2.5.2 圆与圆的位置关系 课件（共18张PPT） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共18张PPT)
2.5.2 圆与圆的位置关系
学习目标
1.能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系；
2.能用直线与圆的方程解决一些简单的问题.
情境引入
观察下面这些生活中常见的图形，感受一下圆与圆之间有哪些位置关系？
能否借助圆的方程来研究圆与圆的位置关系？
新课讲授
圆与圆的位置关系有五种，分别为
r
R
O1
O2
外离
r
R
O1
O2
外切
r
R
O1
O2
相交
r
R
O1
O2
内切
r
R
O1
O2
内含
圆与圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
两圆交点个数 0个 1个 2个 1个 0个
几何法：d与R±r的关系
代数法：联立两圆方程，消元所得方程解的个数(△的正负)
当Δ=0或Δ<0时，不能确定两圆的位置关系
思考1:当两圆外离、外切、相交、内切、内含时，公切线的条数分别是多少
思考2:当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质
公切线的条数分别是4，3，2，1，0.
当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦;
当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线;
当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线.
解:方法一 将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组，
①－②得x＋2y－1＝0，③
由③得，
把上式代入①，并整理，得x2－2x－3＝0.④
方程④的根的判别式Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0，
∴方程④有两个不相等的实数根x1，x2，
因此圆C1与圆C2有两个公共点，这两个圆相交.
例1 已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系.
例1 已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断圆C1与圆C2的位置关系.
方法二　把圆C1的方程化成标准方程，得(x＋1)2＋(y＋4)2＝25，
圆C1的圆心是(－1，－4)，半径r1＝5.
把圆C2的方程化成标准方程，得(x－2)2＋(y－2)2＝10，
圆C2的圆心是(2，2)，半径r2＝，
圆C1与圆C2的圆心距为，
圆C1与圆C2的两个半径长之和r1＋r2＝5＋，两半径长之差r1－r2＝5－，
∵5－＜＜5＋，即r1－r2＜＜r1＋r2，
∴圆C1与圆C2相交.
归纳总结
判断两圆位置关系的方法
(1)几何法：将两圆的圆心距 d 与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法；
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆位置关系.
练1.已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；(2)相交；(3)外离；(4)内含.
解：(1)经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，
∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1，
∴|C1C2|＝，
当|C1C2|＝r1＋r2＝5即a＝5时，两圆外切；
当|C1C2|＝r1－r2＝3即a＝3时，两圆内切.
(2)当3<|C1C2|<5，即3(3)当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离.
(4)当|C1C2|<3，即0练2.圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三条公切线，则实数a的值是( )
A.4 B.6 C.16 D.36
C
例2 已知两圆C1:x2+y2-4y=0，C2:(x-2)2+y2 =m2(m>0).
(1)m取何值时两圆外切
(2)当m=2时，求两圆的公共弦所在直线l的方程和公共弦的长.
解： (1)因为圆C1的标准方程为x2+(y-2)2=4，
所以圆C1，圆C2的圆心分别为(0，2)，(2，0)，半径分别为2，m，
当两圆外切时，，
解得.
例2 已知两圆C1:x2+y2-4y=0，C2:(x-2)2+y2 =m2(m>0).
(2)当m=2时，求两圆的公共弦所在直线l的方程和公共弦的长.
(2)当m=2时，圆C2的一般方程为x2+y2-4x=0，
两圆的一般方程相减得4x-4y=0，
所以两圆的公共弦所在直线l的方程为x-y=0，
圆C1的圆心(0，2)到直线l的距离为，
故两圆的公共弦的长为2×.
练3.已知圆C1:(x-4)2+(y-3)2=16与圆C2:x2+y2-2x+2y-9=0，若两圆相交于A，B两点，则|AB|=　　　　　.
例3 (多选题)圆C1:x2+y2+2x-6y+6=0与圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0相交于A，B两点，则下列说法正确的有(　 　)
A.直线AB的方程为4x-4y+5=0
B.公共弦AB的长为
C.圆C1与圆C2有两条公切线
D.线段AB的中垂线方程为x+y-2=0
ACD
两圆方程相减可得直线AB的方程为4x-4y+5=0
两圆相交，所以两圆有两条公切线
由两圆相交可得AB的中垂线方程为C1C2：y-1＝(x-1)，即x+y-2＝0
圆C2:x2+y2-2x-2y+1=0的圆心为C2(1，1)，半径为1，
则弦长|AB|＝2×
练4.求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x+y=0相切于点M(3，－)的圆的方程.
解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，
课堂总结
回顾本节课，回答下列问题：
(1)两圆的位置关系有哪些？
(2)如何求两圆的公共弦？
当堂检测
1.圆O1:(x-2)2+y2=4与圆O2:(x-4)2+y2=16的位置关系为(　　)
A.外离 B.外切
C.相交 D.内切
2.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝___.
3.已知圆C1:x2+y2-6x-7=0与圆C2:x2+y2-6y-27=0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线的方程为　　　　　　　　.
D
1
x+y-3=0