(共24张PPT)
第四章
4.2.1 对数的运算性质 第1课时
1.巩固对数的定义及基本运算性质.
2.学会证明对数的运算律,树立从概念出发分析问题的思想.
3.会求简单的对数值.
复习对数函数的概念和基本性质
对数式与指数式的互化
底数
底数
幂
真数
指数
对数
0
1
N
N
am+n=am·an
那么对于对数又有哪些运算性质呢？
回顾指数运算性质
问题1：我们知道am+n=am·an,那么loga(M·N)=logaM·logaN正确吗 举例说明.
不正确,例如log24=log2(2×2)=2,而log22·log22=1×1=1.
问题2：如果a>0,且a≠1,M>0,N>0，证明：loga(M·N)=logaM+logaN.
令am=M,an=N,则M·N=am·an=am+n.
于是有m+n=loga(M·N).
又由对数的定义,知logaM=m,logaN=n,
∴loga(M·N)=logaM+logaN.
在loga(M·N)=logaM+logaN中，令M=N，得到什么结论？
这个结论一般化会不会是这样一个等式（）
证明：当时，令则
,N=b,所以，
显然也成立.
（n∈R证明过程）
=
M
若a>0，且a≠1，M>0，N>0，则
(1)loga(MN)＝______________
(2)logaMn＝ (n∈R)；
(3)loga＝ .
logaM＋logaN
nlogaM
logaM－logaN
积的对数=对数的和
商的对数=对数的差
一个数n次方的对数=这个数的对数的n倍
对数的运算性质汇总
例1. 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
(1)若M·N>0,则loga(M·N)=logaM+logaN.( × )
(2)logax+logay=loga(x+y).( × )
(3)对数的运算性质loga(M·N)=logaM+logaN能推广为loga(a1·a2·…·an)=logaa1+logaa2+…+logaan(a>0,且a≠1, ai>0, i=1,2,…,n,n∈N+).( √ )
(4)loga.( × )
(5)logaM-logaN=loga(M-N).( × )
？
？
？
？
？
一、对数的运算性质理解
例2. 若ab＞0，给出下列四个等式：
①lg (ab)＝lg a＋lg b；②lg ＝lg a－lg b；
③lg ＝lg ；④lg (ab)＝.
其中一定成立的等式的序号是( )
A．①②③④ B．①②
C．③④ D．③
解析：∵ab＞0，
∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，
∴①②中的等式不一定成立；
∵ab＞0，
∴＞0，lg ＝×2lg ＝lg ，
∴③中等式成立；当ab＝1时，lg (ab)＝0，但logab10无意义，
∴④中等式不成立．故选D.
例3. 求下列各式的值.
(1)lg+lg;
(2)log345-log35;
(3)log2(23×45);
(4)4lg 2+3lg 5-lg;
解:(1)lg+lg=lg()=lg.
loga(M·N)=logaM+logaN的逆用
二、式子运算
例3. 求下列各式的值.
(1)lg+lg;
(2)log345-log35;
(3)log2(23×45);
(4)4lg 2+3lg 5-lg;
解：(2)log345-log35=log3=log39=2.
M
例3. 求下列各式的值.
(1)lg+lg;
(2)log345-log35;
(3)log2(23×45);
(4)4lg 2+3lg 5-lg;
解：（3)log2(23×45)=log223+log245=3+5log24=3+5log222=3+5×2=13.
loga(M·N)=logaM+logaN
解：(4)原式=lg=lg(24×54)=lg(2×5)4=4.
M和loga(M·N)=logaM+logaN 的逆用
例3. 求下列各式的值.
(1)lg+lg;
(2)log345-log35;
(3)log2(23×45);
(4)4lg 2+3lg 5-lg;
求下列各式的值．
2log32－log3＋log38＋3log5.
[解] 原式＝log34－log3＋log38－3log55＝log3－3＝log39－3＝2－3＝－1.
练习
对数的计算一般有两种处理方法：
一种是将式中真数的积、商、幂、方根运用对数的运算法则将它们化为对数的和、差、积、商，然后化简求值；
二是将式中的对数的和、差、积、商运用对数的运算法则将它们化为真数的积、
商、幂、方根，然后化简求值．
经验一
例4. 用logax,logay,logaz表示下列各式(其中a>0,且a≠1,x>0,y>0,z>0):
(1)loga(x2yz);(2)loga;(3)loga.
解:(1)loga(x2yz)=logax2+logay+logaz=2logax+logay+logaz.
(2)loga=logax2-loga(yz)=2logax-(logay+logaz)=2logax-logay-logaz.
(3)loga=loga-loga(y2z)=logax-2logay-logaz.
三、对数表示
用logax,logay,logaz表示下列各式(其中a>0,且a≠1,x>0,y>0,z>0):
(1)loga;(2)loga.
解:(1)loga=loga(xy)-logaz=logax+logay-logaz.
(2)loga=loga(x2)-loga
=logax2+loga-loga
=2logax+logay-logaz.
