4.5 信息技术支持的函数研究 课件 （共22张PPT）2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第一册

(共22张PPT)
第四章
§4　指数函数、幂函数、
对数函数增长的比较
*§5　信息技术支持的函数研究
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要工具,在实际情境中,会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.
2.比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
问题:观察函数y=x2,y=2x,y=log2x在区间(0,+∞)上的图象,思考几个问题:
(1)三个函数在区间(0,+∞)上的图象有什么特点
提示: 三个函数在区间(0,+∞)上的图象都是上升的,即单调递增.
(2)当x趋于无穷大时,三个函数中哪个函数的增长速度最快 哪个最慢
提示: 三个函数的增长速度差异很大,其中y=2x增长速度最快,y=log2x增长速度最慢.
三种函数的增长趋势
y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xα
(x>0,α>0)
在(0,+∞) 上的增减性 . 图象的变 化趋势 随x增大, 近似与y轴平行 随x增大, 近似与x轴平行 α值较小(α<1)时,增长较慢;
α值较大(α>1)时,增长较快
增函数
增长速度 ①随x增大,y=ax增长速度 ,并且当a越大时,y=ax增长速度 .随x增大,y=ax增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.
②随x增大,y=logax增长速度 ,并且当a越大时,y=logax增长速度 .
③存在一个x0,当x>x0时,有 .
越来越快
越快
越来越慢
越慢
ax>xα>logax
三种函数增长对比
对数函数随x的增大,增长速度越来越慢,幂函数增长和指数函数增长的快慢交替出现,当x足够大时,一定有指数函数的增长快于幂函数的增长,幂函数的增长快于对数函数的增长.
归纳：
知识点一：三种函数的增长趋势
[例1] 下列函数中,增长速度最快的是(　　)
A.y=2 023x B.y=x2 023
C.y=log2 023x D.y=2 023x
解析:指数函数y=ax,在a>1时呈爆炸式增长,并且随a值的增大,增长速度越快.故选A.
√
方法总结：三种函数模型的表达形式及其增长特点
(1)指数函数模型:能用指数型函数f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a>0,b>1)表达的函数模型,
其增长特点是随着自变量x的增大,函数值增大的速度越来越快,常称之为“指数爆炸”.
(2)对数函数模型:能用对数型函数f(x)=mlogax+n
(m,n,a为常数,m>0,x>0,a>1)表达的函数模型,其增长的特点是开始阶段增长得较快,
但随着x的逐渐增大,其函数值变化得越来越慢,常称之为“蜗牛式增长”.
(3)幂函数模型:能用幂型函数f(x)=axα+b(a,b,α为常数,a≠0,α≠1)表达的函数模型,其增长
情况由a和α的取值确定,常见的有二次函数模型和反比例函数模型.
知识点二：指数函数、对数函数与一次函数模型的比较
[例2] 函数f(x)=1.1x和g(x)=ln x+1的图象如图所示,设两函数的图象交于
点A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数,
并比较 f(x) 与g(x)的大小(以x1,x2为分界点);
解: (1)曲线C1对应的函数为f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数为g(x)=ln x+1.
当xg(x);
当x1当x>x2时,f(x)>g(x);
当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 023),g(2 023)的大小.
解: (2)因为f(1)>g(1),f(2)g(14),
所以1所以x1<6x2.
从题图可以看出,当x1所以f(6)当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2 023)>g(2 023).
又g(2 023)>g(6),
所以f(2 023)>g(2 023)>g(6)>f(6).
方法总结：由图象判断指数函数、对数函数和一次函数的方法
根据图象判断增长型指数函数、对数函数和一次函数时,通常是观察函数图象上升
的快慢,即随着自变量的增大,图象最“陡”的函数是指数函数,图象趋于平缓的函数是对数函数,图象呈直线上升的函数是一次函数.
知识点三：函数模型的选择
[例3] 某汽车制造商在2023年初公告:公司计划2023年生产目标定为43万辆.
已知该公司近三年的汽车生产量如表所示.
年份x/年 2020 2021 2022
年产量y/万辆 8 18 30
分别将2020,2021,2022,2023定义为第一、第二、第三、第四年,
现在有两个函数模型:二次函数模型f(x)=ax2+bx+c(a≠0),
指数函数模型g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),
哪个模型能更好地反映该公司年产量y与年份x的关系
方法总结：几类不同增长函数模型选择的方法
(1)增长速度不变,即自变量增加相同量时,函数值的增量相等,
此时的函数模型是一次函数模型.
(2)增长速度越来越快,即自变量增加相同量时,函数值的增量成倍增加,
此时的函数模型是指数函数模型.
(3)增长速度越来越慢,即自变量增加相同量时,函数值的增量越来越小,
此时的函数模型是对数函数模型.
1.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　 　)
A.y=ex B.y=ln x
C.y=2x D.y=e-x
√
解析: 结合指数函数、对数函数及一次函数的图象变化趋势
可知选项A符合题意.故选A.
解析:根据四种函数的变化特点,指数函数是一个变化最快的函数.
当运动时间足够长时,最前面的物体一定是按照指数函数运动的物体.
故选D.
√
2.已知a,b,c,d四个物体沿同一方向同时开始运动，假设其经过的路程和时间x的函数关系分别是f1(x)=x3,f2(x)= ,f3(x)=1og3x,f4(x)=3x,如果运动时间足够长，则运动在最前面的物体一定是（ ）
A.a B.b C.c D.d
3.某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整,调整后初期利润增长迅速,
后来增长越来越慢,若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的
关系,可选用(　 　)
A.一次函数 B.二次函数
C.指数型函数 D.对数型函数
√
解析:其增长速度先快后慢,符合对数型函数的特点.
故选D.
4.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表:
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数型函数变化的变量是　　　　.
y2
解析:以爆炸式增长的变量呈指数型函数变化.
从表格中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,
但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,
画出它们的图象(图略),可知变量y2关于x呈指数型函数变化.