4.1 对数的概念 课件（共19张PPT） 2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第一册

(共19张PPT)
4.1 对数的概念
1.掌握对数的概念；
2.能进行简单的对数与指数的互换.
在第三章“1指数幂的拓展中提到，经测算薇甘菊的侵害面积S（单位：hm2)
与年数t满足关系式S=S0·1.057t,其中S0（单位hm2)为侵害面积的初始值.
现在，设经过t年后，薇甘菊的侵害面会增长到原来的5倍，可得 S0·1.057t=5S0, 即1.057t=5. 用什么样的方式表示出t的值呢？
概念
一般地，如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N，
那么数b称为以a为底N的对数，记作logaN=b.其中a叫作对数的底数,N叫作真数 .
在物理和工程技术中会遇到一些问题其中的函数关系都是形如 (其中 是常数A>0,w>0)的形式，这类函数有什么性质呢
小组探究
1. 因为45=256，所以5是以4为底256的对数，记作log4256=5.
2.因为1.057t=5,所以t=log1.0575.
给定底数后，对数运算是指数运算的逆运算.
推论
1.根据对数的定义，有alogaN=N.
2.当对数的底数a=10时，称为常用对数，并将log10N简记为lgN.
3.在科学领域，常常使用以无理数e=2.718271...为底数的对数，称为自然对数，并将logeN=lnN.
小组探究
1.对于任意正数a，且a不等于1,对数loga1，logaa,loga(1/a) 的值有什么特点？
2. logaN的底数a能不能是0或者负数？a的值为什么不取1，真数N的取值范围是什么？
解：根据对数的定义，得
（1）log5625=4； （2）log7343=3；
（3）log765776=2； （4）
例1 将下列指数式改写为对数式：
（1）54=625； （2）73=343；
（3）762=5776； （4）
例2 将下列对数式改写为指数式：
（1）log5125=3； （2）log11121=2；
（3） ； （4）lg100=3.
解：根据对数的定义，得
（1）53=125； （2）112=121；
（3） （4）103=1000.
例3 求下列各式中x的值.
（1）log3x=4； （2） ；
（3）3x=5； （4）ln x=-1；
（5）logx64=2； （6）
解：根据对数的定义，得
（1）x=34=81； （2） ，所以x=-2；
（3）x=log35； （4）x=
（5）x2=64，又x＞0，所以x=8；
（6） 所以x=3.
课堂拓展资源---数学文化-对数的起源
16,17世纪，社会各领域的科学知识迅速发展,随之而来的是庞大的数学计算需求,改进计算方法成了当务之急苏格兰数学家纳皮尔(John Napier,1550-1617)在1614 年出版了《奇妙的对数表的描述》,创造了对数.那时指数的概念尚未明确，那么纳皮尔是怎样不从指数出发而得到对数的呢
1648年，波兰传教士穆尼阁(波兰语:Jan MiolajSmogulecki16101656)果到国,向薛风祚(1599-1680)等中国数学家传授对数，共同编译并出版了《比例对数表》该书中，把“logarithm(对数)”翻译成“假数”而称纳皮尔对数x=Nap·logy中的y为真数”,所以“真数与假数对列成表”也就是“对数表”这便是我国“对数”名称的由来.
对数的创始人是纳皮尔(John Napier)，他是苏格兰的贵族，1550年生于苏格兰爱丁堡附近的麦启斯顿(Merchiston)，1617.4.4卒于同地.纳皮尔1563年入圣安德卢斯(St.Andrews)大学，又到过欧洲留学，1571年重回苏格兰.
1.思考辨析：
（1）零和负数没有对数.（ ）
（2）当a＞0，且a≠1时，loga1=1.（ ）
（3）log3（-2）2=2log3（-2）.（ ）
[答案]（1）√（2）×（3）×
2.若 ，则x= .
答案：-4
解析：由 ，得 ，解得x=-4.
3.若对数log3a(－2a＋1)有意义，求a的取值范围.
解：根据题意可得，a≠1.
所以a的取值范围是(0，)∪(，).
1.掌握对数的概念；
2.能进行简单的对数与指数的互换.
3.了解对数起源文化.