选择必修 第三章 3.3.1 抛物线及其标准方程 课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
选择必修
第三章 圆锥曲线的方程
3.3 抛物线
3.3.1 抛物线及其标准方程
教学目标
学习目标 数学素养
1.通过自主探究，画图，理解抛物线的定义及焦点、准线的概念. 1.数学抽象素养和直观想象素养.
2.通过交流合作，建立适当坐标系，能够推导抛物线的方程． 2.数学运算素养和逻辑推理素养.
3.通过推导抛物线的方程，明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题． 3.数学抽象素养和数学运算素养.
知新引入
通过前面的学习可以发现点M到定点F的距离与M到定直线l（不过点F）的距离之比为k，当01时，点M的轨迹为双曲线；当k=1时，即动点M到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时，点M的轨迹会是什么形状？
知新探究
利用信息技术作图.如图，F是定点，是不经
过点的定直线，是直线上任意一点，我们先
连接，再作的垂直平分线，过作定直
线的垂线，交直线于点.你能发现点满足
的几何条件吗？拖动点，观察点的轨迹，它
的轨迹是什么形状呢？你是否接触过类似的图
形呢？
可以发现,在点M随着点H运动的过程中，始终有 MF = MH ,即点M与定点F的距离等于它到定直线l的距离.点M的轨迹形状与二次函数的图象相似.
思考：当直线l经过点F时,点的轨迹是什么？
知新探究
思考：当直线l经过点F时,点的轨迹是什么？
F
l
M
┑
我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(parabola).点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.
l
F
M
H
焦 点
准线
d
d 为 M 到 l 的距离
知新探究
类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，可能使所求抛物线的方程形式简单？
第一种，以抛物线的焦点F为原点建立坐标系，如图1所示；
第二种，以抛物线的准线l为y轴建立坐标系，如图2所示；
第三种，过抛物线的焦点F向准线l作垂线，以垂线与抛物线的交点为原点，以垂线为x轴建立坐标系，如图3所示.
图1
K
图2
O
图3
K
知新探究
如图1所示，取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l 相交与点K，以F为原点，过点F作垂直于x轴的直线y轴，建立直角坐标系xoy.
设抛物线的焦点F到准线的距离为p，则|FK|=p，焦点F的坐标为F(0,0)，准线l:x=-p，
设抛物线上任意一点P(x,y),则,即x2+y2=(x+p)2 y2=2px+p2(p>0).
如图2所示，取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，以准线l所在直线为y轴，建立直角坐标系xoy.
设抛物线上任意一点P(x,y),则,即(x-p)2+y2=x2
y2=2px-p2(p>0).
设抛物线的焦点F到准线的距离为p，则|FO|=p，焦点F的坐标为F(p,0)，准线l:x=0，
图2
O
图1
K
知新探究
如图3所示，取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交与点K，以FK为的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xoy.
设抛物线的焦点F到准线的距离为p，则|FK|=p，焦点F的坐标为F(,0)，准线l:x=，
设抛物线上任意一点P(x,y),则,即
y2=2px(p>0). ①
显然，第三种建系所求的抛物线的方程①比较简单.
从上述推导过程可以看到，抛物线上任一点的坐标都是方程①的解，以方程①的解为坐标的点(x,y)与抛物线的焦点F(,0)的距离和它到准线l:x=的距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上.
图3
K
新知探究
我们把方程y2=2px(p＞0)叫做抛物线的标准方程.
在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选取不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表.
对于方程y2=2px(p＞0)，其中p为正常数，表示焦点在x轴正半轴上.它表示的抛物线的焦点坐标是F(，0)；准线方程是直线x=－，开口方向向右.
p的几何意义是焦点到准线的距离(焦准距).
K
新知探究
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2=2px(p＞0)
F(,0)
x=－.
y2=-2px(p＞0)
F(,0)
x=.
x2=2py(p＞0)
F(0,)
y=－.
x2=-2py(p＞0)
F(0,)
y=.
新知探究
思考：抛物线的四种形式的标准方程有什么相同点？如何根据抛物线的标准方程判断焦点位置？
共同特点：左边都是二次式,且系数为1；右边都是一次式.
判断焦点位置方法：在标准形式下，看一次项，
⑴若一次项的变量为x（或y），则焦点就在x（或y）轴上；
⑵若一次项的系数为正（或负），则焦点在正（或负）半轴.
你能说明二次函数y=ax2(a≠0)的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程.
y=ax2(a≠0)可化为,根据抛物线的标准方程可知，它的图像是抛物线.
它的焦点坐标为F(0,),准线方程为.
