陕西省西安市西安中学2025届高三上学期10月月月考数学试题（含解析）

陕西省西安市西安中学 2025 届高三上学期 10 月月月考
数学试题及参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
A x 1 x 0 B x log x21.设集合 ， 2 x 1 ，则 A B （ ）
A. x 1 x 0 B. x 1 x 0 C. x 1 x 0 D. x 1 x 0
2.“0 a 1”是“函数 f x loga 2a x 在 ，1 上单调递增”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.函数 f x x2 e x e x sin x在区间 2.8,2.8 的图象大致为（ ）
b
1
4.已知 a log5 2，b log2 a， c ，则（ ）
2
A. c b a B. c a b C. a b c D.b c a
3
5.已知定义在 R上的函数 f x 满足 f x 2 ，且 f 2 1，则 f 100 （ ）f x
A. 1 B.1 C. 3 D.3
e x 1, x 0
6.已知函数 f x 2 ， g x kx 1，若关于 x的方程 f x g x 有 2 个不
, x 0 x
相等的实数解，则实数 k的取值范围是（ ）
A. e B. e, 1 0 e 1 , C. ， D. e
8 8
7.已知函数 f x x3 x 1，则（ ）
A. f x 有三个极值点 B. f x 有三个零点
1
C.点 0,1 是曲线 y f x 的对称中心 D.直线 y 2x是曲线 y f x 的切线
4
x , x 08.已知函数 f x x ， g x x2 ax b，若方程 g f x 0有且仅有 5
log2 x , x 0
个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ）
A. 28 B. 28 C. 14 D.14
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分分，有选错的得
0分.
9.下列导数运算正确的是（ ）

1 1
A. B. e x e x C. tan x 1 D. ln x 1
x x2 cos2 x x
10.甲乙丙等 5 人的身高互补相同，站成一排进行列队训练，则（ ）
A.甲乙不相邻的不同排法有 48 种
B.甲乙中间恰排一个人的不同排法有 36 种
C.甲乙不排在两端的不同排法有 36 种
D.甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有 20 种
11.已知 c 0 b a，则（ ）
A. ac b bc a 3 3 3 a c a c cB.b c a C. D.
b c b a b
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分.
12.某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方
图如图，数据的分组依次是 20,40 ， 40,60 ， 60,80 ，
80,100 ，则可估计这次数学测试成绩的第 40 百分位
数是 .
x
13. 若 曲 线 y e x 在 点 0,1 处 的 切 线 也 是 曲 线 y ln x 1 a 的 切 线 ， 则
a .
y
14. 1 2x y 5 2 3的展开式中， x y 的系数为 .
x
2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.
15.（本小题满分 13 分）
f x 1 x3 a 2 2已知函数 x 2ax .
3 2
（1）若 a 1，求函数 f x 的极值； （2）讨论函数 f x 的单调性.
16.（本小题满分 15 分）
为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了
“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素
质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来 6 个月体重超重的人数进行了调查，
bx a
调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线 y e 的附近，请根
据下表中的数据求出
（1）该年级体重超重人数 y与月份 x之间的经验回归方程（系数 a ,b 的最终结果精确到
0.01）；
（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至 10 人以下.
n
xi yi nx y
附：经验回归方程： y b x a 中，b i 1 ， a y b n x；
x 2 nx 2i
i 1
6 6 6
参考数据： zi 23.52， xi yi 77.72， x 2i 91， ln10 2.30.
i 1 i 1 i 1
3
17.（本小题满分 15 分）
已知函数 f x loga x 1 ， g x 2loga 2x t t R ， a 0，且 a 1.
（1）当0 a 1且 t 1时，求不等式 f x g x 的解集；
（2）若函数 F x a f x tx2 2t 1在区间 1,2 上有零点，求 t的取值范围.
18.（本小题满分 17 分）
某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分
别对应如下五组质量指标值： 45,55 ， 55,65 ， 65,75 ， 75,85 ， 85,95 .根据长期
2
检验结果，得到芯片的质量指标值 X 服从正态分布 N , ，并把质量指标值不小于 80
的产品称为 A等品，其它产品称为 B等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取 100 件作
为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
（1）根据长期检验结果，该芯片质量指标值的标准差 s的近似值为 11，用样本平均数 x
作为 的近似值，用样本标准差 s作为 的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计
芯片为 A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）；
（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；
2
②参考数据：随机变量 服从正态分布 N , ，则 P x 0.6827，
P 2 x 2 0.9545， P 3 x 3 0.9973.）
（2）（ⅰ）从样本的质量指标值在 45,55 和 85,95 的芯片中随机抽取 3件，记其中质量
指标值在 85,95 的芯片件数为 ，求 的分布列和数学期望；
（ⅱ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按 100 件一箱包装.已
知一件 A等品芯片的利润是m 1 m 24 元，一件 B等品芯片的利润是 ln 25 m 元，
根据（1）的计算结果，试求m的值，使得每箱产品的利润最大.
4
19.（本小题满分 17 分）
x 1
已知函数 f x ae ln x a 1 x .
（1）当 a 0时，求函数 f x 的单调区间；
（2）当 a 1时，证明：函数 f x 在 0， 上单调递增；
（3）若 x 1是函数 f x 的极大值点，求实数 a的取值范围.
5
参考答案
一、选择题
1.C 解析：∵ log2 x2 x 1 log 2 22 ，∴0 x x 2，解得1 x 2或 1 x 0，
故 B x 1 x 0或1 x 2 ，又 A x 1 x 0 ，∴ A B x 1 x 0 .
2.B 解析：已知 f x loga 2a x 的定义域为 ,2a ，且 y 2a x为单调递减函数，
根据符合函数单调性可知若函数 f x loga 2a x 在 ，1 上单调递增，
0 a 1 1
可得 ，解得 a 1，
2a 1 2
1
显然 a a 1

