(共15张PPT)
5.2.1 课时1 生产销售的函数刻画
1.能分析实际问题中各相关因素之间的关系，并建立刻画“生产销售问题”的函数模型．
情景：在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画，函数刻画的方法可以使用图象，但常见的还是使用解析式．
如何用函数刻画实际问题呢？
问题1：某公司投入了万元，用于研发设计一种新型几何模板．经测算，每件产品的直接成本是元，市场的合适售价是元．显然，这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品，另一方面又要争取获得好的收益．当这种新型几何模板畅销时，怎样计算总收益呢？（销售、仓储及维护等环节成本忽略不计）
(1) 这个问题涉及了哪几个因素？
与产量及单件产品的直接成本、研发费用有关系；
与销售量及销售单价有关系；
与生产总成本及销售总收入有关系．
(2) 这几个因素之间存在怎样的关系？
总收益
总收入
总成本
-
①生产总成本（ ）
②销售总收入（ ）
③总收益（ ）
问题1：某公司投入了万元，用于研发设计一种新型几何模板．经测算，每件产品的直接成本是元，市场的合适售价是元．显然，这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品，另一方面又要争取获得好的收益．当这种新型几何模板畅销时，怎样计算总收益呢？（销售、仓储及维护等环节成本忽略不计）
(3) 如何用函数表示上述关系？
设产量为件．
①生产总成本（ ）
②销售总收入（ ）
③总收益（ ）
问题1：某公司投入了万元，用于研发设计一种新型几何模板．经测算，每件产品的直接成本是元，市场的合适售价是元．显然，这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品，另一方面又要争取获得好的收益．当这种新型几何模板畅销时，怎样计算总收益呢？（销售、仓储及维护等环节成本忽略不计）
(4) 产量在什么范围时，该公司可以盈利？
从图中清晰可见：产量件是关键点，
若，则要亏损；
若，则总收益为；
若，则可盈利．
(5) 该公司若想盈利万元，应生产多少件该产品？
令，解得：．
故该公司若想盈利万元，应生产件该产品．
轧辊序号 1 2 3 4
相邻疵点间距
(1) 带钢宽度不变意味着什么？不考虑损耗意味着什么？
带钢宽度不变意味着经过轧辊后带钢变长，
不考虑损耗意味着带钢的体积不变．
问题2：如图，为一台冷轧机的示意图，这台冷轧机由对减薄率为的轧辊组成，所有轧辊周长均为，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，轧钢过程中，带钢宽度不变．若第对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，相邻疵点间距为，为了便于检修，请完成下表（不考虑损耗）？
减薄率：输入该对轧辊的带钢厚度减去从该对轧辊输出的带钢厚度的差再与输入该对轧辊的带钢厚度之比．
问题2：如图，为一台冷轧机的示意图，这台冷轧机由对减薄率为的轧辊组成，所有轧辊周长均为，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，轧钢过程中，带钢宽度不变．若第对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，相邻疵点间距为，为了便于检修，请完成下表（不考虑损耗）？
(2) 若第对轧辊有缺陷，在此处输出的相邻疵点间的带钢体积是多少？
设轧钢初始厚度为，宽度为．
经过第对轧辊后，带钢厚度变为，则有，解得：．
相邻疵点间距为轧辊周长，
因此，在此处输出的相邻疵点间的带钢体积为．
问题2：如图，为一台冷轧机的示意图，这台冷轧机由对减薄率为的轧辊组成，所有轧辊周长均为，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，轧钢过程中，带钢宽度不变．若第对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，相邻疵点间距为，为了便于检修，请完成下表（不考虑损耗）？
(3) 若第对轧辊有缺陷，则在第对轧辊处输出的相邻疵点间的带钢体积是多少？
若第对轧辊有缺陷，经过第对轧辊后，带钢厚度变为，则有，解得：．
相邻疵点间距为轧辊周长，在此处输出的相邻疵点间的带钢体积为．
… …
所以，若第对轧辊有缺陷，则在该处输出的相邻疵点间的带钢体积为，．
问题2：如图，为一台冷轧机的示意图，这台冷轧机由对减薄率为的轧辊组成，所有轧辊周长均为，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，轧钢过程中，带钢宽度不变．若第对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，相邻疵点间距为，为了便于检修，请完成下表（不考虑损耗）？
