2.5.1 直线与圆的位置关系 课件 （共14张PPT） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共14张PPT)
2.5.1 直线与圆的位置关系
学习目标
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.
2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.
问题导入
问题1：在平面中，直线与圆的位置关系有几种？
相交
相切
相离
问题2：如何判断直线与圆的位置关系？
新课讲授
问题2：如何判断直线与圆的位置关系？
直线与圆的交点个数
圆心到直线的距离
直线与圆的方程的公共解个数
相交
相切
相离
直线和圆有两个公共点
直线和圆有一个公共点
直线和圆没有公共点
dd=r
d>r



公共点个数
圆心到直线距
离与半径比较
2
1
0



相交
相切
相离
d
r
d
r
d
r
直线和圆有两个公共点
直线和圆有一个公共点
直线和圆没有公共点
(1)(几何法）利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判断：
直线l：Ax+By+C=0
圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)
d >r
相离
直线与圆
相交
(2)(代数法)利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
n=0
n=1
n=2
相离
相切
相交
△<0
△=0
△>0
d＝r
d 相切
直线与圆
解：方法一　联立直线l与圆C的方程，得，
消去y，得x2－3x＋2＝0，解得x1＝2，x2＝1.
所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.
把x1＝2，x2＝1分别代入方程①，得y1＝0，y2＝3.
所以，直线l与圆C的两个交点是A(2，0)，B(1，3).
因此|AB|＝ .
例1 已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.
例1 已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.
方法二　圆C的方程x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，
因此圆心C的坐标为(0，1)，半径为，
圆心C(0，1)到直线l的距离＜，
所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.
如图，由垂径定理得|AB|＝ .
练1.已知直线y=x+b，圆x2+y2=2，分别求b取何值时，直线与圆相交、相切、相离.
解：方法一　设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－1＝k(x－2)，
即kx－y＋1－2k＝0.
由圆心(0，0)到切线l的距离等于圆的半径1得，
解得k＝0或k＝，
因此，所求切线l的方程为y＝1，或4x－3y－5＝0.
例2 过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，求切线l的方程.
例2 过点P(2，1)作圆O：x2＋y2＝1的切线l，求切线l的方程.
方法二　设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y－1＝k(x－2)，
因为直线l与圆相切，所以方程组只有一解，
消元，得(k2＋1)x2＋(2k－4k2)x＋4k2－4k＝0. ①
因为方程①只有一个解，所以Δ＝4k2(1－2k)2－16k(k2＋1)(k－1)＝0，
解得k＝0或k＝，
因此，所求切线l的方程为y＝1或4x－3y－5＝0.
练2.过点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，则切线l的方程为_____________________.
y＝4或3x＋4y－13＝0
练3.已知M(1，2)是圆x2+y2=5上一点，求圆的过点M的切线方程.
解:如果切线的斜率不存在，则切线方程为x=1，
但圆心O(0，0)到x=1的距离为1，不等于圆的半径，矛盾，
因此切线的斜率一定存在，设为k，从而切线方程为y-2=k(x-1)，
即kx-y+2-k=0，
从而有，解得k＝，
∴切线的点斜式方程为y-2＝(x-1)，因此所求方程为x+2y-5＝0.
课堂总结
判断直线和圆的位置关系的方法
弦长的求法
直线和圆的位置关系
定义
几何法
代数法
几何法
代数法
直线与圆相切问题
相交
相切
相离
代数法
数形结合转化化归等
思想方法
当堂检测
1.直线l:x-y+2=0被圆O:x2+y2=9截得的弦长为(　　)
A. B. C. D.
2.已知圆C的圆心在直线y＝6x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点
(－2,3)，则圆C的标准方程为(　　)
A.(x＋1)2＋(y＋6)2＝18 B.x2＋y2＝18
C.(x－1)2＋(y－6)2＝18 D.(x－1)2＋(y－6)2＝12
A
C