知新探究
【例1】⑴已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程；
⑵已知抛物线的焦点坐标是F(0，－2)，求它的标准方程；
解：
⑴因为p=3，抛物线焦点在x轴正半轴上，所以焦点坐标为(,0)，准线方程是 .
⑵因为抛物线的焦点在轴负半轴上，且，，所以抛物线的标准方程是.
知新探究
【例1】⑶ 求抛物线y2 +8x=0的焦点坐标和准线方程；
⑷求过点(-3,2)的抛物线的标准方程.
解：
⑶因为y2 +8x=0可化为y2 =-8x，抛物线焦点在x轴负半轴上，所以焦点坐标为
(-2,0)，准线方程是x=2.
⑷∵点(－3，2)在第二象限，
∴4＝－2p×(－3)或9＝2p×2.
∴所求抛物线方程为.
∴．
∴设所求的抛物线方程为y2＝－2px或x2＝2py(p>0)．
初试身手
1.⑴已知抛物线的方程是y=-2x2，求它的焦点坐标和准线方程;
⑵已知抛物线的准线为y=-,求它的标准方程;
⑴因为y=-2x2可化为x2 =-y，抛物线焦点在y轴负半轴上，所以焦点坐标为(0,-)，准线方程是y=.
解：
⑵因为抛物线的准线为y=-,所以抛物线焦点在y轴正半轴上，其坐标为(0,),即,p=1,抛物线的标准方程为x2=2y.
初试身手
1.⑶求焦点为直线 x+3y+15＝0上与坐标轴的交点的抛物线的标准方程;
⑷已知焦点在x轴上，且抛物线上一点A(3，m)到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程.
⑶∵直线 x+3y+15＝0上与坐标轴的交点分别是(-15,0),(0,-5).
当抛物线的焦点是(-15,0)时，抛物线焦点在x轴负半轴上,且,p=30,则抛物线的标准方程为y2=-60x.
∵A(3，m)到焦点距离为5，
∴，即p＝4．
解：
⑷由题意，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．
∴所求抛物线方程为y2＝8x.
当抛物线的焦点是(0,-5)时，抛物线焦点在y轴负半轴上,且,p=10,则抛物线的标准方程为x2=-20y.
∴所求抛物线的标准方程为y2=-60x或x2=-20y.
知新探究
【例2】一种卫星接收天线如图所示, 其曲面与轴截面的交线为抛物线. 在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线, 经反射聚集到焦点处.如图⑴，已知接收天线的口径(直径)为4.8m, 深度为1m. 试建立适当的坐标系, 求抛物线的标准方程和焦点坐标.
分析：运用抛物线知识解决实际问题的步骤：①建：建立适当的平面直角坐标系；
②设：设出合适的抛物线标准方程；③求：求出所要求的量；④还：还原到实际问题中，从而解决实际问题.如何建立适当的平面直角坐标系是问题的突破口.
知新探究
【例2】一种卫星接收天线如图所示, 其曲面与轴截面的交线为抛物线. 在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线, 经反射聚集到焦点处.如图⑴，已知接收天线的口径(直径)为4.8m, 深度为1m. 试建立适当的坐标系, 求抛物线的标准方程和焦点坐标.
解：
如图⑵，在接收天线的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上.
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)．
由已知条件得，点A的坐标是(1,2.4),
代入方程，得2.42=2p×1，即p=2.88.
所以，所求抛物线的标准方程为y2＝5.76x，焦点坐标是(1.44,0).
初试身手
2.苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑(如图1)，“门”的内侧曲线呈抛物线形.图2是“东方之门”的示意图，已知|CD|＝30 m，|AB|＝60 m，点D到直线AB的距离为150 m，建立适当坐标系，求“门”的内侧曲线所在的抛物线方程，并求抛物线顶端O到AB的距离.
初试身手
2.苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑(如图1)，“门”的内侧曲线呈抛物线形.图2是“东方之门”的示意图，已知|CD|＝30 m，|AB|＝60 m，点D到直线AB的距离为150 m，建立适当坐标系，求“门”的内侧曲线所在的抛物线方程，并求抛物线顶端O到AB的距离.
以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，
∴抛物线的方程为x2＝－4.5y，
解：
,解得,
则抛物线顶端O到AB的距离为50＋150＝200(m).
由题意设D(15，h)，h<0，B(30，h－150)，则
课堂小结
1.抛物线的定义
2.抛物线标准方程的四种不同的形式,焦点坐标，准线方程;
3.求抛物线的标准方程
4.求抛物线的焦点和标准方程
5.求解抛物线实际应用问题
作业布置
作业：
P138-139 习题3.3 第1，2,3,4,7题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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