4.3.1 对数函数的概念 课件（共24张PPT） 2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第一册

(共24张PPT)
第四章
4.3.1 对数函数的概念
1.理解对数函数的概念以及对数函数与指数函数间的关系.
2.了解指数函数与对数函数互为反函数,并会求指数函数或对数函数的反函数.
情境：前面我们讲过细胞分裂时得到的细胞的个数y是分裂次数x的函数，这个函数可以用指数函数y=2x表示．现在我们研究相反的问题．例如一个这样的细胞经过多少次分裂，大约可以得到1万个，10万个，……细胞，那么分裂次数x就是得到的细胞个数y的函数．这个函数写成对数的形式就是x=log2y．
按照习惯，用x表示自变量，y表示函数，这个函数就是y=log2x．
因为y=ax是单调函数,每一个y都有唯一确定的x与之对应,所以x是y的函数.
两个特殊的对数函数:
①常用对数函数:以10为底的对数函数,记作 y=lg x ;
②自然对数函数:以无理数e为底的对数函数,记作 y=ln x.
一、对数函数的定义
形如y=logax（a＞0且a≠1）的函数叫做对数函数，其中x是自变量，
定义域是（0，+∞)，值域是R.
中真数不是自变量x，不是对数函数．
中对数式后加2，
所以不是对数函数
中真数为x＋1，
不是x，系数不为1，故不是对数函数．
中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．
经验一
判断一个函数是不是对数函数的方法
(1)看形式:判断一个函数是不是对数函数,关键看解析式是否符合y=logax(a>0,且a≠1)这一结构形式.
(2)明特征:对数函数的解析式具有三个特征
①系数为1;
②底数为大于0,且不等于1的常数;
③对数的真数仅有自变量x.
只要有一个特征不具备,则不是对数函数.
R
(0,+∞);
R
[0,+∞);
(0,+∞);
R
{x∈R|x≠0}
1．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是(　　)
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
练一练
由x－1＞0，得x＞1
2.函数 的定义域为 .
解析：要使函数有意义，需有
解得-2＜x＜1，所以函数 的定义域为（-2，1）.
经验二
1求含有对数式的函数的定义域,需保证每个对数式有意义,即真数大于零,
底数大于零且不等于1.
2.附加有偶次根号，分母等，需要额外添加限制
经验三
3.求含有对数式的函数的定义域,要求原函数的定义域，
不要求化简变形后的函数的定义域。
指数函数y=ax是对数函数y=logax的反函数,对数函数y=logax也是指数函数y=ax的反函数.即它们互为反函数.
二、反函数的概念
指数函数y=ax是对数函数y=logax的反函数,对数函数y=logax也是指数函数y=ax的反函数.即它们互为反函数.
指数函数y=ax(a>0,且a≠1)和对数函数x=logay(a>0,且a≠1)刻画的是同一对变
量x,y之间的关系,所不同的是:在指数函数中,x是自变量,y是x的函数,其定义域是R;
在对数函数x=logay(a>0,且a≠1)中,y是自变量,x是y的函数,其定义域是(0,+∞).
像这样的两个函数叫作互为反函数.
指数函数y=ax是对数函数y=logax的反函数,对数函数y=logax也是指数函数y=ax的反函数.即它们互为反函数.
函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与y=ax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称.
互为反函数的两个函数的定义域、值域相反,并且反函数是相对而言的.
（1)指数函数y=10x,
它的底数是10,
它的反函数是对数
函数y=lg x(x>0).
(4)对数函数y=log7x,
它的底数是7,
它的反函数是指数
函数y=7x(x∈R).
1.若函数f(x)=ax-1的反函数的图象过点(4,2),则a=　　　.
解析:因为f(x)的反函数的图象过点(4,2),
所以f(x)的图象过点(2,4),
所以a2-1=4,
所以a=4.
答案:4
练一练
1. 辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)y=logx3是对数函数. (　　)
(2)y=loga5x(a>0,且a≠1)是对数函数. (　　)
(3)函数y=loga(x2+x+1)的定义域为R. (　　)
解：(1)×.y=logx3不是对数函数,对数函数的底数是常数.
(2)×.对数函数自变量x的系数为1.
(3)√.因为Δ=1-4=-3<0,所以x2+x+1>0恒成立.
2.设f(x)=logax(a>0,且a≠1),对于任意的正实数x,y都有(　　)
A.f(xy)=f(x)f(y)
B.f(x+y)=f(x)f(y)
C.f(x+y)=f(x)+f(y)
D.f(xy)=f(x)+f(y)
解析:因为f(x)=logax(a>0,且a≠1),
所以f(xy)=loga(xy).
又f(x)+f(y)=logax+logay=loga(xy),
所以f(xy)=f(x)+f(y).
3.函数 的定义域是 .
解析：要使函数有意义，需有
解得-3＜x＜0，所以函数 的定义域为（-3，0）.
4.若函数y=f（x）是函数y=ax（a＞0，且a≠1）的反函数，其图象经过
点（ ，a），则f（x）=（ ）
A. B.
C. 2-x D. x2
答案：B
解析：函数y=ax的反函数为y=logax，将点 代入得 ，所以a=
1.对数函数的概念
2.反函数的概念
数学素养：体会数学抽象的过程,强化直观想象素养的培养.