3.3.1 抛物线及其标准方程 课件 （共18张PPT） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共18张PPT)
3.3.1 抛物线及其标准方程
学习目标
1.理解抛物线的定义、几何图形和标准方程.
2.会解决抛物线的简单应用问题.
新课导入
彩虹
生活中的抛物线
拱桥
新课讲授
用几何画板作图：
点F是定点，l是不经过F的定直线，H是l上任意一点，过点H作MH⊥l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点M，观察点M的轨迹，说出点M满足的几何条件.
点M到定点F的距离和到定直线l的距离相等.
概念讲解
平面内到一个定点F和到一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点M的轨迹叫抛物线.
定义式：|MF|=d
(d为M到l的距离)
注：若直线l过点F，则点M的轨迹是过点F且与l垂直的直线.
点F叫做抛物线的焦点;
直线l叫做抛物线的准线.
准线
比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立坐标系，才能使所求抛物线的方程形式简单？
取经过焦点F且垂直于直线l的直线为x轴，垂足为K，并以线段KF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy.
l
F
M
H
K
O
y
x
设抛物线的焦点到准线的距离为p(p>0)，则|KF|=p，那么焦点F的坐标为 准线l的方程为
设点M(x，y)是抛物线上的任意一点，点M到准线l的距离为d，则|MF|=d.
l
F
M
H
K
O
y
x
因为
所以
将上式两边平方并化简，得
思考交流：在建立椭圆和双曲线的标准方程时，由于焦点在平面直角坐标系中的位置不同，它们各有两种形式的标准方程，你认为抛物线的标准方程一共有几种形式 请分别指出抛物线的焦点位置，并写出相应的标准方程和准线方程.
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
________ ________ ________
________ ________ ________
y2＝2px(p>0)
F(，0)
x＝－
y2＝－2px(p>0)
F
x＝　
归纳总结
归纳总结
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
________ ________ ________
________ ________ ________
x2＝2py(p>0)
F(0，)
y＝－　
x2＝－2py(p>0)
F(0，－)
y＝
练1.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程.
例1 根据下列条件确定抛物线的标准方程.
(1)过点(4，-8)；
(2)焦点在直线x-2y-4=0上.
解：(1)由题意，可设所求抛物线方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p'y(p'>0).
将点(4，-8)的坐标代入y2=2px，得p=8.
将点(4，-8)的坐标代入x2=-2p'y，得p'=1.
故所求抛物线方程为y2=16x或x2=-2y.
(2)焦点在直线x-2y-4=0上.
(2)①令x＝0，由方程x－2y－4＝0得y＝－2，
∴抛物线的焦点坐标为(0，－2).
设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，则由＝2，得2p＝8，
∴所求抛物线的方程为x2＝－8y.
②令y＝0，由x－2y－4＝0得x＝4，∴抛物线的焦点坐标为(4，0).
设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由＝4得2p＝16，
∴所求抛物线的方程为y2＝16x.
综上，抛物线的方程为x2＝－8y或y2＝16x.
归纳总结
求抛物线方程，先判断焦点位置，通常用待定系数法.
(1)若能确定抛物线的焦点位置，则直接设出抛物线的标准方程，求出p值即可;
(2)若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.
例2 已知点M到点F(4，0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2，求点M的轨迹方程.
解：∵点M到点F(4，0)的距离比它到直线l:x+6=0的距离小2，
∴点M到点F(4，0)的距离与它到直线l:x+4=0的距离相等.
即点M的轨迹是以F(4，0)为焦点，直线l:x+4=0为准线的抛物线，抛物线方程为y2=2px(p>0)，
则=4，即p=8.
∴点M的轨迹方程为y2=16x.
练2.(1)焦点在x轴上的抛物线上一点A(-3，m)到焦点的距离为5，
则该抛物线的标准方程为__________.
(2)抛物线x =2py(p>0)上一点M的横坐标为-4，该点到准线的距离为6，
则该抛物线的标准方程为_________________.
y2＝-8x
x2＝16y或x2＝8y
课堂总结
回顾本节课，回答下列问题：
(1)抛物线的标准方程的四种形式.
(2)如何求抛物线方程？
当堂检测
1.抛物线y＝-x2的准线方程是(　　)
A.x＝ B.x＝ C.y＝2 D.y＝4
2.若点P(x，y)到点F(0，2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2，则P(x，y)的轨迹方程为(　　)
A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y
C
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