5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 课件（共19张PPT） 2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第一册

(共19张PPT)
5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
1.理解函数零点概念，了解函数零点与方程根的关系.
（难点）
2.掌握函数零点的判断方法并会判断函数零点的个数.
3.会求函数的零点. （重点）
给定的二次函数y＝x2＋2x－3，其图像如下：
问题1：方程x2＋2x－3＝0的根是什么？
提示：方程的根为－3,1.
问题2：函数的图像与x轴的交点是什么？
提示：交点为(－3,0)，(1,0)．
问题3：方程的根与交点的横坐标有什么关系？
提示：相等．
想一想：
一．函数的零点
1.函数的零点：函数y＝f(x)的 与
称为这个函数的零点．
2.注意：
（1）求函数的零点就是求方程f(x)=0的根。
（2）函数的零点不是一个点，而是具体的自变量的取值。
（3）函数的零点可以有一个或多个，也可能没有。
图像
横轴的交点的横
坐标
3.方法：方程f (x)＝0有实数根
函数y＝f (x)的图象与x轴有交点
函数y＝f(x)有零点
例1　求下列函数的零点．
(1)y＝－x2－x＋20； (2)f(x)＝x4－1.
求函数的零点常用方法是解方程
(1)一元二次方程可用求根公式求解．(2)高次方程可用因式分解法求根．
解：(1)y＝－x2－x＋20＝－(x2＋x－20)＝－(x＋5)(x－4)，
方程－x2－x＋20＝0的两根为－5,4.故函数的零点－5,4；
(2)由于f(x)＝x4－1＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)，
∴方程x4－1＝0的实数根是－1,1.故函数的零点是－1,1.
方法总结
分析：先因式分解，再确定函数的零点．
1.求出下列函数的零点
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1； (2)f(x)＝1＋log3x； (3)f(x)＝4x－16.
(3)令4x-16=0,则4x=42，解得x=2，
所以函数的零点为2
解: (1)令-8x2+7x+1=0,即8x2-7x-1=0,
∴x= - 或x=1
∴f(x)的零点为- 和1
(2)令1+log3x=0,则log3x=-1
解得x=
所以函数的零点为
练一练：
二．函数零点的判定
1.方法：如果函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是________的一条曲线，并且在区间端点的函数值符号 ，即______________，则(a，b)内，函数y＝f(x)至少_________零点，即相应的方程f(x)＝0在(a，b)内至少有一个实数解．
f(a)f(b)<0
有一个
连续
相反
2.注意:
a.函数y=f(x)的图像必须是连续曲线，且f(a)·f(b)<0.
b.只能判断零点的存在，可能有一个或多个，但并不能求出根的值.
d.如果知道y=f(x)是单调函数，那么零点就只有一个。
c.当f(a)·f(b)>0时,在区间(a,b)内可能有零点也可能没零点。
解：因为f(-1) ＜0,f(0) ＞0,其图像是连续曲线，
所以函数f(x)在区间[-1，0]内有零点
即方程f(x)=0在区间[-1，0]内有实数解
例2.已知函数 f(x)=3x-x2.问：方程f(x)=0在区间[-1，0]内有没有实数解？为什么
变式：方程f(x)=0在R上有几个实数解呢？
函数对应的方程为3x-x2 ＝0
即求函数y＝3x 与y＝x2图像交点个数．
在同一坐标系下，画出两个函数的图像，
如图知有1个交点．从而函数y＝ 3x-x2有一个零点．
变式：方程f(x)=0在R上有几个实数解呢？
2.已知方程2x-1=5-x,则该方程在哪个区间内一定有解（ ）
A.(0,1） B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
练一练：
C
C
3.
练一练：
解：(1)函数对应的方程为log2x－x＋2＝0.
即求函数y＝log2x 与y＝x－2图像交点个数．
在同一坐标系下，画出两个函数的图像，
如图只有2个交点．从而函数y＝log2x－x＋2有两个零点．
4.判断下列函数有几个零点？
(1)y＝log2x－x＋2 (2)y＝ex＋2x－6；
练一练：
方法二：由于y1＝ex在R上单调递增，
y2＝2x－6在R上单调递增，
∴y＝ex＋2x－6在R上单调递增．
又f(0)＝1＋0－6＝－5<0，f(3)＝e3＋6- 6＝e3>0.
∴y＝f(x)在(0,3)上有一个零点．从而知此函数只有一个零点；
（2）方法一：函数对应的方程为ex+2x-6=0.
即求函数y＝ex 与 y＝-2x+6图像交点个数．
在同一坐标系下，画出两个函数的图像，
如图，只有一个交点.
所以此函数只有一个零点
(2)y＝ex＋2x－6；
判断函数零点个数的方法主要有：
(1)解方程：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断．
(2)用定理：零点存在性定理,及函数的单调性。
(3)利用图像的交点：有些题目可先画出某两个函数y＝f(x)，y＝g(x)的图像，其交点的横坐标是f(x)－g(x)的零点．
方法归纳：
（1）方程f(x)＝0有实数根
函数y＝f (x)的图象与x轴有交点
函数y＝f (x)有零点
（2）零点的求法
代数法、图象法
（3）零点的判断
C
1.设 ,则下列区间中，使函数 有零点区间是（ ）
A.（-1,0）
B.（0,1）
C.（1,2）
D.（2,3）
解析：∵函数f(x)＝ax－b的零点是3，
∴3a－b＝0， 即b＝3a.
于是函数g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx
＝bx(x＋1)，令g(x)＝0，得x＝0或x＝－1.
答案：0，－1
2．若函数f(x)＝ax－b有一个零点是3，那么函数
g(x)＝bx2＋3ax的零点是________．
思考：已知a∈R，讨论关于x的方程|x2-6x+8|=a的实数解的个数？