3.3.2 抛物线的简单几何性质 课件 （共16张PPT）2024-2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共16张PPT)
3.3.2 抛物线的简单几何性质
学习目标
1.理解抛物线的简单几何性质.
2.能运用抛物线的几何性质解决相关问题.
3.掌握直线与抛物线的位置关系，并会用方程思想解决此类问题.
问题导入
类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质？如何研究这些性质？
应研究范围、对称性、顶点，离心率等性质，可通过图形进行研究.
新课讲授
以抛物线：y2＝2px(p＞0)为例
(1)范围：
(2)对称性：
抛物线的对称轴叫做抛物线的轴
(3)顶点(抛物线与轴的交点)：
(4)离心率：
(5)p对抛物线的影响：
抛物线上的点P与焦点F的距离和点P到准线的距离d的比叫做抛物线的离心率.
x＞0，y∈R
O(0，0)
e＝1
关于x轴对称
p越大，开口越大
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
范围
对称轴
顶点 离心率 y2＝2px(p>0)
F(，0)
x＝－
y2＝－2px(p>0)
F
x＝　
x2＝2py(p>0)
F(0，)
y＝－　
x2＝－2py(p>0)
F(0，－)
y＝
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
x轴
x轴
y轴
y轴
(0，0)
e=1
归纳总结
练1.已知抛物线y2=8x.求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围.
顶点坐标(0，0)
焦点坐标(2，0)
准线x=-2
对称轴为直线x轴
自变量x的范围为[0，+∞)
例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2，-2)，求它的标准方程.
解：∵抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点M(2，－2)，
∴可设它的标准方程为y2＝2px(p>0).
∵点M在抛物线上，∴()2＝2p×2，
解得p＝2，
因此，所求抛物线的标准方程是y2＝4x.
探究:类比椭圆、双曲线与直线的位置关系，探究抛物线与直线的位置关系.
如图所示，抛物线与直线有三种位置关系：没有交点、一个交点、两个交点.
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，当 时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当 时，直线与抛物线相切，有一个切点；
当 时，直线与抛物线相离，没有公共点.
(2)若k＝0，直线与抛物线有 交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
一个
例2 已知直线y=kx+1与抛物线y2=4x，分别求直线与抛物线有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时的取值范围.
解：联立方程组
1.当k=0时，-4x+1=0
直线与抛物线只有一个公共点.
消去y得：
①
化简得
①
2.当k≠0时，方程①判别式 =(2k-4)2-4k2=16-16k
①当Δ＞0，即k<1且k≠0，
方程①有2个不同的实数解，直线和抛物线有两个公共点；
②当Δ=0，即k=1，
方程①有2个相同的实数解，直线和抛物线有且只有一个公共点，
③当Δ<0，即k>1，
方程①无实数解，直线与抛物线没有公共点.
例3 斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.
解：由题意可知， 焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x=-1.
于是
如图，设 A，B两点到准线的距离分别为 由抛物线的定义，可知
例3 斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.
因为直线l的斜率为1，且过焦点F(1，0)，所以直线l的方程为 y=x-1 ①
将 ①代入方程 得 化简，得
x2-6x+1=0，
所以
所以，线段AB的长是8.
过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点这两点间的线段叫做抛物线的焦点弦.
F
A
B
x
y
O
焦点弦公式
归纳总结
课堂总结
回顾本节课，回答下列问题：
(1)抛物线的几何性质.
(2)如何判断直线和抛物线的位置关系？
(3)抛物线焦点弦公式.
当堂检测
1.(多选题)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程可以为(　　)
A.y2=8x B.y2=-8x
C.x2=8y D.x2=-8y
2.直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝______.
3.若直线x－y＝2与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的中点坐标是_______.
CD
0或1
(4，2)