(4) 在冷轧机输出的带钢上，相邻疵点间距为，如何表示最终输出的相邻疵点的带钢体积？
因为轧钢初始厚度为，宽度为．经过对轧辊后，厚度变为，宽度不变，相邻疵点间距为，故输出的相邻疵点的带钢体积为．
因为在轧钢过程中，不考虑损耗，所以
即，．
经计算得，，，，．填入表格，可得：
轧辊序号 1 2 3 4
相邻疵点间距 3125 2500 2000 1600
例1：网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表，第一行是脚长（新鞋码，单位：），第二行是我们习惯称呼的“鞋号（旧鞋码，单位：号）”．
脚长/ 220 225 230 235 240 245 250 255 260
鞋号/号 34 35 36 37 38 39 40 41 42
（1）脚长和鞋号有什么关系呢？
（2）如果看到一款“号”的女童鞋，你知道对应的脚长估计是多少吗？
（3）一名脚长为的女运动员，又该穿多大号的鞋呢？
解：（1）观察上表，设脚长（新鞋码）、鞋号（旧鞋码）分别为，，将每一对数，对应的数对用平面直角坐标系的点来表示，如右图：
可以看出，这些点在一条直线上，不妨将这条直线表示为．利用表格中的任意两组数，得，．因此．
解：（2）当时，，即能穿号鞋的女童的脚长不超过．
（3）当时，，即脚长为的女篮球运动员应穿43号的鞋．
例1：网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表，第一行是脚长（新鞋码，单位：），第二行是我们习惯称呼的“鞋号（旧鞋码，单位：号）”．
脚长/ 220 225 230 235 240 245 250 255 260
鞋号/号 34 35 36 37 38 39 40 41 42
（1）脚长和鞋号有什么关系呢？
（2）如果看到一款“号”的女童鞋，你知道对应的脚长估计是多少吗？
（3）一名脚长为的女运动员，又该穿多大号的鞋呢？
1.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为
和，其中为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售辆车，
则能获得的最大利润为( )
A．45.606万元 B．45.6万元 C．45.56万元 D．45.51万元
B
解：依题意可设甲销售辆，则乙销售辆，总利润，
则总利润，
，所以当时，(万元)．
故选：B．
2.一新型气枪发射子弹的速度与枪管的半径的四次方成正比，已知枪管直径为时，子弹速度为．若用管道半径为的气枪瞄准高空中一水平飞行的物体，子弹发出秒打中，则子弹发射走过的路程为( )
A．15 430 cm B．15 430 m C．3 086 cm D．3 086 m
B
解：∵气枪发射子弹的速度与枪管的半径的四次方成正比，
∴设，将，代入，得，∴，∴气枪发射子弹的速度与枪管的半径的函数关系式为，
当时，，，
∴子弹发射走过的路程为．
1.本节课主要研究实际问题的数学刻画如何刻画．
（1）认真读题，仔细审题．
（2）引进数学符号，建立数学模型．
（3）会把数学结果转化为实际问题的结果进行诠释实际问题．
2.应用问题解答的关键是：用数学的眼光看实际问题，用数学语言表示实际问题．
本节课你学到了哪些知识？(共16张PPT)
5.2.1 课时2 生活中几何图形的函数刻画
1.能分析实际问题中各相关因素之间的关系，并建立刻画“生活中的几何图形问题”的函数模型．
情景：现有一把椅子，四条腿一样长且四脚连线成正方形，需放在起伏不平但光滑的地面上，能否将这把椅子四脚同时落地放稳？
你能用函数的观点来给出理性的解释吗？
依照生活经验，如果一把椅子没放稳，只需前后挪动几下，或者旋转一下就能够放稳了，也就是说这把椅子可以实现四脚同时落地放稳．
问题1：现有一把椅子，四条腿一样长且四脚连线成正方形，需放在起伏不平但光滑的地面上，能否将这把椅子四脚同时落地放稳？你能否用函数的观点来解释？
探究 如图，记这把椅子四脚连线所形成的图形为正方形，对角线的交点为；以点为旋转中心，初始位置的转过角时，记，两点与地面距离之和为，，两点与地面距离之和为．
因为任意位置的椅子都可以三只脚与地面接触，
所以总有 ．
记，显然函数的图象是不间断的曲线．
对于初始位置，不妨设，，
则．
问题1：现有一把椅子，四条腿一样长且四脚连线成正方形，需放在起伏不平但光滑的地面上，能否将这把椅子四脚同时落地放稳？你能否用函数的观点来解释？
（1）椅子逆时针旋转，点转到点，你能判断此时的符号吗？
，，
所以．
于是，根据函数零点存在定理，可知在区间上存在，
使得，即，
所以这把椅子四脚能够同时落地放稳．
当不易建立起函数模型时，可根据实际问题中变量的变化规律，或结合图形的变化趋势进行分析，找出实际问题的解．
注 意
问题2：通过市场调查，得到一枚某纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的关系如下：
上市时间 4 10 36
市场价 90 51 90
