2.2.2 函数的表示法 课件（共23张PPT） 2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第一册

(共23张PPT)
2.2.2 函数的表示法
1. 通过实例理解函数的三种表示方法及其特点.
2. 理解分段函数的意义，并能简单应用.
3. 能根据函数解析式画出对应的函数图象.
问题1　你还初得记中所学的函数的概念吗？并举例说明已经学过的函数．
我们已经接触过的函数的三种表示法：解析法、列表法和图象法．
将变量的函数关系用代数式表示，是函数表示方法的解析法；
用表格给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的列表法；
用图形给出变量之间的函数对应关系，是函数表示方法的图象法．
复习回顾　
上图分别是用列表法、图象法表示的列车时刻表和成绩变化图．
根据绝对值的定义，分类讨论；
当x＜0时，f（x）＝｜x｜＝－x；
当x≥0时，f（x）＝｜x｜＝x．
探究：画出函数f（x）＝｜x｜的图象．
1
x
y
-1
O
1
思考1： f（x）＝｜x｜不属于之前学过的任何一类函数，
你能将解析式变形，化为不含绝对值的形式吗？
思考2：如何画f（x）＝｜x｜的图象？
f（x）＝｜x｜的图象就是这两部分图象的组合．
在同一直角坐标系中分别画出y＝－x，x＜0和y＝x，x≥0；
其图象为第一、二象限的角平分线，如图所示．
f（x）＝｜x｜＝；
思考3：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．那么判断一个图形是否为函数图象的依据是什么？
任意垂直x轴的直线与图象至多有一个交点．
分段函数的特点：在它的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，对应关系不同．
像f（x）＝，这样的函数称为分段函数．
1
x
y
-1
O
1
讨论：你能举出生活中可以用分段函数描述的实际问题吗？
如出租车的计费、天然气的计费、银行的利率等．
试一试　设x是任一实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[－3.14]＝－4、[－1]＝－1、[3.14]＝3、[0.14]＝0等，我们把函数y＝[x]叫作取整函数（高斯函数）；试画出取整函数y＝[x]的局部图象．
根据题意，函数y＝[x]的定义域为R，值域为Z；
函数的解析式为y＝[x]＝；
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
O
x
y
-2
-3
-4
-5
-1
函数的图象如右图所示：
对比发现：比较函数的三种表示法，它们各自的特点是什么？
函数表示方法 优点 缺点
解析法
列表法
图像法
①简明、全面地概括了变量间的关系
②通过解析式可以求出任意一个自变量所
对应的函数值
不够直观形象
不需要计算就可以直接看出与自变量相对
应的函数值
只适用于自变量数目少的函数
直观形象反映变化趋势
不精确
思考：所有函数都能用解析法表示吗？列表法与图象法呢？请你举出实例加以说明．
不是所有的函数都能用这三种方法表示，有的函数只能采取某一种表示法；
比如心电图，不能用解析法和列表法表示；
再比如课本第54页给出的狄利克雷函数，不能用图象法表示．
1.下列图象中不能表示函数的图象的是（　　）
D
A．
B．
C．
D．
x
x
x
x
y
y
y
y
练一练
2.给定函数f（x）＝x＋1，g（x）＝（x＋1）2，x∈R．
（1）在同一直角坐标系中分别画出函数f（x）与g（x）的图象；
（2） x∈R，用M（x）表示f（x）与g（x）中的较大者，记为M（x）＝max｛f（x），g（x）｝．
例如，当x＝2时，M（2）＝max｛f（2），g（2）｝＝max｛3，9｝＝9．
请分别用图象法和解析法表示函数M（x）．
解答：（1）在同一直角坐标系中画出函数f（x）与g（x）的图象（图1）；
