青岛版（六三制）数学八年级上册 5.6 几何证明举例 学案（3学时，无答案）

几何证明举例
【学习目标】
1．会证明等腰三角形的性质定理及判定定理，等边三角形的性质定理及判定定理。
2．掌握基本的证明方法，会通过分析的方法探索证明的思路，学会综合法证明的格式。
3．进一步体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，发展推理的能力。
4．会证明线段垂直平分线和角平分线的性质定理及其逆定理，理解并会运用上述定理，证明有关的命题。
5．掌握证明直角三角形的判定定理的证明及应用，会通过分析的方法探索证明的思路，学会综合法证明的格式。
【学习重难点】
1．等腰三角形、等边三角形性质定理与判定定理的证明及应用。
2．线段垂直平分线和角平分线的性质定理与其逆定理的证明及灵活应用。
3．直角三角形的判定方法的灵活应用，尺规作直角三角形的方法。
【学时安排】
3学时
【第一学时】
【学习过程】
一、导入激学
等腰三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________。
等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________。
二、导预疑学
1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（ ）
A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120°
2．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______。
三、导问互学
问题一：求证：等腰三角形的两个底角相等。
已知：如图，在△ABC中，AB=AC。
求证：∠B=∠C。
证明：
归纳结论等腰三角形三线合一性质： 。
问题二：求证：三个角都相等的三角形是等边三角形。
四、导根典学
如图，△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F作FG⊥BC于G点，并交AB于E点，试说明下列结论成立的理由：
（1）AD∥FG；
（2）△AEF是等腰三角形。
五、导标达学
1．三角形的一个外角平分线平行于三角形的一边，则这个三角形一定是 。
2．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（ ）
A．60° B．90°
C．120° D．150°
3．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④
4．如图（4），D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（ ）
A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形
C．直角三角形 D．不等边三角形
（4） （6）
5．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（ ）
A．2cm B．4cm C．8cm D．16cm
6．如图（6），E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准确的判断是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．不等边三角形 D．不能确定形状
7．如图（7），在等腰三角形ABC中，顶角∠A=36°。若BD平分∠ABC，则图中等腰三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知，如图（8），在△ABC中，OB和OC分别平分∠ABC和∠ACB，过O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E，若BD+CE=5，则线段DE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
（7） （8）
9．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE=CF，BD=CE。
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数。
10．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形。BE交AC于F，AD交CE于H，
①求证：△BCE≌△ACD；
②求证：CF=CH；
③判断△CFH的形状并说明理由。
六、导法慧学
1．证明等腰三角形的性质定理及判定定理，等边三角形的性质定理及判定定理。
2．通过分析的方法探索证明的思路，学会综合法证明的格式。
【第二学时】
【学习过程】
一、导入激学
如图，三条公路围成的一个三角形区域，要在这个区域中建一个加油站，使它到三条公路的距离都相等，加油站应建在什么位置？请用尺规作图，找出建造加油站的位置。
二、导预疑学
1．已知线段AB和它外一点P，若PA=PB，则点P在AB的____________________；若点P在AB的____________________，则PA=PB。
2．如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（ ），到△ABC的三边距离相等的点是（ ）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高的交点 D．三边中线的交点
3．一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
三、导问互学
问题一：如图1，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，△BCE的周长等于50，求BC的长。
问题二：如图，△ABC中，∠CAB=120 ，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，则∠EAF等于（ ）
A．40 B．50 C．60 D．80
四、导根典学
将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的度数为（ ）
A．60° B．75°
C．90° D．95°
五、导标达学
1．下列说法：①若直线PE是线段AB的垂直平分线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；④若EA=EB，则过点E的直线垂直平分线段AB，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ）
A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B+∠ADE=90°
3．如图：Rt△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，∠CAD：∠DAB=2：1，则∠B的度数为（ ）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
4．如图，△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，在以下结论中：①△ADE≌△ADF；②△BDE≌△CDF；③△ABD≌△ACD；④AE=AF；⑤BE=CF；⑥BD=CD，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，△ABC中，∠C=90 ，BD平分∠ABC交AC于D，DE是AB的垂直平分线，DE=BD，且DE=1.5cm，则AC等于（ ）
6．线段AB外有两点C，D（在AB同侧）使CA=CB，DA=DB，∠ADB=80°，∠CAD=10°，则∠ACB=（ ）
A．80° B．90° C．100° D．110°
7．如图，在△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于 cm。
8．如图，Rt△ABC中，∠C=90 ，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，BC=6，CD=3，AE=4，则DE=_______，AD=_______，△ABC的周长是_______。
9．若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
10．如图所示，在△ABC中，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线，求∠C的度数。
六、导法慧学
1．掌握基本的证明方法，会通过分析的方法探索证明的思路。
2．线段垂直平分线和角平分线的性质定理与其逆定理的证明及灵活应用。
【第三学时】
【学习过程】
一、导入激学
在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点（ ）
A．高 B．角平分线 C．中线 D．边的垂直平分线
二、导预疑学
1．直角三角形的判定方法：________________。
2．如图，在△ABC和△ABD中，∠C=∠D=90°，若利用“AAS”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件________或________；若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件________或________。
三、导问互学
问题一：
已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有几个（ ）
（1）AD平分∠EDF； （2）△EBD≌△FCD；
（3）BD=CD； （4）AD⊥BC；
（A）1个； （B）2个；
（C）3个； （D）4个。
问题二：
如图3，已知：AD＝BC，BE⊥AC，DF⊥AC，且BE＝DF。
求证：（1）△ABE≌△CDF。（2）AB∥CD。
四、导根典学
如图，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF。求证：AB=AC。
五、导标达学
1．下面说法不正确的是（ ）
A．有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
B．有两边对应相等的两个直角三角形全等
C．有两角对应相等的两个直角三角形全等
D．有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等
2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6cm，则△DEB的周长为___________cm。
3．△ABC中，∠C=90°，AD为角平分线，BC=32，BD∶DC=9∶7，则点D到AB的距离为（ ）
A．18cm B．16cm C．14cm D．12cm
4．如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
5．已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC，你能说明BE与DF相等吗？
6．如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC。
六、导法慧学
1．掌握证明直角三角形的判定定理的证明及应用。
2．会通过分析的方法探索证明的思路，学会综合法证明的格式。
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