1.2.2.1 全称量词命题与存在量词命题 课件 （共29 张PPT）2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第一册

(共29张PPT)
1.2.2.1 全称量词命题与存在量词命题
1.了解命题的有关概念，能判断一个语句是否是命题.
2.理解全称量词、存在量词、全称量词命题、存在量词命题的概念及表示方法.（重点）
3.掌握判断全称量词命题、存在量词命题真假性的方法.（难点）
具体实例
定义
什么是全称量词和存在量词
表示
如何表示
应用
如何正确地对含有一个量词的命题进行否定
辨析
如何判断含有一个量词的命题的真假
问题1　本小节将要研究哪些内容？请你罗列出来，如果让你来设计本节内容及其研究思路，你将会如何展开？
新课导入
（1）x＞3；
（2）2x＋1是整数．
（1）（2）都不是命题，因为在这两个语句中，不知道变量x代表什么数，无法判断真假，所以它们不是命题．
问题2　下列语句是命题吗？为什么？
（1）x＞3；
（2）2x＋1是整数；
（3）对所有的x∈R，x＞3；
（4）对任意一个x∈Z，2x＋1是整数．
问题3　语句（3）（4）是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？
√　
√　
（3）在（1）的基础上增加了短语“所有的”对变量x进行限定；
（4）在（2）的基础上增加了短语“任意一个”对变量x进行限定，
从而使（3）（4）成为可以判断真假的陈述句，所以（3）（4）是命题．
用一个短语对变量的取值范围进行限定，可以使类似“x＞3”“2x＋1是整数”的开语句成为一个命题，我们把这样的短语称为量词．
短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．
通常，将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），…，表示，变量x的取值范围用M表示．那么，全称量词命题“对M中任意一个x，p（x）成立”可用符号简记为： x∈M，p（x）．
新知探究
常见的全称量词：
“每一个”“任意”“所有”“一切”“任给”等．
全称量词的含义：
在指定范围内，表示整体或者全部的含义．
新知探究
问题4　你还能说出哪些全称量词？全称量词的含义是什么？并试着举出几个全称量词命题．
全称量词命题举例：
（1）对任意的x∈R，x2＋1＞0；
（2）对任意一个无理数x，x2也是无理数；
（3）所有的一元二次方程都有实根；
……
追问　全称量词命题可以简记为“ x∈M，p（x）”．对应下面的命题，“M”，“p（x）”分别指的是什么？
（1）“M”指的是R，“p（x）”指的是“x2＋1＞0”；
（2）“M”指的是“所有无理数”，“p（x）”指的是“x2也是无理数”；
（3）“M”指的是“所有一元二次方程”，“p（x）”指的是“方程都有实根”；
（1）对任意的x∈R，x2＋1＞0；
（2）对任意一个无理数x，x2也是无理数；
（3）所有的一元二次方程都有实根；
（1）对任意的x∈R，x2＋1＞0；
（2）对任意一个无理数x，x2也是无理数；
（3）所有的一元二次方程都有实根；
（1）是真命题；
对于 x∈R，总有x2＋1≥1＞0．所以，全称量词命题
“对任意的x∈R，x2＋1＞0”为真命题；
新知探究
问题5　请判断上述全称命题的真假，并说明理由．
（2）是假命题；
因为 是无理数， 是有理数．所以，全称量词命题“对任意一个无理数x，x2也是无理数”是假命题；
（2）对任意一个无理数x，x2也是无理数；
（3）所有的一元二次方程都有实根；
问题5　请判断上述全称命题的真假，并说明理由．
（3）是假命题；
一元二次方程x2＋x＋1＝0没有实根．所以，全称量词命题“所有的一元二次方程都有实根”是假命题．
（3）所有的一元二次方程都有实根；
问题5　请判断上述全称命题的真假，并说明理由．
追问　对给定的全称量词命题，如何判断它的真假？
如果对集合M中的每一个x，p（x）都成立，那么“ x∈M，p（x）”为真命题；
如果在集合M中存在一个x0，使得p（x0）不成立，那么“ x∈M，p（x）”为假命题．
新知探究
（1）2x＋1＝3；
（2）x能被2和3整除；
（3）存在一个x∈R，使2x＋1＝3；
（4）至少有一个x∈Z，x能被2和3整除．
（3）在（1）的基础上增加了短语“存在一个”对变量x进行限定；
不是
不是
是
是
（4）在（2）的基础上增加了短语“至少有一个”对变量x进行限定，
从而使（3）（4）成为可以判断真假的陈述句，
所以（3）（4）是命题．
新知探究
问题6　下列语句是命题吗？比较（1）和（3），（2）和（4），它们之间有什么关系？
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．
类比全称量词命题的符号表示，存在量词命题“存在M中的元素x，p（x）成立”可用符号简记为 x∈M，p（x）．
新知探究
常见的存在量词：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等．