图1
2.给定函数f（x）＝x＋1，g（x）＝（x＋1）2，x∈R．
（2） x∈R，用M（x）表示f（x）与g（x）中的较大者，记为M（x）＝max｛f（x），g（x）｝．
例如，当x＝2时，M（2）＝max｛f（2），g（2）｝＝max｛3，9｝＝9．
请分别用图象法和解析法表示函数M（x）．
（2）由图1中函数取值的情况，结合函数M（x）的定义，可得函数M（x）的图象（图2），
图2
由（x＋1）2＝x＋1，得x（x＋1）＝0，解得x＝－1或x＝0，
图2
结合图2，得出函数M（x）的解析式为
M（x）＝．
2.给定函数f（x）＝x＋1，g（x）＝（x＋1）2，x∈R．
（2） x∈R，用M（x）表示f（x）与g（x）中的较大者，记为M（x）＝max｛f（x），g（x）｝．
例如，当x＝2时，M（2）＝max｛f（2），g（2）｝＝max｛3，9｝＝9．
请分别用图象法和解析法表示函数M（x）．
追问1：如图，你能说说f（x）＞g（x）对应图象上有什么特征吗？
当自变量x的取值相同时，函数f（x）对应的点
比函数g（x）对应的点高．
追问2：你能从图象上观察并得出M（x）的取值情况吗？
当x＜－1时，g（x）＝（x＋1）2的图象位于f（x）＝x＋1的上方，
g（x）＝（x＋1）2为较大者，此时M（x）＝（x＋1）2；
当－1＜x＜0时，f（x）＝x＋1的图象位于g（x）＝（x＋1）2的上方，
f（x）＝x＋1为较大者，此时M（x）＝x＋1；
当x＞0时，g（x）＝（x＋1）2的图象位于f（x）＝x＋1的上方，
g（x）＝（x＋1）2为较大者，此时M（x）＝（x＋1）2；
当x＝ 1或x＝0时，g（x）＝（x＋1）2与f（x）＝x＋1的图象相交，
f（x）与g（x）相等，此时M（x）＝f（x）＝g（x）．
追问3：你能用代数方法求出M（x）的表达式吗？
令f（x）＞g（x），即x＋1＞（x＋1）2，
令g（x）＞f（x），即（x＋1）2＞x＋1，
令f（x）＝g（x），即x＋1＝（x＋1）2，
解得 1＜x＜0；
解得x＜ 1或x＞0；
解得x＝ 1或x＝0．
综上可得：M（x）＝．
A．16
B．18
所以f（5）＝f（10）＝f（15）＝15＋3＝18．
1.设f（x）＝，则f（5）的值为（　　）
C．21
D．24
B
解析：因为f（x）＝，
练一练
A．｛－2｝
B．
2.已知函数f（x）＝，若f（x0）＝5，则x0的取值集合是（　　）
C．｛－2，2｝
D．
A
与x0＞0相矛盾，故舍去；
解得x0＝－2，x0＝2 （舍去）；
若x0＞0，可得－2x0＝5，可得x0＝ 　 ，
综上可得：x0＝－2．
解析：若x0≤0，可得＋1＝5，
练一练
1.把直截面半径为25 cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x（单位：cm），面积为y（单位：cm2），把y表示为x的函数．
解答： y＝，x∈（0，50）．
2.画出函数y＝｜x 2｜的图象．
解答：图象如图．
（1）在同一直角坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象；
（2） x∈R，用m（x）表示f（x）与g（x）中的较小者，记为m（x）＝min｛f（x），g（x）｝，请分别用图象法和解析法表示函数m（x）．
3.给定函数f（x）＝ x＋1，g（x）＝（x 1）2，x∈R．
解答：（1）函数f（x）与g（x）的图象如图1，
图1
图2
（2）由图1得出函数m（x）的图象如图2，
由图2得到函数m（x）的解析式
m（x）＝．
（1）函数常用的表示法有哪些？它们各自的特点是什么？
（2）结合本节课的学习，你对如何学习函数又有什么体会？
根据下列问题，回顾本节课所学知识：
（1）解析法、表格法和图象法，
其中解析式是精确的，图象是直观的，表格是直接的．
（2）解析式、表格、图象是对应关系f的不同的表现形式，但实质相同，
为了更好地分析和解决问题，有时需要进行不同表示法的转化和综合使用．