3.1.1 椭圆及其标准方程 课件 （共23张PPT） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共23张PPT)
3.1.1 椭圆及其标准方程
学习目标
1.能用文字语言和符号语言描述椭圆的定义.
2.能根据建立的坐标系推导椭圆的标准方程.
3.会求椭圆的标准方程.
4.能灵活运用椭圆的定义、标准方程解决相关问题.
问题导入
我们知道用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆. 如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢
如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线. 我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征 我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础
新课讲授
取一条定长的细绳，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1、F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是什么图形？
问题1：移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？
笔尖到两定点的距离之和等于绳长.
——椭圆的定义
(1)文字语言：平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半叫半焦距.
(2)符号语言：椭圆上任一点P满足|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|).
概念讲解
线段F1F2
不存在
若|PF1|+|PF2|＝|F1F2|，则P的轨迹是 .
若|PF1|+|PF2|＜|F1F2|，则P的轨迹是 .
例1 设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是( )
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
分析：∵|MF1|＋|MF2|＝10>|F1F2|＝6，
由椭圆定义知，动点M的轨迹为椭圆.
A
观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
观察画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0).
根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集
P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}.
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，
对方程②两边平方，得
①
②
③
对方程③两边平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④
焦点在x轴上的椭圆方程
由椭圆的定义可知2a>2c>0，即a>c>0，
所以a2－c2>0.
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
⑤
⑥
其中|MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，c2＝a2－b2.
讨论：若焦点F1、F2 在y轴上，且F1(0，-c)，F2 (0，c)，a，b的意义同上，则椭圆的方程是什么？
焦点在x轴上：
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，-c)，F2 (0，c)
x，y交换位置
焦点在x轴上：
问题：观察右图，你能从中找出表示a，c，b的线段吗？
椭圆的特征三角形
归纳总结
焦点在x轴上 焦点在y轴上
椭圆的定义 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点P的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) 标准方程
焦点坐标
轨迹
a，b，c的关系 x2，y2的分母哪个大，焦点就在哪个轴上
a
c
b
例2 求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，且椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)两焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，且椭圆经过点(－，)；
(3)经过P1(，1)，P2(－，－)两点.
解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
又c＝4，2a＝10，则a＝5，b2＝a2－c2＝9.
于是所求椭圆的标准方程为＝1.
(2)两焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，且椭圆经过点(－，)；
(3)经过P1(，1)，P2(－，－)两点.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义知：
2a＝ ＋ ＝2，
即a＝，
又c＝2，
∵b2＝a2－c2＝6，
∴所求椭圆的标准方程为＝1.
(3)经过P1(，1)，P2(－，－)两点.
(3)方法一　①当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＝1(a>b>0)．
由已知，得
即所求椭圆的标准方程是＝1.
②当焦点在y轴上时，设椭圆方程为＝1(a>b>0)，
与a>b>0矛盾，此种情况不存在．
综上，所求椭圆的标准方程是＝1.
(3)经过P1(，1)，P2(－，－)两点.
方法二　设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
故
即所求椭圆的标准方程是＝1.
(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程.
(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可.即“先定位，后定量”.
(3)当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．因为它包括焦点在x轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．
求椭圆标准方程的方法
归纳总结
例3 在圆x2+y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？
(当点P过圆与x轴的交点时，规定M，P重合)
解：设M(x，y)，P(x0，y0)，则D(x0，0)，
∵M是PD的中点，∴x＝x0，y＝，
∵P(x0，y0)在圆x2+y2＝4上，∴x02+y02＝4①，
将x0＝x，y0＝2y代入①得x2+4y2＝4，
即＝1，
∴点M的轨迹是椭圆.
将圆“压缩”可得到椭圆
将圆“拉伸”可得到椭圆
课堂总结
回顾本节课，回答下列问题：
(1)椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程有哪些？
(2)求椭圆的标准方程方法有哪些？
当堂检测
1.已知F1，F2为两定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=16，则动点M的轨迹是(　　)
A.椭圆 B.直线
C.圆 D.线段
2.点P为椭圆＝1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若|PF1|＝3，
则|PF2|等于(　　)
A.13 B.1 C.7 D.5
A
D
当堂检测
(　　)
A
当堂检测
4.椭圆的两个焦点分别为F1(-8，0)，F2(8，0)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为(　　)
C