3.2.1 双曲线及其标准方程 课件（共20张PPT） 2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共20张PPT)
3.2.1 双曲线及其标准方程
学习目标
1.掌握双曲线的定义、几何图形，熟记双曲线的标准方程并能初步应用.
2.通过对双曲线标准方程的推导，提高求动点轨迹方程的能力.
3.初步会按特定条件求双曲线的标准方程.
知识回顾
回顾：椭圆的定义及标准方程是什么？
定义：与两个定点的距离之和为常数(大于两个定点间的距离)的点的轨迹是椭圆.
根据焦点位置的不同，其标准方程为 或
思考：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会是什么样的？
新课讲授
问题1：(1)取一条拉链，拉开一部分；
(2)在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上；
(3)把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线.
试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？
双曲线.
曲线上的点满足条件：||MF1|－|MF2||＝常数，且常数小于|F1F2|.
概念讲解
双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数 (大于零且小于︱F1F2︱)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线.
F1
F2
焦距
焦点
M
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
②两个焦点间的距离 |F1F2| ——焦距，记为2c.
符号语言：若(2＜||)，则点M的轨迹为双曲线.,，，
讨论1：双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？
若没有“绝对值”，则动点的轨迹是双曲线的一支.
若设动点为点M，则当|MF1|－|MF2|＝2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的双曲线的一支；
当|MF1|－|MF2|＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的双曲线的一支.
讨论2：在双曲线的定义中，必须要求“常数大于零且小于|F1F2|”，那么“常数等于|F1F2|”“常数大于|F1F2|”和“常数为0”时，动点的轨迹分别是什么
①如果定义中常数等于|F1F2|，此时动点的轨迹是以F1或F2为端点的两条射线(包括端点).
②如果定义中常数大于|F1F2|，此时动点轨迹不存在.
③如果定义中常数为0，此时动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
例1 已知A(0，－5)，B(0，5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为( )
A.双曲线或一条直线 B.双曲线或两条直线
C.双曲线一支或一条直线
D.双曲线一支或一条射线
D
分析：当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，
∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).
当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，
∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.
问题2：类比求椭圆标准方程的过程.如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？
观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，所以以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，
此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2 (c，0)，焦距为2c，c>0.
设P(x，y)是双曲线上一点，则||PF1|－|PF2||＝2a(a为大于0的常数)，
∴，
类比椭圆标准方程的化简过程，移项、平方
得 ，
即 .
由双曲线的定义知，2c>2a，即c>a，所以c2－a2>0，
类比椭圆标准方程的建立过程，令b2＝c2－a2，其中b>0，
代入上式，得.
问题3：设双曲线的焦点为 F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||PF1|－|PF2||＝2a，其中c>a>0 ，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标
a，b，c的关系 ＝1(a>0，b>0)
＝1(a>0，b>0)
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
c2=a2+b2
归纳总结
哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，a就跟谁.
例2 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(-5，0)，(5，0)且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8.
(2)焦点在x轴上，a=2，经过点A(-5，2).
(3)经过两点A(-7，-6)，B(2，3).
解：(1)由已知得c=5，2a=8，∴a=4，b2=c2-a2=9，
∵焦点在x轴上，∴所求方程为＝1.
(2)焦点在x轴上，a=2，经过点A(-5，2).
(2)由题设所求方程为＝1(a＞0，b＞0)，
又a=2，且点A(-5，2)在双曲线上，∴＝1，
解得b2＝16，
∴双曲线的标准方程为＝1.
(3)经过两点A(-7，-6)，B(2，3).
(3)设双曲线方程为mx2＋ny2＝1，
则有，
解得，
∴双曲线的标准方程为＝1.
归纳总结
求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法相似，可以先根据其焦点位置设出标准方程，然后用待定系数法求出a，b的值.
若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解，此方法思路清晰，但过程复杂.
若双曲线过两定点，可设其方程为mx2+ny2=1(mn<0)，通过解方程组即可确定m，n，避免了讨论，从而简化求解过程.
例3 给出曲线方程＝1.
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.
解：(1)若方程表示双曲线，则有(4＋k)(1－k)<0，
即(k＋4)(k－1)>0，
解得k<－4或k>1，
因此实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(1，＋∞).
(2)由题意有，解得k＜－4，
因此实数k的取值范围是(－∞，－4).
课堂总结
回顾本节课，回答下列问题：
1.双曲线的定义；
2.双曲线的标准方程是什么？
3.怎么求双曲线的标准方程？
当堂检测
1.已知两定点F1(-5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|-|PF2|=2a，则当a=3和5时，P点的轨迹为(　　)
A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线
C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线
2.已知方程＝1表示双曲线，则m的取值范围是( )
A.(-1，+∞) B.(2，+∞)
C.(-∞，-1)∪(2，+∞) D.(-1，2)
D
D
当堂检测
3.若双曲线的一个焦点坐标为(0，－2)，且经过点(3，2)，则双曲线的标准方程为(　　)
A. B.
C. D.
4.双曲线＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到F1的距离是
12，则点P到F2的距离是(　　)
A.17 B.7
C.7或17 D.2或22
C
D