的面积等于这个长方体的4个侧面的面积；根据长方体侧面积公式：（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。
【详解】（6×10＋4×10）×2
＝（60＋40）×2
＝100×2
＝200（平方厘米）
答：这张商标纸的面积至少200平方厘米。
【点睛】本题考查长方体的表面积公式的应用，关键明确是四个侧面的面积。
20．（1）225厘米；（2）3700平方厘米
【详解】（1）(30＋25＋20×2)×2＋35＝225(厘米)
答：捆扎这种礼品盒至少需要准备225厘米的丝带。
（2）(30×25＋30×20＋25×20)×2＝3700(平方厘米)
答：这种礼品盒的表面积是3700平方厘米。
21．用同样大的硬纸分别做了一个同样大的纸盒，说明两个盒子的容积一样大。兰兰的纸盒装了12本同样的书，而慧慧的纸盒里装了10本同样的书。慧慧盒子里的书大一些。
【分析】用同样大的硬纸分别做了一个同样大的纸盒，说明两个盒子的容积一样大．装的书少，说明书的体积大，装的书多，说明书的体积小．兰兰的纸盒装了12本同样的书，而慧慧的纸盒里装了10本同样的书．慧慧盒子里的书大一些。
【详解】用同样大的硬纸分别做了一个同样大的纸盒，说明两个盒子的容积一样大。兰兰的纸盒装了12本同样的书，而慧慧的纸盒里装了10本同样的书．慧慧盒子里的书大一些。
22．1.14平方米
【分析】本小题主要考查长方体侧面积的计算。通过分析油漆面积即立柱侧面积，侧面积＝底面周长×高，因为单位不统一，第一步还要进行单位换算。
【详解】3分米＝0.3米
3.8×0.3＝1.14（平方米）
答：涂油漆的面积是1.14平方米。
23．0.75分米
【详解】9×4×4=144(立方分米)
3×3×3=27(立方分米)
(144+27)÷(9×4)=4.75(分米)　
4.75-4=0.75(分米)
答:水面上升了0.75分米．
24．20升
【分析】根据题意可知：用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积。据此解答。
【详解】10×7×4.5＋5×5×5－10×7×6
＝315＋125－420
＝20（立方分米）
＝20（升）
答：缸里的水溢出20升。
【点睛】本题的关键是让学生理解数量关系：溢出水的体积＝水的体积＋铁块的体积－玻璃缸的容积。
25．90平方厘米
【分析】由于把一个正方体锯成两个长方体，则会增加两个面，根据正方体的表面积公式：棱长×棱长×6，此时两个长方体的表面积之和是：5×5×6＋5×5×2，由于两个长方体的差跟和都知道，根据和差问题的公式：（和－差）÷2，把数代入公式即可求解。
【详解】5×5×6＋5×5×2
＝150＋50
＝200（平方厘米）
（200－20）÷2
＝180÷2
＝90（平方厘米）
答：小长方体的表面积是90平方厘米。
【点睛】本题主要考查立体图形的切拼、正方体的表面积公式和和差问题的公式，熟练掌握它们的公式并灵活运用。
26．76厘米
【分析】如果长增加2厘米，表面积会增加4个面的面积，这四个面分别以长方体的宽和高为长，这四个面相对的面面积相等，2厘米为宽，所以用表面积增加的部分除以2就是两个面的面积，再除以2厘米即可求出长方体宽与高的和；运用同样的方法计算出长与高的和，长与宽的和，然后根据长方体棱长和公式计算棱长和，长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4。
【详解】宽＋高＝36÷2÷2＝9（厘米）
长＋高＝90÷2÷3＝15（厘米）
长＋宽＝112÷2÷4＝14（厘米）
总和：4×（长＋宽＋高）＝2×（长＋宽＋长＋高＋宽＋高）＝2×（14＋15＋9）＝2×38＝76（厘米）
答：原来这个长方体的棱长总和是76厘米。
【点睛】关键是熟悉长方体的特征，通过增加的表面积求出长、宽、高，两两之和。
27．16厘米；1420平方厘米
【分析】根据长方体的体积公式V＝abh，求出长方体玻璃器内水的体积，由于玻璃器内水的体积不变，把玻璃器的右侧面作为底面，所以用水的体积除以右面那个面的底面积就是水面的高度；
水与容器的接触面的面积就是长20厘米，宽15厘米，高为此时水深的长方体5个面的面积，缺少上面，根据长方体的表面积解答即可。
【详解】30×20×8÷（20×15）
＝4800÷300
＝16（厘米）
答：这时水深16厘米。
20×15＋20×16×2＋15×16×2
＝300＋640＋480
＝1420（平方厘米）
答：水与容器接触的面积是1420平方厘米。
【点睛】解答此题应抓住水的体积不变，用水的体积除以玻璃器的底面积（右面那个面的面积），就是水面的高度。www-2-1-cnjy-com
28．20-2-2=16(厘米)
16-2-2=12(厘米)
16×12=192(平方厘米)
192×2=384(立方厘米)
答：这个长方体容器的占地面积是192平方厘米，容积是384立方厘米．
【详解】【分析】考点：长方体和正方体的表面积．
此题主要考查了长方体的容积的求法，要熟练掌握，解答此题的分别求出长方体纸盒的长、宽、高各是多少．
首先根据题意，用长方形硬纸板的长减去正方形的边长的2倍，求出长方体纸盒的长是多少；然后用长方形硬纸板的宽减去正方形的边长的2倍，求出长方体纸盒的宽是多少；
所以占地面积=长乘宽，最后根据长方体的容积=长×宽×高，求出这个纸盒的容积是多少立方厘米即可．
四、应用题
29．（1）不正确。①、③号是正方形，根据长方体的面的特征，剩下的4个面应完全相同，但④、⑤、⑦、⑧号长方形不相同，所以不能围成长方体。
（2）见详解（答案不唯一）
【分析】（1）长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。据此解答。
（2）观察展开图的一部分可知，这个长方体的展开图应是“1－4－1”型，且缺少的2个面和已知的4个面的较大面完全相同，据此补上缺少的部分。（答案不唯一）
【详解】（1）①、③号是正方形，根据长方体的面的特征，剩下的4个面应完全相同，但④、⑤、⑦、⑧号长方形不相同，所以不能围成长方体。乐乐的想法不正确。
（2）
【点睛】本题考查长方体的特征和长方体展开图的认识。要熟练掌握长方体面和棱的特征以及长方体展开图的类型。
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世教育网(www.1cnjy.com)