1.2.1.3 充要条件 课件（共26张PPT） 2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第一册

(共26张PPT)
1.2.1.3 充要条件
1.结合具体实例，理解充要条件的意义,能够判断证明充要条件.
2.理解充要条件与数学定义之间的关系.
具体实例——抽象概念——辨析概念——应用概念．
什么是充
要条件
充要条件和数学中定义、公理、定理哪个有关
如何判断充要条件
问题1　类比“充分条件与必要条件”的研究过程，你能试着写出“充要条件”的研究过程吗？
（1）对于“若p，则q”形式的命题，什么是它的逆命题？
③若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac＜0；
④若A∪B是空集，则A与B均是空集．
②若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
（2）请分别写出下列命题的逆命题．
①若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
问题2　阅读教科书第20页右下角的边框内容，完成下列问题：
“若p，则q”的逆命题为“若q，则p”，而且它们是互逆的．
（2）请分别写出下列命题的逆命题．
①若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等；
（1）对于“若p，则q”形式的命题，什么是它的逆命题？
问题2　阅读教科书第20页右下角的边框内容，完成下列问题：
（2）请分别写出下列命题的逆命题．
②若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
③若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac＜0；
若ac＜0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；
④若A∪B是空集，则A与B均是空集．
若A与B均是空集，则A∪B是空集．
问题2　阅读教科书第20页右下角的边框内容，完成下列问题：
（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
（3）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根，则ac＜0；
（4）若A∪B是空集，则A与B均是空集．
原命题为真，逆命题为真；
原命题为真，逆命题为假；
原命题为假，逆命题为真；
原命题为真，逆命题为真．
问题3　对于下列“若p，则q”形式的命题，请判断它们及它们逆命题的真假．
追问1　根据以上命题及其逆命题的真假，那么p是否为q的充分条件或必要条件？为什么？
（1）原命题为真，所以p是q的充分条件；逆命题为真，所以p是q的必要条件；
（2）原命题为真，所以p是q的充分条件；逆命题为假，所以p不是q的必要条件；
（3）原命题为假，所以p不是q的充分条件；逆命题为真，所以p是q的必要条件；
（4）原命题为真，所以p是q的充分条件；逆命题为真，所以p是q的必要条件．
追问2　阅读教科书第20页最后一段到第21页第一段完，你能说说什么是充要条件吗？
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，则记作p q．
此时p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们说p是q充分必要条件，简称为充要条件．
问题4　根据定义，上述四个命题中，哪些p是q的充要条件？类比“充分必要条件”的名称，其余的命题中，你认为p应该称为q的什么条件？你认为如何判断p是q的什么条件？
命题（1）（4）中的p是q充要条件．
对于命题（2），p是q的充分条件，p不是q的必要条件，称p是q的充分不必要条件；
对于命题（3），p不是q的充分条件，p是q的必要条件，称p是q的必要不充分条件．
新知探究
如果p不是q的充分条件，也不是q的必要条件，称p是q的既不充分又不必要条件．
问题4　根据定义，上述四个命题中，哪些p是q的充要条件？类比“充分必要条件”的名称，其余的命题中，你认为p应该称为q的什么条件？你认为如何判断p是q的什么条件？
判断方法：命题法
充分不必要条件：“若p，则q”为真命题，且“若q，则p”为假；
必要不充分条件：“若p，则q”为假命题，且“若q，则p”为真；
即不充分又不必要条件：“若p，则q”为假命题，且“若q，则p”为假命题．
充要条件：“若p，则q”为真命题，且“若q，则p”为真命题；
（1）p：两个三角形全等，q：两个三角形三边成比例；
（2）p：四边形是平行四边形，q：四边形的对角线互相平分；
（3）p：xy＞0，q：x＞0，y＞0；
（4）p：x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，q：a＋b＋c＝0（a≠0）．
追问1　判断p是q的什么条件的依据与方法是什么？（答案略）
例1　下列各题中，p是q的什么条件？（请用“充要条件”“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分又不必要条件”回答）并写出理由．
追问2　例1（2）中给出了“四边形是平行四边形”的一个充要条件，即“四边形的对角线互相平分”，你还能写出不同的充要条件吗？
①四边形一组对边平行且相等；
②四边形两条对角线互相平分；
③四边形的两组对边分别相等；
④四边形的两组对边分别平行；
……
追问3　这些充要条件从不同角度刻画了“平行四边形”这个概念，据此我们可以给出平行四边形的不同定义．例如：“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”、“对角线互相平分的四边形是平行四边形”等等．再回忆你学过的其他数学定义，你发现充要条件和数学定义之间有什么关系？
数学定义和充要条件的关系：数学定义给出了数学对象成立的充要条件，它是从充分性和必要性两个方面刻画数学对象的，它既是这个数学对象的判定定理又是性质定理．
追问　依据充要条件定义，证明“d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件”，应该证明哪些命题为真命题？并尝试给出证明思路．
例2　已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
需要证明的命题以及证明思路：
（1）若d＝r，则直线l与⊙O相切；
思路：要证“直线l与⊙O相切” “直线l与⊙O有且只有一个公共点”
“先根据条件“d＝r”证明“有公共点”，然后再证明“只有一个公共点”．
例2　已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
需要证明的命题以及证明思路：
（2）若直线l与⊙O相切，则d＝r．
思路：由“直线l与⊙O相切” “直线l与⊙O有且只有一个公共点P” “OP⊥l，OP＝r” “d＝r”．
例2　已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
证明：（1）如图，作OP⊥l于点P，
则OP＝d．若d＝r，
则点P在⊙O上，在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ．
在Rt△OPQ中，OQ＞OP＝r．
所以，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部，
即直线l与⊙O仅有一个公共点P．
所以直线l与⊙O相切．
例2　已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
证明：（2）若直线l与⊙O相切，
不防设切点为P，则OP⊥l．
由（1）（2）得，d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
因此d＝OP＝r．
例2　已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
证明命题（1）成立，
这一步称为“充分性”；
证明命题（2）成立，
即说明d＝r是直线l与⊙O相切的必要条件，
即说明d＝r是直线l与⊙O相切的充分条件，
这一步称为“必要性”．
例2　已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
1．设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 　　 D．既不充分也不必要条件
2．已知集合A，B，则“A∩B＝B”的一个充分不必要条件是 （ ）
A．A＝　 B．A B C．B A D．A＝B
D
D
3．求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜ ．
目标检测
q：0＜m＜ ．
（1）必要性（p q）：
若方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根，
设其两根为x1，x2，
则
解得0＜m＜ ．
证明：设p：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根；
3．求证：方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m＜ ．
目标检测
若0＜m＜ ，则Δ＝4－12m＞0，
所以一元二次方程mx2－2x＋3＝0有两个不相等的实根．
则方程mx2－2x＋3＝0有两个同号且不相等的实根．
又因为0＜m＜ ，所以x1x2＝ ＞0，
（2）充分性（q p）：
根据以下问题，回顾本节课所学知识.
1.充要条件的含义是什么？？
2.对于“若p，则q”命题，判断p是q的什么条件的方法是什么？
3.充要条件与数学定义有什么关系？
具体
实例
抽象
概念
充要条件：
数学定义
辨析
概念
判断方法：命题法
应用
概念
证明充要条件：需要分充分性和必要性两步证明
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，记作 ．此时p是q的充要条件．
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