存在量词的含义：在指定范围内，表示个别或一部分的含义．
新知探究
问题7　你还能说出哪些存在量词？存在量词的含义是什么？并试着举出几个存在量词命题．
存在量词命题举例：
（1）有一个实数 ，使x2＋1＝0；
（2）存在一个无理数x，x2也是无理数；
（3）有些平行四边形是菱形；
新知探究
（1）有一个实数x，使x2＋1＝0；
（2）存在一个无理数x，x2也是无理数；
（3）有些平行四边形是菱形；
（1）是假命题；
对于 x∈R，总有x2＋1＞0，即不存在x∈R，使得x2＋1＝0．
所以，存在量词命题“有一个实数x，使x2＋1＝0”为假命题；
问题8　你能判断这些存在命题的真假吗？说明理由，并类比全称量词命题总结出存在量词命题真假的判断方法．
（2）存在一个无理数x，x2也是无理数；
（3）有些平行四边形是菱形；
（2）是真命题；
所以，存在量词命题“存在一个无理数x，x2也是无理数”是真命题；
因为 ＋1是无理数，（ ＋1）2＝3＋ 是无理数．
新知探究
问题8　你能判断上述存在命题的真假吗？说明理由，并类比全称量词命题总结出存在量词命题真假的判断方法．
（3）有些平行四边形是菱形；
（3）是真命题；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
所以，存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题．
新知探究
问题8　你能判断上述存在命题的真假吗？说明理由，并类比全称量词命题总结出存在量词命题真假的判断方法．
如果在集合M中存在一个x0，使得p（x0）成立，那么“ x∈M，p（x）”为真命题；
如果对集合M中每一个x，p（x）都不成立，那么“ x∈M，p（x）”为假命题．
新知探究
判断方法：
1．下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题．用符号“ ”或“ ”表示下面的命题，并判断其真假．
（1）对所有的实数a，b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；
（2）所有的矩形都是平行四边形；
（3）至少有一个偶数是素数；
（4）存在x∈R，使x2＋1＜0．
1．下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题．用符号“ ”或“ ”表示下面的命题，并判断其真假．
目标检测
（1）对所有的实数a，b，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；
全称量词命题；
a，b∈R，关于x的方程ax＋b＝0恰有唯一解；
假命题；
因为当a＝0，b≠0时，方程无解，
所以其为假命题；
目标检测
（2）所有的矩形都是平行四边形；
全称量词命题；
的矩形都是平行四边形；
真命题；
根据矩形的定义可知其为真命题；
1．下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题．用符号“ ”或“ ”表示下面的命题，并判断其真假．
目标检测
（3）至少有一个偶数是素数；
存在量词命题；
x是偶数，x是素数；
真命题；
所以“至少有一个偶数是素数”是真命题；
2是偶数，2也是素数，
1．下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题．用符号“ ”或“ ”表示下面的命题，并判断其真假．
（4）存在x∈R，使x2＋1＜0．
（4）存在量词命题；
x∈R，使x2＋1＜0；
假命题；
因为“ x∈R，x2＋1＞0”，
所以为假命题．
1．下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题．用符号“ ”或“ ”表示下面的命题，并判断其真假．
2．（1）将语句“x＋y∈Z（整数集）”修改成全称量词命题，并使得该命题为真命题．
（2）将语句“a能被2整除”修改成存在量词命题，并使得该命题为假命题．
（1）对于 x，y∈Z，x＋y∈Z；
（2） 奇数 ，a能被2整除．
回顾本节课所学知识，并用列表形式进行表示.
全称量词 存在量词
含义
举例
对应的命题
表示
判断
在指定范围内，表示整体或者全部．
在指定范围内，表示个别或一部分．
“所有的”、“每一个”、“任何一个”、“一切”等
“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有的”等
全称量词命题
存在量词命题
对M中任意一个x，p(x)成立
存在M中元素x，p(x)成立
x∈M，p(x)
x∈M，p(x)
如果对集合M中的每一个x，p(x)都成立，那么“ x∈M，p(x) ”为真命题
如果在集合M中存在一个x0，使得p(x0)成立，那么“ x∈M，p(x) ”为真命题
如果在集合M中存在一个x0，使得p(x0)不成立，那么“ x∈M，p(x) ”为假命题
如果对集合M中每一个x，p（x）都不成立，那么“ x∈M，p(x) ”为假命题