5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 课件（共18张PPT） 2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第一册

(共18张PPT)
5.1.1 利用函数性质判定方程解的存在性
1.理解函数零点概念，了解函数零点与方程根的关系.（难点）
2.掌握函数零点的判断方法并会判断函数零点的个数.
3.会求函数的零点. （重点）
试判断下列方程根的个数：
问题 :
的解是否存在？
利用函数性质判定方程解的存在性
两个
一个
0个
？
一元二次方程 方程的根 二次函数 函数的图象 图象与x轴交点的横坐标



x2－x－6=0
x2－2x +1=0
y=x2－x－6
x2－2x +3=0
y=x2－2x +1
y=x2－2x +3
问题1：完成下表，并观察方程的根与相应函数图象与x轴交点的横坐标有何关系？
方程的根是相应函数图像与x轴交点的横坐标
零点的定义：想一想:零点是个点吗？(3)零点不是点，而是一个实数.注：(1)(2)这就为我们提供了一个通过函数性质确定方程解的途径，体现出转化思想A．(-1,0), (3,0) B. x=-1
C. x=3 D. x=-1或3
练一练
问题2：下列哪些情况一定可以判定小马过河？
(1)
(2)
想一想：
(1) 如果有，则有几个？
(2) 如果把“连续不断”去掉结果如何？
.
抽象归纳
零点存在定理: 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线,并且在区间端点的函数值一正一负,即 f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在开区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.
注: (1)对“至少一个的理解”
(2)零点存在定理作用：
判断是否存在零点。
知识归纳
判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例.
(1)函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)上只有一个零点.
(2)函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.
(3)函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且有零点，则f(a)·f(b)<0
(4)函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且满足f(a)·f(b)>0，则函数y=f(x)在区间(a,b)上没有零点.
零点存在定理：若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线, 并且在区间端点的函数值一正一负, 即 f(a)·f(b)<0,则在开区间(a,b)内, 函数y=f(x)至少有一个零点,即在开区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解.
注: (1)“至少一个的理解”
(2)零点存在定理作用：
判断是否存在零点。
(3)
f(a)·f(b)<0是函数y=f(x)在区间(a, b)上有零点的________________条件
充分而非必要
函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续的曲线
例1 方程
解:
设函数
由于
所以f(-1)·f(0)<0
又因为函数 f(x)是一条连续的曲线
所以由零点存在定理可知函数f(x)在区间[-1,0]
存在零点，
即:方程
在区间[-1,0]有解。
总结：(1)步骤
(2)思想
若题中没有给定区间[-1,0]，你能探索原方程的解所在的大致区间吗？
的解是否存在？若存在, 能否判断解所在的大致区间？
解:
由于
所以f(1)·f(2)<0
又因为函数 f(x)是一条连续的曲线
所以由零点存在定理可知函数f(x)在区间[1,2]存在零点，
即方程
在区间[1,2]有解。
即时练习
更精确一点解的区间吗？ 想一想：
解:
由于
所以f(1)·f(2)<0
又因为函数 f(x)是一条连续的曲线
所以由零点存在定理可知函数f(x)在区间[0,1]存在零点，
即方程
在区间[0,1]只有一个解。
又因为函数 f(x)是在R上单调递增，
所以函数 f(x)是在R至多一个交点
综上，函数 f(x)是在[0,1]恰有一个零点
的解是否存在？若存在, 你能判断有几个吗？
1.函数f(x)=-x2-2x+3的零点是( )
A. 3,-1 B . -3,1
C .1,3 D . -1,-3
B
2.若函数f(x)=ax+2在区间[-2,1]上存在零点，则实数的取值范围是( )
A .[-2,1]
B. [-1,2]
C. [-2.5,4]
D.（-∞,-2] ∪ [1，+∞）
D
一个概念(关系)：
函数
方程
零点
实数解
数 值
存在性
个 数
一个定理：
函数零点与方程实数解的关系
零点存在定理．
本节课你学到了哪些知识？
函数方程思想；数形结合思想．
两个思想：