1.2.1.1-1.2.1.2 必要条件与充分条件 课件（共30 张PPT） 2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第一册

(共30张PPT)
1.2.1.1-1.2.1.2 必要条件与充分条件
1.结合具体实例,理解必要条件、充分条件的意义,并能正确地判断必要条件、充分条件.
2.通过所学的性质定理,理解必要条件与性质定理的关系.
3.通过所学的判定定理,理解充分条件与判定定理的关系.
问题1　在初中，我们学习过命题，什么是命题？什么是真命题和假命题？你能举一些例子吗？并试着将你的例子改写成“若p，则q”的形式．
问题2　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（3）若x2－4x＋3＝0，则x＝1；
（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b．
真
真
假
假
思考1　关于命题（1）和命题（4），由条件p通过推理可以得到结论q，所以它们是真命题．
对于一般的“若p，则q”形式的命题，如果由p通过推理可以得到q，那么这个命题为真命题吗？
反过来，如果这个命题是真命题，那么由p通过推理一定可以得到q吗？
一般地，“若p，则q”为真命题，就是指由p通过推理可以得到q．这时，我们就说，由p可以推出q，记作 ．并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．
思考2　关于命题（2）和命题（3），由条件p通过推理不能得到结论q，所以它们是假命题．
对于一般的“若p，则q”形式的命题，如果由p通过推理不能得到q，那么这个命题为假命题吗？
反过来，如果这个命题是假命题，那么由p通过推理一定不能得到q吗？
一般地，如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q，记作p q．此时，我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．
“若p，则q”为真命题，即：p q
“若p，则q”为假命题，即：p　 q
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
“充分性”
◆足以保证
◆有之必成立，无之未必不成立
“必要性”
◆必不可少
◆有之未必成立，无之必不成立
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（3）若x2－4x＋3＝0，则x＝1；
（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b．
真
真
假
假
p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分条件，q是p的必要条件
p不是q的充分条件，q不是p的必要条件
p不是q的充分条件，q不是p的必要条件
问题3　下列“若p，则q”形式的命题中，p是否为q的充分条件？q是否为p的必要条件？为什么？
思考1　判断p是否为q的充分条件，q是否为p的必要条件的依据和方法是什么？
具体方法是：命题法：判断命题“若p，则q”的真假．
判断充分（必要）条件的依据是：充分条件和必要条件的定义．
思考2　对于命题（1）满足，那么若q不成立，p成立吗？请你解释．对于命题（4）呢？一般地，当时，那么若q不成立，p成立吗？你能据此说明为什么此时称q为p的必要条件？
p是q的充分条件，即p成立足够推出q成立；
q是p的必要条件，即如果q不成立，p一定不成立，所以q对于p成立而言是必要的．
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
（4）若x2＝1，则x＝1；
（5）若a＝b，则ac＝bc；
（6）若x，y为无理数，则xy为无理数．
思考1　判断p是q的充分条件的依据与方法分别是什么？
例1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
（2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
（3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
例1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）这是一条平行四边形的判定定理，p q，所以p是q的充分条件．
（2）这是一条相似三角形的判定定理，p q，所以p是q的充分条件．
（3）这是一条菱形的判定定理，p q，所以p是q的充分条件．
（4）由于（－1）2＝1，但－1≠1，p q，所以p不是q的充分条件．
（4）若x2＝1，则x＝1；
（5）若a＝b，则ac＝bc；
（6）若x，y为无理数，则xy为无理数．
例1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（5）由等式的性质知，p q，所以p是q的充分条件．
（6） 为无理数，但 为有理数，p q，所以p不是q的充分条件．
（4）若x2＝1，则x＝1；
由于（－1）2＝1，但－1≠1，p q，所以p不是q的充分条件．
除了用判断命题的真假判断充分条件之外，还可以用集合关系来判断充分条件．
对于命题“若p，则q”，
集合A＝{x|x满足条件p}，
集合B＝{x|x满足条件}，
若A B，则p是q的充分条件．
解：方程x2＝1的解集为{－1，1}，而{－1，1} {1}，
所以p不是q的充分条件．
集合法
例1　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
思考2　命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”．这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，请你再写出几个不同的充分条件．
①若四边形一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；
②若四边形两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形；
③若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；
④若四边形的两组对边分别平行，则这个四边形是平行四边形．
……
思考3　根据上述分析，你认为充分条件与判定定理之间有怎样的关系？
数学中的每个判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
平行四边形的判定定理
一、若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；
二、若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；
三、若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形．
