3.1 指数幂的拓展 课件（共15张PPT） 2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第一册

(共15张PPT)
第三章
3.1 指数幂的拓展
1.理解正分数指数幂的概念；（重点）
2.会进行分数指数幂与根式的互化；（难点）
3.了解无理数指数幂的概念.（重点）
在初中，我们学习了整数指数幂的运算及性质，给定正数和正整数，有 ，，. 在实实问题中，指数幂中的指数不一定都是整数，如下述问题：薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积(单位)与年数(年)的关系式为.其中为侵害面积的初始值.
如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算
，这里的表示什么含义呢？
在实际问题中，指数幂中的指数不一定都是整数，今天我们就来进一步学习指数幂——分数指数幂.
1.正数的正分数指数幂的概念：
给定正数和正整数(且互素)，若存在唯一的正数，使得，则称为的次幂.记作，这就是正分数指数幂.
与类似，，其中读作“ 次根号下”，也叫根式运算.
例如：若，则；若 ，则；
若，则就表示问题提出中的数，.
一、正数的正分数指数幂
2.注意事项：①当是正整数时，分数指数幂满足：；
②负数的分数指数幂，在某些情况下是没有意义的，如，但却是有意义的，避免情况过于复杂，所以对分数指数幂的底数统一要求为正数，即分数指数幂的条件是：底数.虽然，但不能写成；
③为了便于指数幂的运算，一般都将根式化成分数指数进行运算，这样便于利用指数运算律进行指数幂的运算.
1.负整数指数幂的运算性质：若给定正整数，则.
2.正数的负分数指数幂：给定，正整数(且互素)，
定义.
至此，指数运算的指数已经扩充到有理数了.
二、正数的负分数指数幂
正数的无理数指数幂：一般的，给定正数，对任意无理数，都是一个确定的实数，规定此时.
例如：以为例，因为，
所以
上式左边的数称为的不足近似值，上式 右边的数称为的过剩近似值，
所以
借助计算器，可算出，随着不足估计值和过剩估计值相同位数的增多，越来越趋近于同一个数，所以我们记作
这样，指数运算的指数已经扩充到全体实数了.
三、正数的无理数指数幂
正数的实数指数幂注意事项：
①给定一个正数，对任意实数，指数幂都大于0；
②0的任意正实数幂都等于0；
③0的0指数幂和负实数指数幂都没有意义；
④任何非零实数的0次幂等于1.
四、正数的实数指数幂注意事项
例1 把下列各式中的正数写成正分数指数幂的形式：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：(1)；
(2)；
(3)；
(4).
例2 计算：
（1）； （2）； （3）.
解：(1)；
(2)；
(3).
1.若b-3n=5m（m，n∈N+），则b=（ ）
A. B.
C. D.
B
2. 可化为（ ）
A. B.
C. D.
A
3.把下列各式中的写成负分数指数幂的形式:
(1); (2); (3).
解：(1);
(2);
(3).
4.计算:
(1); (2).
解：(1);
(2);
1.正数的正分数指数幂
2.正数的负分数指数幂
3.正数的无理数指数幂
4.正数的实数指数幂注意事项