4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 课件（共21张PPT） 2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第一册

(共21张PPT)
4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较
1.通过具体实例理解三类函数模型增长的差异.
2.利用三类函数的图象对比研究函数的增长快慢.
幂函数、指数函数、对数函数
——“赛跑”
我们己经知道，给定常数a，b，c，指数函数y=ax(a>1)、对数函数y=logbx(b>1)、幂函数y=xc（x>0，c>0）都是增函数；而且当x的值趋近于正无穷大时，y的值都是趋近于正无穷大的.那么，这三个增函数的函数值的增长快慢有什么差别呢？如果把自变量看做时间，我们来个函数增长快慢的赛跑，怎么样？
首先，明确规则：
一看：同一时刻谁跑在前面；
二看：到最后谁跑在前面.
三类函数商量对策，先做组内选拔，再组间PK.
赛跑怎么看输赢？
一是直观看，观众和裁判一目了然；对函数来讲，就是从“形”——图象的角度；
二是从“数”，难分伯仲时，计时或录像慢放，微观定胜负.
因此函数之间的PK，我们同样从数、形两个角度看.
方法1：从“数”的角度看
第一局：幂函数与对数函数的增长情况的比较：
总结归纳
1.幂函数与对数函数的增长情况的比较：
总结归纳
2.指数函数与幂函数的增长情况的比较
方法1：形少数时难入微，从“数”的角度——两函数对应值表看
总结归纳
可以看出，当x的值充分大时，指数函数y=2x比幂函数y=x100增长快，而且快很多.
当x的值充分大时，指数函数y=2x比幂函数y=x100增长快.
总结归纳
总结归纳
1.函数f(x)=2x和g(x)=x3的图像如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图像，比较f(8)，g(8)，f(2 016)，g(2 016)的大小.
解： (1)C1对应的函数为g(x)=x3，C2对应的函数为f(x)=2x.
解： (2)∵g(1)=1，f(1)=2，g(2)=8，f(2)=4，g(9)=729，
f(9)=512，g(10)=1 000，f(10)=1 024，
∴f(1)>g(1)，f(2)g(10).
∴1∴x1<8从图像上知，当x1当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数.
∴f(2 016)>g(2 016)>g(8)>f(8).
2.某公司为了实现1 000万元利润的目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案:销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金数额y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金数额不超过5万元,同时奖金数额不超过利润的25%.
(1)请指出符合公司要求的模型应该满足的条件;
解: (1)由题意,符合公司要求的模型只需满足:
当x∈[10,1 000]时,①函数为增函数;②函数的最大值不超过5;③y≤x·25%.
(2)现有三个奖励模型：y=1.003x，y=lg x+2， ，问其中是否有模型能完全符合公司的要求？请说明理由.（参考数据：1.003600≈6)
解：(2)对于y=1.003x，易知满足①；但当x>600时，y>6,不满足公司的要求；
对于y=lgx+2，易知满足①，当x∈[10,1000]时，y≤lg 1000+2=5，所以满足②，
但lg 10+2=3> ,所以不满足③，不满足公司的要求.
对于 ,易知满足①，当x∈[10,1000]时，y≤ ,所以满足②，
又x∈[10,1000]时， ，由此可知满足③.
综上所述，只有奖励模型 能完全符合公司的要求.