探究：根据上表，你能从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的关系吗？
①，②，③
由表可得，随着的值的增大，的值先减小后增大，而所给的三个函数中，
和显然都是单调函数，不满足题意，
因此，选取函数最恰当．
问题2：通过市场调查，得到一枚某纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的关系如下：
上市时间 4 10 36
市场价 90 51 90
（2）利用你所选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．
把，，代入中，得
，，
，，，
，
当时，取得最小值，，
该纪念章市场价最低时的上市天数为，最低价格为元．
例1： 18世纪70年代，德国科学家戴维-提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离（天文单位）如下表：
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面的天王星与太阳的距离大约是多少？
解：由数值对应表作散点图如图：
行星 1(金星) 2(地球) 3(火星) 4( ) 5(木星) 6(土星) 7( )
距离 0.7 1.0 1.6 5.2 10.0
根据散点图可设，
代入前3个数据可得：，，．
所以．
例1： 18世纪70年代，德国科学家戴维-提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离（天文单位）如下表：
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面的天王星与太阳的距离大约是多少？
行星 1(金星) 2(地球) 3(火星) 4( ) 5(木星) 6(土星) 7( )
距离 0.7 1.0 1.6 5.2 10.0
将，，代入检验，，．刚好符合．
所以，．
故谷神星、天王星距离太阳的距离分别为，个天文单位．
例2：加油站的汽油都存储在地下油槽中，由于比较容易测量槽中油料的高度，因此一般用油料的高度来监控油槽中的油料量．现有一圆柱体油槽，横卧地下，其母线呈水平状态，纵截面是圆（如下图），截面圆半径是，圆柱的长是．从资料可查出圆的弓形面积与圆面积比例系数表（如下表），它给出了弓形面积占单位圆面积的比值．其中，，．
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0 0.019 1.6 0.094 0.142 0.196 0.252 0.312 0.374 0.436 0.5
为了方便加油站操作人员估计油槽中的油料量，请编制一份油料的液面高度（单位：）与油料量（单位：）的对照表，该表的油料液面高度取值从开始，最大为，间隔．（取，油料量精确到）
例2：加油站的汽油都存储在地下油槽中，由于比较容易测量槽中油料的高度，因此一般用油料的高度来监控油槽中的油料量．现有一圆柱体油槽，横卧地下，其母线呈水平状态，纵截面是圆（如下图），截面圆半径是，圆柱的长是．从资料可查出圆的弓形面积与圆面积比例系数表（如下表），它给出了弓形面积占单位圆面积的比值．其中，，．
分析
例2：加油站的汽油都存储在地下油槽中，由于比较容易测量槽中油料的高度，因此一般用油料的高度来监控油槽中的油料量．现有一圆柱体油槽，横卧地下，其母线呈水平状态，纵截面是圆（如下图），截面圆半径是，圆柱的长是．从资料可查出圆的弓形面积与圆面积比例系数表（如下表），它给出了弓形面积占单位圆面积的比值．其中，，．
解：如图，油槽截面的油料液面线为，
记油料液面高度时的油料的面积为．
依题意知：
．
．
这里，于是可得到油料的液面高度与油料量的对照表．
0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
0 859.104 2351.232 4250.304 6420.672 8862.336 11394.432 14107.392 16910.784 19714.176 22608
0 344 940 1700 2568 3545 4558 5643 6764 7886 9043
油料的液面高度与油料量的对照表：
1.某广告公司要为客户设计一幅周长为 l（单位：m）的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？
解：设矩形的一边长为，广告牌面积为，则．
当时，取到最大值，且
所以当广告牌是边长为的正方形时，广告牌的面积最大．
24
解：根据题意，当时，，
所以
当时，，所以
即，解得，
所以该食品在33的保鲜时间是 h．
2.某食品的保鲜时间y（单位：h）与储藏温度x（单位：）满足函数关系
（e为无理数自然对数的底数，、为常数）．若该食品在0的保鲜时间是192 h，在22的保鲜时间是，则该食品在33的保鲜时间是________h．
本节课你学到了哪些知识？
