3.1 指数幂的拓展 课件 （共17张PPT）2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第一册

(共17张PPT)
3.1 指数幂的拓展
1.理解分数指数幂的概念，会进行分数指数幂与根式的互化.
2.了解无理数指数幂的概念，了解无理数指数幂可以用有理数指数幂逼近的思想方法.
初中，学习了整数指数幂，给定正数a和正整数n,有, ,
在实际问题中，指数幂中的指数不一定都是整数.
薇甘菊是热带、亚热带地区危害最严重的杂草之一，它侵害田地的面积S(单位：hm2)与年数（年）的关系式为:.
其中为侵害面积的初始值
问题：如果求15.5年后侵害的面积，就需要计算，这个指数运算与初中所学的指数运算有什么差异呢？
指数是分数.
1.给定正数和正整数(且互素)，若存在唯一的正数，使得，则称为的次幂.
记作，这就是正分数指数幂.
例如：，则；，则
探究一 正分数指数幂
①当是正整数时，分数指数幂满足：
②与类似，
当底数时，，其中读作“次根号下”，也叫根式运算.
例如：，；
③根据分数指数幂的定义，
分数指数幂的条件是：底数.
虽然，
但不能写成.
分数指数幂的底数必须是正数哦！
例1.把下列各式中的正数写成正分数指数幂的形式：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
； (2)；
(3)； (4)
解析
2.类似负整数指数幂的定义，给定，正整数(且互素)，定义.
至此，指数运算的指数已经扩充到有理数了.
探究二 负分数指数幂
那么，指数是无理数的情况呢？
以 为例说明如下
因为，所以
上式左边的数称为的不足近似值，右边的数称为的过剩近似值
借助计算器，可算出越来越趋近于同一个数，即
一般的，给定正数，对任意无理数，都是一个确定的实数.
同理
这样，指数运算的指数已经扩充到全体实数了.
归纳
①给定一个正数，对任意实数，指数幂都大于0；
②0的任意正实数幂都等于0；
③0的0指数幂和负实数指数幂都没有意义.
例2. 计算：
（1）； （2）； （3）.
(1)；
(2)；
(3)
解析
1.计算下列各式：
①； ②.
① .
②
．
解：
2.把下列各式中的正数写成正分数指数幂的形式：
（1）； （2）；
（3）； （4）.
解：
3.用分数指数幂表示下列各式（字母均表示正实数）.
① ②
① .
②
解：
（1）负数的分数指数幂，在某些情况下是没有意义的，如，但却是有意义的，避免情况过于复杂，所以对分数指数幂的底数统一要求为正数，这也是后面指数函数底数要求为正数的原因.
（2）为了便于指数幂的运算，一般都将根式化成分数指数进行运算，这样便于利用指数运算律进行指数幂的运算.