是 a 0 a 1 的真子集，
2
∴“0 a 1”是“函数 f x loga 2a x 在 ，1 上单调递增”的必要不充分条件.
3.B 解析： f x x2 e x e x sin x x2 e x e x sin x f x ，
又函数定义域为 2.8,2.8 ，故该函数为偶函数，可排除 A,C ，
又 f 1 1 1 1 e sin1 1 e sin e 1 1 1 1 0 ,故排除 D.
e e 6 2 2e 4 2e
4.B 解析：∵ log51 a log5 2 log5 5 1，∴0 a 1，
∵b log2 a log21 0，故b 0，
1 b 1 0c ∵ ，故 c 1，故 c a b .
2 2
3 3
5.C 解析：由 f x 2 ，可得 f x 4 f x ，∴ f x 的周期为 4，f x f x 2
f 100 f 0 3则 3.f 2
6.C 解析：由题意，关于 x的方程 f x g x 有 2个不相等的实数解，
即 y f x 与 y kx 1的图象有 2 个交点，如图所示，
6
2
当 k 0时，直线 y 1与 y 的图象交于
x
点 2， 1 ，
又当 x 0时， e x 1 0，
x
故直线 y 1与 y e 1 x 0 的图象无公共点，
故当 k 0时， y f x 与 y kx 1的图象只有一个交点，不合题意；
x
当 k 0，直线 y kx 1与曲线 y e 1 x 0 相切时，
此时 y f x 与 y kx 1的图象有 2个交点，
P x ,e x0 1 k y e x设切点 ，则 00 x x ，又由 y kx 1过点 0， 1 ，0
e x0 1 1
∴ e x0 ，解得 x0 1，∴ k e，x0 0
2 1
当 k 0时，若 kx 1 2，则 kx x 2 0，由 1 8k 0，可得 k ，
x 8
k 1∴当 时，直线 y 2 kx 1与 y 图象相切，
8 x
1
由图得当 k 0时，直线 y kx 1与 y f x 的图象有 2 个交点.
8
1
综上所述，实数 k的取值范围是 ，0 e .
8
f x 3x27.C 解析：对于 A，由题 1，
令 f x 0 x 3 3 得 或 x ；令 f x 0 3 3得 x ，
3 3 3 3
f x , 3 ∴ 在 ，
3 3 3 ， 上单调递增，在 ， 上单调递减，
3 3 3 3
3
∴ x 是极值点，故 A 不正确；
3