练习
用已知对数表示其他对数时,关键是应用对数的运算性质,将真数“拆”成已知对数的真数形式.
经验二
一、计算
1.(lg 2)2＋lg 2lg 50＋lg 25；
2.31＋log3；
3. log2(23×45)
解：1.(lg 2)2＋lg 2lg 50＋lg 25＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋(lg 5)2
＝lg 2·lg 100＋2lg 5＝2lg 2＋2lg 5=2；
2.31＋log3＝3×3log3＝3×＝3；
3.log2(23×45)＝log2(23×210)＝log2213＝13log22＝13×1＝13.
解：loga18＝loga(2×32)＝loga2＋loga32＝loga2＋2loga3＝m＋2n.
二、表示
已知loga2＝m，loga3＝n，则loga18＝________．(用m，n表示)
1.对数运算性质
2.证明与计算（简单运算和对数表示）
数学素养：树立从概念出发分析问题的思想.(共21张PPT)
第四章
4.2.1 对数的运算性质 第2课时
1.能灵活使用对数的运算性质.
2.掌握对数运算在函数问题、解对数方程和数学文化中的应用.
logaM＋logaN
nlogaM
logaM－logaN
积的对数=对数的和
商的对数=对数的差
一个数n次方的对数=这个数的对数的n倍
对数的运算性质
若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，则
（1）log a（MN）= ；
（2）log aMn= （n∈R）；
（3） .
一、已知对数条件，求值
例1.（1）已知lg x+lg y=2lg（x-2y），则 .
解析：（1）由已知，可得lg（xy）=lg（x-2y）2，
从而有xy=（x-2y）2，整理，得x2-5xy+4y2=0，
即（x-y）（x-4y）=0，所以x=y或x=4y.
由x＞0，y＞0，x-2y＞0，可得x＞2y＞0，所以x=y舍去，故x=4y，即
所以
例1.（2）若将上例的条件改为lg（x-y）+lg（x+2y） =lg2+lg x+lg y，则 .
解析：（2）由题意lg[（x-y）（x+2y）] =lg（2xy），
所以x2-2y2-xy=0，则
解得 或 （舍去）.
所以
解：（3）∵a+b=(lg 2+lg 5)[(lg 2)2-lg 2lg 5+(lg 5)2]+3lg 2lg 5
=(lg 2)2-lg 2lg 5+(lg 5)2+3lg 2lg 5
=(lg 2+lg 5)2=1,
∴a3+b3+3ab=(a+b)(a2-ab+b2)+3ab
=a2-ab+b2+3ab
=(a+b)2=1.
例1.（3）已知a+b=（lg 2）3+（lg 2）3+3lg 2 lg 5，求a3+b3+3ab的值.
练一练
若lg x+lg y=2lg（x-2y），则 .
韦达定理给出条件，有特色.
例2. lg a，lg b 是方程2x2-4x+1=0的两个实根，则 .
若a，b是方程2（lg x）2-lg x4+1=0的两个实根，求 的值.
练一练
换元+韦达+配凑+对数运算性质
思路
令3x＝4y＝6z＝m，通过取对数，把x，y，z表示出来，再求解．
二、已知指数条件，求值
例3.（1）已知x，y，z∈（0，+∞）且3x=4y=6z，求 .
例3.（2）设3a=2，3b=5，则 .
三、函数中的对数运算
例4.（1）已知幂函数f(x)的图象过 ，则log2 f（8）= .
解：设幂函数f(x)=xa，把点代入，得 f(x)=
f（8）= ，log2 f（8）=
例4.（2）已知 ，则 f（-6）+ f（log212）= .
解：-6＜1，f（-6）=1+log2 8=4，
log212-1=log212-log22=log26，
f（log212）=
所以原式=4+6=10.
例5. 解方程log2(9x-5)=log2(3x-2)+2.
错解 原方程可化为log2(9x-5)=log2[4(3x-2)],
所以9x-5=4(3x-2),即32x-4·3x+3=0,
所以(3x-3)(3x-1)=0,解得x=1,或x=0.
故原方程的解为x=0,或x=1.
错因 没有注意对数式中真数需大于0这一条件,
导致出现增根x=0.
四、解对数方程中的对数运算
五、数学文化中的对数运算
例6. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与 最接近的是( )
(参考数据：lg 3≈0.48)
A．1033 B．1053 C．1073 D．1093
解：由题意，lg ＝lg 3361－lg 1080＝361 lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.
又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93，
故与最接近的是1093.
1.设2a=5b=m，且 ，则m= .
2. ，求f (f (2)).
解：f (2)=log 3 3=1，f (1)=2 e0=2.
3. f (x)=log2（1+x）+log2（1-x），求 .
解：f (x)=log 2（1-x2），
1.对数运算性质应用于函数、方程、应用题等领域.
2.有条件的计算题和应用题是高考的高频考点.
数学素养：培养学生综合运用对数运算性质解决问题的能力.
