5.2.2 用函数模型解决实际问题 课件（共20张PPT） 2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第一册

(共20张PPT)
5.2.2 用函数模型解决实际问题
1.能利用已知函数模型解决实际问题.
情境：数学模型是针对某种事物的主要特征、主要关系，用形式化的数学语言，抽象概括地、简化近似地表述出来的一种数学结构．其中，函数模型是应用最广泛的数学模型之一．实际问题一旦被认定是函数关系，就可以通过研究这个函数的性质，使问题得到解决．
问题1 在之前的学习中，我们学过哪些函数？
名称 解析式 条件
一次函数模型
反比例函数模型
二次函数模型
指数函数模型 ，
对数函数模型 ，
幂函数模型
例1 某国年至年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
年份 2018 2019 2020 2021
x(年) 0 1 2 3
生产总值(万亿元) 8.206 7 8.944 2 9.593 3 10.239 8
(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
解：(1) 设所求的函数为．
把直线通过的两点和代入上式，
解方程组，可得，．
所以它的一个函数关系式为．
分析：根据表中数据画出函数图形，如图所示．从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上．
例1 某国年至年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
解：(2)由(1)中得到的关系式为，
计算出年和年的国内生产总值分别为
，
．
与实际的生产总值相比，误差不超过万亿元．
年份 2018 2019 2020 2021
x(年) 0 1 2 3
生产总值(万亿元) 8.206 7 8.944 2 9.593 3 10.239 8
例1 某国年至年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
(3)利用关系式预测2022年该国的国内生产总值．
解： (3)年，即，由上述关系式，
得，
即预测年该国的国内生产总值约为万亿元．
年份 2018 2019 2020 2021
x(年) 0 1 2 3
生产总值(万亿元) 8.206 7 8.944 2 9.593 3 10.239 8
（1）根据表格信息，画出图象；
（2）根据图象特征，选定函数模型；
（3）用待定系数法求出函数解析式；
（4）检验模型．
求解步骤：
例2 如图1是某公共汽车线路收支差额元与乘客量的图象．
(1)试说明图上点、点以及射线上的点的实际意义；
(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？
(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？
(4)图、图、图中的票价分别是多少元？
解：(1)点表示无人乘车时收支差额为元，
点表示有人乘车时收支差额为元，
线段上的点表示亏损，
延长线上的点表示盈利．
图1
图2
图3
例2 如图1是某公共汽车线路收支差额元与乘客量的图象．
(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为盈的建议，如图2、3所示．你能根据图象，说明这两种建议的意义吗？
(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？
(4)图、图、图中的票价分别是多少元？
解： (2)图的建议是降低成本，票价不变，
图的建议是提高票价．
(3)斜率表示票价．
(4)图、中的票价是元，
图中的票价是元．
与轴交点由变为
斜率不变
与轴交点不变
斜率变大
图1
图2
图3
斜率
特征
特征
例3 要建造一段的高速公路，工程队需要把人分成两组，一组完成一段的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的的硬土地带公路的建造任务．据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是人·天和人·天．问：如何安排两组的人数，才能使全队筑路工期最短？
分析：设在软土地带工作的人数为人，
则在硬土地带工作的人数为人，
在软土地带筑路时间为：，
在硬土土地带筑路时间为：，
取较大值得到关于
全队筑路时间的函数
最小值
例3 要建造一段的高速公路，工程队需要把人分成两组，一组完成一段的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的的硬土地带公路的建造任务．据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是人·天和人·天．问：如何安排两组的人数，才能使全队筑路工期最短？
解：设在软土地带工作的人数为人，则在硬土地带工作的人数为人．
根据题意，在软土地带筑路时间为，
在硬土地带筑路时间为，其中，．
因为函数在区间上是减函数，函数在区间上是增函数，
所以全队筑路工期为：
例3 要建造一段的高速公路，工程队需要把人分成两组，一组完成一段的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的的硬土地带公路的建造任务．据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是人·天和人·天．问：如何安排两组的人数，才能使全队筑路工期最短？
由，即，得．从而．
因为函数在区间上递减，在区间上递增，所以是函数的最小值点．但不是整数，于是计算和，其中较小者即为所求．
经计算，，．
于是，当安排人到软土地带工作，人到硬土地带工作时，可以使全队筑路工期最短．
例4 某公司每年需要某种计算机元件个，每次购买元件需手续费元，每个元件的库存费是每年元．若将这些元件一次购进，则可少花手续费，但即便不考虑资金占用，个元件的库存费也不少，若多次进货，则可减少库存费，但手续费要增加．现在需要确定：每年进货几次最经济（总费用最少）？
分析：首先要做一些假设：
每天需同样多的元件；
其他费用可以作为常数看待．
总费用
库存费
手续费
其他费用
例4 某公司每年需要某种计算机元件个，每次购买元件需手续费元，每个元件的库存费是每年元．若将这些元件一次购进，则可少花手续费，但即便不考虑资金占用，个元件的库存费也不少，若多次进货，则可减少库存费，但手续费要增加．现在需要确定：每年进货几次最经济（总费用最少）？
解：将个元件所需的总费用记为元，一年总库存费记为元，购买元件总手续费记为元，其他费用记为元（为常数），则．
若每年平均进货次（），则每次的进货量为个．
假设用完个元件的时间为年，在内，时刻的库存量为，
满足，，．
解得 ．
例4 某公司每年需要某种计算机元件个，每次购买元件需手续费元，每个元件的库存费是每年元．若将这些元件一次购进，则可少花手续费，但即便不考虑资金占用，个元件的库存费也不少，若多次进货，则可减少库存费，但手续费要增加．现在需要确定：每年进货几次最经济（总费用最少）？
如图，阴影部分的面积是第一个时间段内需支付库存费的库存量的总和，相当于在年内每一时刻需支付库存费的库存量均为个．
在年内，每个元件的库存费为元，
则个元件的库存费为(元)．
一年总库存费为：(元)．
例4 某公司每年需要某种计算机元件个，每次购买元件需手续费元，每个元件的库存费是每年元．若将这些元件一次购进，则可少花手续费，但即便不考虑资金占用，个元件的库存费也不少，若多次进货，则可减少库存费，但手续费要增加．现在需要确定：每年进货几次最经济（总费用最少）？
另外，元，所以．
由基本不等式，得．
当且仅当，即时，上面的不等式取等号，此时总费用最少，故每年进货次最经济．
存贮模型
1.判断：
(1)在建立实际问题的函数模型时，除了要考虑变量的数学意义，还要考虑变量的实际意义．( )
(2)由函数模型得到的解就是实际问题的解．( )
解： (1)正确；
(2)由函数模型得到的解，要回到实际问题中去，验证是否符合实际问题，然后才能确定实际问题的解；故错误．
×
√
2.某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往，他先前进了，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了，当他想起诗句“不到长城非好汉”时，便调转车头继续前进，则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为( )
C
A
B
C
D
解：由题意知，在前的路程中，是关于时间的一次函数，图象特征是直线上升．由于中间休息了一段时间，该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段．然后原路返回，图象下降，再调转车头继续前进，则直线一致上升．故选C．
解：由题意得窗框总长，
∴，∴．
由得，
当时，，
此时，
所以，当矩形的高等于半圆的半径时，窗户透光面积最大．
3. 要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户，如图所示，窗框为定长的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？
建立函数模型解决实际问题的基本思路：
实际问题
数学问题
实际问题的结论
数学问题的解
转化
确定函数模型
符合实际
问题解决