f 3 1 2 3
3 0 f 1 2 3对于 B，∵ ， 0， f 2 5 0，
3 9 3 9
7
∴函数 f x 3在 , 上有一个零点，
3

当 x 3 时， f x 3 3 f 0，即函数 f x 在 ， 上无零点，3 3 3
综上所述，函数 f x 有一个零点，故 B 错误；
对于 C，令h x x3 x，该函数定义域为 R，h x x 3 x x3 x h x ，
则 h x 是奇函数， 0,0 是 h x 的对称中心，
将 h x 的图象向上移动一个单位得到 f x 的图象，
∴点 0,1 是曲线 y f x 的对称中心，故 C 正确；
2
对于 D，令 f x 3x 1 2，可得 x 1，又 f 1 f 1 1，
当切点为 1,1 时，切线方程为 y 2x 1；
当切点为 1,1 时，切线方程为 y 2x 3，故 D错误.
8.A 解析：先作出 f x 的图象，如图，
令 f x t，则 g t t 2 at b 0，
根据 f x 的图象可知：
要 满 足 题 意 必 须 g t 0 有 两 个 不 等 根
t1, t2 t1 t2 ，
且 f x t1有两个整数根， f x t2 有三个整数根，
4
结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数 y t1， y x 相切时符合题意，x
4 4
∵ x 2 x 4，当且仅当 x 2时取得等号，
x x
又 y log2 x log2 x x 0 ，易知其定义域内单调递减，
即 f x t1 4，此时有两个整数根 x 2或 x 16，
而要满足 f x t2 有三个整数根，结合 f x 图象知必有一根小于 2，
8
显然只有 x 1符合题意，当 x 1时有 f 1 5，则 t2 5，
4
解方程 x 5得 t2 5的另一个正根为 x 4，x
又 log2 x 5，则 x 32，
此时五个整数根依次是 x 32, 16,1,2,4，
显然最大的根和最小的根和为 4 32 28 .
二、选择题
1

1
9.ACD 解析：对于 A， 2 ，故 A正确； x x
x
对于 B， e e x，故 B 错误；
2 2
对于 C， tan x sin x cos x sin x 1 2 2 ，故 C正确； cos x cos x cos x

