5.1.2 利用二分法求方程的近似解 课件（共18张PPT） 2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第一册

(共18张PPT)
5.1.2 利用二分法求方程的近似解
1.了解求方程近似解的方法，会用二分法求具体方程的近似解．
在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一个点要爬一次电线杆，大约有多根电线杆呢．如何迅速查出故障所在？
故障
故障
想一想：要把故障可能发生的范围缩小到左右，即两根电线杆附近，要查多少次？
8次
情境：
问题1：我们已经学过一元一次方程、一元二次方程的解法，但是，绝大部分方程没有求解公式，如，那么如何确定方程的解呢？
函数有零点
函数的图象与轴有公共点
方程有实数解



零点存在定理 若函数在闭区间上的图象是一条连续的曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即，则在开区间内，函数至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个解．
方程一定有解吗？如何确定解的存在性？
探究
问题1：我们已经学过一元一次方程、一元二次方程的解法，但是，绝大部分方程没有求解公式，如，那么如何确定方程的解呢？
解：设，
容易得出，，
由零点存在定理，可知在区间内存在零点，
即方程的一个实数解的存在区间为．
能否求这个实数解的近似值呢？
如果能将实数解所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下就可以得到符合要求的实数解的近似值．
能否找出方程的一个实数解的存在区间呢？
探究
考虑的中点，又，，．
根据函数零点存在定理可知，函数在区间内存在零点，
即在区间内存在实数解，区间长度为，
因此，区间内任意一个数都是满足精确度的近似解．
已知在区间内存在实数解，即函数在区间内存在零点，
区间长度为
区间长度至少减半
定义 设是方程的一个解，给定正数，若满足，就称是满足精确度的近似解．
如果要获得方程精确度为的近似解，你能找到一个符合要求的区间吗？
思考
定义 设是方程的一个解，给定正数，若满足，就称是满足精确度的近似解．
如果要获得方程精确度为的近似解，如何逐步缩小区间？
通过取区间的中点，将零点所在区间逐次减半．有限次重复相同步骤，借助函数零点的存在定理，将零点所在区间尽量缩小，达到精确度要求后，此区间内的任意一个数都可以作为函数零点的近似值．
给定精确度，为什么当时，区间中任意一个值都是满足精确度的近似值？
当时，所在的区间中任意一个值与的误差都不超过，当然也就不超过．区间中任意一个值都是满足精确度的近似值．
请你利用计算器重复这样的步骤，继续缩小区间，直到区间长度小于为止．将计算结果填在下表中，并据此画出函数在区间内的大致图象．
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 2 -1.307 3 1.099 1
第2次 2.5 -0.084 3 1.099 0.5
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
2.5
2.5
2.53125
2.5
2.53125
2.53125
-0.084
-0.084
-0.009
-0.084
-0.009
-0.009
2.75
2.625
2.5625
2.5625
2.546875
2.5390625
0.512
0.215
0.066
0.066
0.029
0.010
0.25
0.125
0.03125
0.0625
0.015625
0.0078125
你能给出的精确度为的近似解吗？
∵
，
∴区间内任意一点都可以作为解的近似值．
如：取作为函数零点的近似值，也即方程的近似解．
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 2 -1.307 3 1.099 1
第2次 2.5 -0.084 3 1.099 0.5
第3次
第4次
第5次
第6次
第7次
第8次
2.5
2.5
2.53125
2.5
2.53125
2.53125
-0.084
-0.084
-0.009
-0.084
-0.009
-0.009
2.75
2.625
2.5625
2.5625
2.546875
2.5390625
0.512
0.215
0.066
0.066
0.029
0.010
0.25
0.125
0.03125
0.0625
0.015625
0.0078125
取区间的中点，
若，则区间内有方程的解．
再取区间的中点… …这样操作下去（如果取到某个区
间的中点，恰使，那么就是所求的解；如果区间
中点的函数值不等于，且区间某个端点的函数值与异号，
那么与这个端点组成新的区间的端点），经过有限次操作，区间长度越来越小，且其端点的函数值符号相反，随着操作次数的增加，端点逐步逼近方程的解，从而得到近似解．
问题2：上面这种求方程的近似解的方法，它的总体思路是什么？
基本思路：
区间一分为二；
端点函数值异号；
逐步缩小区间；
逼近方程的解．
定义： 像这样，对于一般的函数，，若函数的图象是一条连续的曲线，，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中个小区间的求方程近似解的方法称为二分法．
只要方程所对应的函数图象是连续的曲线，而且有实根，就可用二分法借助于计算器或计算机求出方程根的近似值．
这种方法适用于哪些方程？
二分的次数越多，近似值就越精确．二分法体现了无限逼近（极限）的数学思想．
你能提炼出给定精确度，用二分法求方程的近似解的一般步骤吗？
初始区间是一个两端点函数值异号的区间；
新区间的一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，并且新区间两端点的函数值异号．
初始区间选的不同，虽然不影响最终计算结果，但可能影响计算量的大小．
若方程有多个解，则需要选取不同的初始区间来求得不同解的近似值．
思考
结束
选定初始区间
取区间中点
得到新区间
选取区间内的任意一个数
中点函数值为0
新区间的长度小于精确度
是
否
否
是
例1：求方程的一个近似解．（精确度为）
解：经试算，，．
所以方程在区间内有解．
取区间的中点，，
所以方程在区间内有解．
如此下去，得到方程的解所在的区间，如下表：
设，基于零点存在定理，从一个两端点函数值异号的区间开始，应用二分法逐步缩小方程解所在区间．
分析
至此，可以看出，区间的区间长度为，它小于而方程的解就在这个区间内，因此区间内的任意一个数都是满足精确度的近似解，
例如，就是方程精确度为的一个近似解．
次数 左端点 左端点函数值 右端点 右端点函数值 区间长度
第1次 0 -3 1 2 1
第2次 0.5 -1.25 1 2 0.5
第3次 0.5 -1.25 0.75 0.09375 0.25
第4次 0.625 -0.63671875 0.75 0.09375 0.125
第5次 0.6875 -0.287597656 0.75 0.09375 0.0625
第6次 0.71875 -0.101135254 0.75 0.09375 0.03125
第7次 0.734375 -0.004768372 0.75 0.09375 0.015625
第8次 0.734375 -0.004768372 0.7421875 0.044219017 0.0078125
1.(1)任何函数的零点都可以用二分法求得．( )
(2)用二分法求出的方程的根都是近似解．( )
(3)当方程的有解区间的区间长度(精度)时，区间内任意一个数都是满足精度的近似解．( )
解：(1)只有当函数图象在区间是连续的曲线，且与轴有交点时，即，才可用二分法求函数的零点．故错误；
(2) 使用二分法时，如果取到某个区间的中点，恰使，那么就是所求的解，不是近似解．故错误；
(3)正确．
×
×
√
2.用二分法求函数的零点时，初始区间可选为( )
A．(－1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)
C
解：，
，
，
，
故函数的零点在区间上，故初始区间可选为．选C．
3.若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
C
解：根据题意知函数的零点在至之间，
又，故方程的一个近似解为，
故选C．
那么函数零点的一个近似解(精度为)为( )
A．1.25 B．1.375 C．1.40625 D．1.5
1.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近方程的解，直至找到解附近足够小的区间，根据所要求的精度，此区间的任意数值即为近似解．
结合本节课的关键词“二分法”说说你学到了哪些知识？
2.并非所有方程都可以用二分法求出其近似解，只有满足：
(1)对应函数图像在区间上连续不断；
(2)．
上述两条，方可采用二分法求得近似解．