p1，p2，p3均能推出q，故都是q的充分条件．
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
p1：四边形的两组对边分别相等 q：这个四边形是平行四边形
p2：四边形的一组对边平行且相等 q：这个四边形是平行四边形
p3：四边形的两条对角线互相平分 q：这个四边形是平行四边形
（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形是的两组对角分别相等；
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形垂直；
（4）若x＝1，则x2＝1；
（5）若ac＝bc，则a＝b；
（6）若xy为无理数，则x，y为无理数．
追问1　判断q是p的必要条件的依据与方法分别是什么？
例2　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的必要条件？
（1）若四边形为平行四边形，则这个四边形是的两组对角分别相等；
（2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
（3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形垂直；
例2　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的必要条件？
（1）这是平行四边形的一条性质定理，p q，所以q是p的必要条件．
（2）这是相似三角形的一条性质定理，p q，所以q是p的必要条件．
（3）对于筝形，对角线互相垂直，但它不是菱形，p q，所以q不是p的必要条件．
（4）若x＝1，则x2＝1；
（5）若ac＝bc，则a＝b；
（6）若xy为无理数，则x，y为无理数．
例2　下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的必要条件？
（4）显然，p q，所以q是p的必要条件．
（5）当c＝0，结论不成立，p q，所以q不是p的必要条件．
（6） 为无理数，但1， 不全是有理数，p q，所以q不是p的必要条件．
思考1　类比例1，你能用集合法解答（4）吗？
（4）若x＝1，则x2＝1；
而{1} {－1，1}，
所以q是p的必要条件．
解：方程x2＝1的解集为{－1，1}，
用集合关系来判断必要条件．对于命题“若p，则q”，集合A
＝{x|x满足条件p}，集合B＝{x|x满足条件q}，若A B，则q是p
的必要条件．
集合法
思考2　命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“四边形的两组对角分别相等”．这样的必要条件唯一吗？如果不唯一，请你再写出几个不同的必要条件．
①若四边形为平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；
②若四边形为平行四边形，则这个四边形两条对角线互相平分；
③若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；
④若四边形为平行四边形，则这个四边形两组对边分别平行．
……
思考3　根据上述分析，你认为必要条件与性质定理的关系如何？
数学中的每个性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
平行四边形的性质定理
一、若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；
二、若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；
三、若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分．
p能推出q1，q2，q3，故q1，q2，q3都是p的必要条件．
一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
p：四边形是平行四边形 q1：四边形的两组对边分别相等
p：四边形是平行四边形 q2：四边形的一组对边平行且相等
p：四边形是平行四边形 q3：四边形的两条对角线互相平分
例3　已知m＞0，p：－2≤x＜6，q：2－m＜x≤2＋m．
思考　对于（1），根据充分条件的定义，两个条件p与q对应的数集之间应该有怎样的关系？对于（2）呢？
解：因为p是q的充分条件，
应该在条件q对应的数集中，
所以{x|－2≤x＜6} {x|2－m＜x≤2＋m}，
从而将问题转化为已知集合关系求参数范围．
所以条件p对应的数集中的每个元素都
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
例3　已知m＞0，p：－2≤x＜6，q：2－m＜x≤2＋m．
（1）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（2）若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．
解：（1）因为p是q的充分条件，
解得m＞4；
所以
（2）因为p是q的必要条件，
解得0＜m＜4．
所以
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？哪些命题中的q是p的必要条件？
1
（1）若x＝1，则x2－4x＋3＝0；
（2）若x2≥0，则x≥0；
（3）若两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；
（4）若A∩B＝　，则集合A，B中至少有一个为空集．
p是q的充分条件，q是p的必要条件
p不是q的充分条件，q不是p的必要条件
p是q的充分条件，q是p的必要条件
p不是q的充分条件，q不是p的必要条件
（1）设x∈R，则x＞2的一个必要条件是（ ）
２
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3
（2）写出“x＜4”的一个充分条件： ．
x＜3（答案不唯一）
A
３
已知集合A＝{x∈R|－1＜x≤3}，B＝{x∈R|－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的一个充分条件是x∈A，求实数m的取值范围．
解：因为x∈A是x∈B的充分条件，
所以A B，则m＋1＞3，
解得m＞2．
根据以下问题，回顾本节课所学知识.
1.充分条件和必要条件的含义分别是什么？
2.对于“若p，则q”命题，判断p是否为q的充分条件或者必要条件的方法有哪些？
3.充分条件、必要条件与数学中的判定定理、性质定理有什么关系？
具体
实例
抽象
概念
充分条件：判定定理；
必要条件：性质定理
辨析
概念
判断方法：命题法、集合法
应用
概念
已知充分、必要条件求参数范围：转化为集合关系问题
“若p，则q”是真命题，即由p可以推出q，记作 ．此时p是q的充分条件，q是p的必要条件．
含义：p是q的充分条件，即p成立足够推出q成立；q是p的必要条件，即如果q不成立，p一定不成立，所以q对于p成立而言是必要的．
【学习过程】