对于 D， ln x , x 0ln x 1 ，故 D 正确.
ln x , x 0 x
3 2
10.BCD 解析：A：甲乙不相邻的不同排法有 A3 A4 72种，故 A 不正确；
1 2 3
B：甲乙中间恰排一个人的不同排法有C3A2 A3 36种，故 B 正确；
2 3
C：甲乙不排在两端的不同排法有 A3 A3 36种，故 C 正确；
A5
D：甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有 53 20种，故 D 正确.A5
11.ABD 解析：∵ c 0 b a，∴ ac bc，∴ ac b bc a，故 A 正确；
∵ c 0 b a，∴b3 a3， c3 0 b3 c3 a3，∴ ，故 B 正确；
∵ c 0 b a，不妨令 a 3,b 2,c 1 a c a 3 a c a ，得 2， ，此时 ，故
b c b 2 b c b
C 错误；
c 0 b a a b 0 1 1 c c∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，故 D 正确.
a b a b
三、填空题
12.65 解析：成绩在 20,60 的频率是 0.005 0.01 20 0.3，
9
成绩在 20,80 的频率为0.3 0.02 20 0.7，
∴第 40 百分位数一定在 60,80 内，
∴这次数学测试成绩的第 40 百分位数是60 0.4 0.3 20 65 .
0.4
ln 2 y e x x y e x 1 y e013. 解析：由 得 ， x 0 1 2，
y e x故曲线 x在点 0,1 处的切线方程为 y 2x 1，
y ln x 1 a y 1由 得 ，
x 1
设切线与曲线 y ln x 1 a相切的切点为 x0 , ln x0 1 a ，
1 1 1 1
由两曲线有公切线得 y 2 ，解得 x0 ，则切点为 ，a ln ，x0 1 2 2 2
切线方程为 y 1 2 x 1 a ln 2x 1 a ln 2，
2 2
根据两切线重合，∴ a ln 2 0，解得 a ln 2 .
2x y 5 T C r 2x 5 r r14.40 解析：二项式 的通项公式 r 1 5 y ，
∴ x2 y3 2 3的系数为C5 2 1 C 3 225 40 .
四、解答题
1 3 3
15.解：（1）当 a 1时， f x x x2 2x，则 f x x 1 x 2 ，
3 2
∴ x 1或 x 2时， f x 0；1 x 2时， f x 0，
则 f x 在 1,2 上递减，在 ，1 ， 2， 递增，
∴ f x 的极小值为 f 2 2 ，极大值为 f 1 5 .
3 6
（2）由 f x 1 x3 a 2 x2 2ax得 f x x a x 2 ，
3 2
当 a 2时， f x 0，∴ f x 在 ， 上递增，
当 a 2时， x 2或 x a时， f x 0； 2 x a时， f x 0，
∴ f x 在 ,2 , a, 上递增，在 2,a 上递减，
当 a 2时， x a或 x 2时， f x 0； a x 2时， f x 0，
10
∴ f x 在 ,a , 2, 上递增；在 a,2 上递减.
bx a
16.解：（1）由 y e 得 z ln y bx a，
6
由题意得 x 1 1 1 2 3 4 5 6 3.5， z zi 23.52 3.92，6 i 1 6
6
xi yi 6x y
∴b i 1 77.72 6 3.5 3.92n 2 0.26，
x 2 2 91 6 3.5i 6x
i 1
a z b x 3.92 0.26 3.5 4.83，
∴ z ln y 0.26x 4.83 y 0.26x 4.83，即 关于 x的经验回归方程为 y e .
e 0.26x 4.83 ln10 2.3（2）令 10 e e ，∴ 0.26x 4.83 2.3，
*
又由于 x N，蓑衣 x 10，且 x N ，
∴从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至 10 人以下.
17.解：（1）当 t 1时， loga x 1 loga 2x 1 2 ，

0 a 1 x 1 2x 1
2 1 5
又 ，则 ，解得 x ，
2x 1 0 2 4
∴不等式 f x g x 1 5 的解集为 x x .
2 4
f x 2 2
（2）法一：由F x a tx 2t 1得 F x tx x 2t 2，
F x 0 t x 2 x 2由 ，得 2 （ x 2且 1 x 2），则 t ，x 2 x 2 2 4 x 2 2
设U 2x 1 U 1（1 U 4且U 2 2 ），则 t 2 2 ，U 4U 2 4 U
U
令 U 2 U ，
U
当1 U 2时， U 单调递减；当 2 U 4时， U 单调递增，
且 2 2 2， 1 3， 4 9 2 2 U 9 ，故 ，且 U 4 .
2 2
11
1 4 U 2 0 0 4 U 2∴ 或 4 2 2，
2 U U
t的取值范围为： t 2 t 2 2或 .
4
2
法二： F x tx x 2t 2，若 t 0，则 F x x 2在 1,2 上没有零点.
下面就 t 0时分三种情况讨论：
①方程 F x 0 2 2 在 1,2 上有重根 x1 x2，则 0，解得 t ，4
x x 1 2 2又 1 2 1,2 ，∴ t .2t 4
② F x 在 1,2 上只有一个零点，且不是方程的重根，则 F 1 F 2 0，
解得 t 2或 t 1，
经检验 t 2或 t 1时， F x 在 1,2 上都有零点，则 t 2或 t 1.
t 0 t 0
0 0

