5.1.2 利用二分法求方程的近似解 课件（共21张PPT） 2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第一册

(共21张PPT)
5.1.2 利用二分法求方程的近似解
1.了解求方程近似解的方法，会用二分法求具体方程的近似解．
小游戏
“看商品猜价格”：
给出一件商品，请你猜出它的准确价格，我们给的提示只有“高了”和“低了”。给出的商品价格在200～300之间的整数，如果你能在规定的次数之内猜中价格，那么你就赢了。
游戏：请同学们猜一下旁边这辆自行车(200～300元间)的价格。要求:误差小于1元
探究：你猜这件商品的价格，是如何想的？在误差范围内如何做才能以最快的速度猜中？
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（对半猜）
问题1：游戏中主持人会给你提示高了还是低了，但是这里怎样体现高还是低
问题2：猜商品时我们是知道价格范围的，但这里不知道解的范围。
1.代数字找出方程解的所在区间
提出问题：求方程2x3+3x-3=0的近似解.（精确度0.1）
零点存在性定理：
(1)函数y=f(x)在区间（a,b）上的图象是连续不断的一条曲线.
(2) f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间（a,b）上至少有一个零点.
1.找方程所在解的区间
利用零点存在性定理，知道了方程的解在（0，1）上，接下来该如何将范围缩小。
问题1：如何求方程2x3+3x-3=0的近似解
解：设函数f (x)=2x3+3x-3
则f (0)=-3<0, f (1)=2>0,
所以f (0) f (1)<0,
所以函数f (x)在区间(0,1)上有解。
2.缩小范围。（对半猜）
二分法
精确度：若x是方程f (x)=0的一个解，给定正数ε，若x0满足|x0-x|<ε
因为区间长度0.0625<0.1,因此区间内任意一个数都满足精确度近似解，故0.7就是方程精确度为0.1的近似解。
问题2：求方程2x3+3x-3=0的近似解（精确度0.1）
函数f (x)在区间(0,1)上有解
对于一般的函数，，若函数的图象是一条 的曲线， ，则每次取区间的 ，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．
连续
中点
知识点1：二分法的定义:
注意：二分法求函数零点的两个关键点
①初始区间的选取，符合条件（包括零点），又要使其长度尽量小。
②进行精度的判断，以决定时停止计算还是继续计算。
注意：并不是所有函数的零点都能用二分法求解，只有函数y=f (x)的图像在零点附近是连续的且在该零点左右函数值异号才可以用二分法求解
用二分法求函数零点有根区间的原则：
①每一次取中点后，若中点点函数值为零，则这个中点就是方程的解.
例1 用二分法求方程f (x)=2x-6+3x的近似零点。(精确度0.1)
(参考数据:f (1.5) ≈1.33，f (1.25)≈0.13,f (1.125)≈-0.44， f (1.1875)≈-0.16)
证明:∵f (1)=-1<0,f (2)=4>0,f (1)·f (2)<0
∴f (x)在(1,2)上有近似零点
又∵f (1.5)=1.33>0, f (l)·f (1.5) <0
∴f (x)在(1,1.5)上有近似零点
∵f (1.25)=0.13 >0,f (1)·f (1.25)<0
f (1.125)=-0.44<0,f (1.1875)<0, f (1.1875)·f (1.25)<0
∴f (x)在(1.1875,1.25)有近似零点.
∴1.2是函数的一个近似零点
练一练：
1.判断正误.(正确的画“√”，错误的画“x”)
(1)用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位.( )
(2)若f (x0)=0,则(x0,0)是f (x)的一个零点( )
(3)用二分法求方程的近似解，实质上就是通过“取中点”的方法，运用“逼近”思想逐步缩小零点所在的区间.( )
(4)函数f (x)=|x|可以用二分法求零点.( )
1.用二分法研究函数f (x)=x3+5的零点时可以取的初始区间是（ ）
A.[-2,1] B.[-1,0] C.[0,1] D.[1,2]
A
C
2.以下每个图象的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（ ）
3.[多选题]下列函数中，能用二分法求函数零点的有( )
A.f (x)=3x-1 B.f (x)=x2-2x+1
C.f (x)=log4x D.f (x)=ex-2
解析：f (x)=x2-2x+1=(x-1) ,f (1)=0，当x<1 时,f (x)>0;当x>1时，f (x)>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号，故选ACD.
ACD
4.[多选题]若函数 f (x)唯一的零点在区间(1,3)，(1,4)，(1,5)内，那么下列命题中正确的是( )
A.函数 f (x)在(1,2)或[2,3)内有零点
B.函数f (x)在(3,5)内无零点
C.函数f (x)在(2,5)内有零点
D. 函数 f (x)在(2,4)内不一定有零点
ABD
二分法的适用条件:
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是:其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点。因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用.
方法归纳
知识点2：二分法的实际应用
从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障,这是一条10km 长的线路，如何迅速查出故障所在
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200多根电线杆子呢!想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理
解析：如图.
他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现 AC段正常，断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再到CD中点E来查.这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障发生的范围缩小到50~100m之间，即一两根电线杆附近.
现实生活中的线路断路、地下管道的堵塞、水管的泄漏等故障我们也可以采用二分法进行排查，即采用中点查找法.竞猜物体问题或将人员分配到不同的岗位来共同完成任务，需要把有限的资金分配到不同生产企业，如何使时间最短、利润最高，这都需要用二分法来解决.
方法归纳
结合本课所学，说说如何用二分法求函数的零点.
(1)用二分法求函数零点的近似值
①用零点存在性定理估计零点所在的初始区间(a,b)
②取区间端点的平均数c，计算f (c),确定有解区间是(a,c)还是(c,b),逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.