③方程 F x 0在 1,2 1 1上有两个相异实根，则有 1 2或 1 2，
2t 2t
F 1 0 F 1 0

F 2 0

F 2 0
2 2
解得 t 1，
4
2 2
综上可知： t的取值范围为： t 2或 t .
4
18.解：（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取 100 件的平均数为：
x 10 0.01 50 0.025 60 0.04 70 0.015 80 0.01 90 69 .
即 x 69， s 11，∴ X ~ N 69，112 ，
∵质量指标值 X 服从正态分布 N 69,112 ，
P X 80 1 P 69 11 X 69 11 1 0.6827∴ 0.15865 0.16，
2 2
∴从生产线中任取一件芯片，该芯片为 A等品的概率约为 0.16.
12
（2）（ⅰ）∵ 0.01 0.01 10 100 20，∴所取样本的个数为 20 件，
质量指标值在 85,95 的芯片件数为 10 件，故 可能取的值为 0,1,2,3，
相应的概率为：
3
P 0 C10C
0
10 2
2 1
，P C C 15 1 10 10 ，
C 320 19 C
3
20 38
1 2 0 3
P 2 C 10C10 15 C C 23 ， P 3 10 10 ，C20 38 C 320 19
随机变量 的分布列为：
2 15
∴ 的数学期望 E 0 1 2 15 3 2 3 .
19 38 38 19 2
（ⅱ）设每箱产品中 A等品有Y 件，则每箱产品中 B等品有 100 Y 件，
设每箱产品的利润为 Z 元，
由题意知： Z mY 100 Y ln 25 m m ln 25 m Y 100 ln 25 m ，
由（1）知：每箱零件中 A等品的概率 W 为 0.16，
∴Y ~ B 100，0.16 ，∴ E Y 100 0.16 16，
∴ E Z E m ln 25 m Y 100 ln 25 m
m ln 25 m E Y 100 ln 25 m 16 m ln 25 m 100 ln 25 m
16m 84 ln 25 m .
令 f x 16x 84 ln 25 x 1 x 24 ，
由 f x 16 84 79 0得， x ，
25 x 4
79 79
又 x 1, ， f x 0， f x 单调递增；x ,24 ， f x 0， f x 单调递减；
4 4
13
x 79∴当 1,24 时， f x 取得最大值.
4
79
所以当m 时，每箱产品利润最大.
4
19.解：（1）当 a 0时， f x ln x x，且知 f x 1 1 x 1 ，
x x
在 0,1 上， f x 0， f x 在 0,1 上单调递增；
在 1， 上， f x 0， f x 在 1， 上单调递减，
∴函数 f x 的单调增区间为 0,1 ，单调减区间为 1， .
x 1 1
（2）证明：∵ a 1，∴ f x e ln x 2x，且知 f x e x 1 2，
x
要证函数 f x 单调递增，即证 f x 0在 0， 上恒成立，
1 1
设 g x e x 1 2， x 0，则 g x e x 1 ，
x x2
y e x 1 1注意 ， y 2 在 0， 上均为增函数，x
故 g x 在 0， 上单调递增，且 g 1 0，
于是 g x 在 0,1 上单调递减，在 1， 上单调递增，
g x g 1 0，即 f x 0，因此函数 f x 在 0， 上单调递增.
x 1 1
（3）由 f x ae a 1，有 f 1 0，
x
h x ae x 1 1令 a 1，有 h x ae x 1 1 ，
x x2
a 0 h x ae x 1 1①当 时， 2 0在 0， 上恒成立，x
因此 f x 在 0， 上单调递减，
注意到 f 1 0，故函数 f x 的增区间为 0,1 ，减区间为 1， ，
此时 x 1是函数 f x 的极大值点.
②当 a 0时， y ae x 1与 y 1 2 在 0， 上均为单调增函数，x
故 h x 在 0， 上单调递增，
注意到 h 1 a 1，
14
若 h 1 0，即0 a 1时，此时存在 n 1, ，使 h n 0，
因此 f x 在 0,n 上单调递减，在 n, 上单调递增，
又 f 1 0，则 f x 在 0,1 上单调递增，在 1,n 上单调递减，
此时 x 1为函数 f x 的极大值点，
若 h 1 0，即 a 1时，此时存在m 0,1 ,使h m 0，
因此 f x 在 0,m 上单调递减，在 m, 上单调递增，
又 f 1 0，则 f x 在 m,1 上单调递减，在 1, 上单调递增，
此时 x 1为函数 f x 的极小值点.
当 a 1时，由（1）可知函数 f x 单调递增，因此 x 1非极大值点，
综上所述，实数 a的取值范围为 ，1 .
15