2.3 课时1 函数的单调性 课件 （共22张PPT）2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第一册

(共22张PPT)
2.3 课时1 函数的单调性
1. 通过具体实例，理解函数单调性、最值等概念.
2. 能借助函数图象判断函数的单调性.
3.能利用函数单调性解决简单问题.
情境1：观察2015年-2022年我国出生人口数量及出生率变化情况图，说说人口数量及出生率变化的走势.
新课导入：
情境2：观察2011年-2023年我国钢材进出口数量变化图，说说我国进出口数量变化趋势.
讨论：观察右图中的函数图象，分析当自变量x变化时，函数值是怎样随之而变的.
对于区间[-6，-5]，[-2，1]，[3，4.5]，[7，8]，图象是上升的，每个区间上的函数值都随值的增大而增大。
对于区间[-5，-2]，[1，3]，[4.5，7]，[8，9]，图象是下降的，每个区间上的函数值都随值的增大而减小。
当x=1时，函数的图象位于最高点；
当x=3时，函数的图象位于最低点。
如图，可以发现函数的图象在轴右侧的部分是上升的.
设∈ [0，+ ∞),当时，。
思考：怎样用数学的符号语言表达函数值在区间[0，+ ∞)上随值的增大而增大呢？
函数的单调性
1.一般地，设函数定义域为，如果对于任意的，当时,都有 ，称函数在区间上是 ，特别地，当是定义域上的时，也称函数在区间上 。
增函数
单调递增
单调递减
减函数
2.函数单调性与单调区间
如果函数在区间上单调递增或单调递减 ，那么就称函数在区间上具有单调性，区间为函数的单调区间。
3.若存在实数，对所有的，都有 ，且存在，使得，则称M为函数的最大值。
同样地，可以定义函数的最小值。
函数的最大值和最小值统称为最值。
思考1：在增函数和减函数定义中，能否把“”改为“”？
例如：对于函数
，不能推出是减函数。
思考2：描述函数单调性的两种句式：“函数在区间上单调递增”与“函数的单调递增区间为”两种叙述的含义是否相同？
例如：①已知函数的单调递增区间为，
函数的对称轴为，求的取值范围。
例如： ②已知函数在区间上单调递增，
函数的对称轴为，求的取值范围。
思考2：描述函数单调性的两种句式：“函数在区间上单调递增”与“函数的单调递增区间为”两种叙述的含义是否相同？
思考3：函数在其定义域上是减函数吗？
函数的定义域为，
由函数图象可知，
函数在是单调递减的，在也是单调递减，
但函数在其定义域内不是单调递减的，
不能说成“函数在定义域内递减”或“函数的单调递减
区间是”，
只能说“函数在区间和区间上都是递减的”。
函数单调性应用的易错点：
函数在区间和区间上的分别为增函数(或减函数)，并不能说明函数在区间上也为增函数(或减函数)。
注 意
例1 正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)如果f(-1)(2)如果f(x)为R上的单调递减,那么f(0)>f(1).( )
(3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)内都单调递增,则函数f(x)在区间(1,3)内单调递增.( )
×
×
√
AB
单调性定义中的有以下3个特征：
(1)任意性，即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般;
(2)有大小，通常规定;
(3)在整个区间内任取。
注意：
例3 设，画出函数的图象，并通过图象直观判断它的单调性。
解：依题意知函数，
其图象是函数的图象向左平移
3个单位得到，如图，该函数在区间
上单调递减。
例4 根据函数图象直观判断的单调性，并求出最小值。
解：依题意函数，
画出该函数的图象，
如图，函数在区间上是减函数，
在区间上是增函数，
当时，取得最小值，最小值为0。
1.若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 ；
2.已知函数是上的增函数，且，则实数的取值范围为 ．
重点：
函数单调性的概念、函数单调性的判断.
方法：
1.通过函数图象，可以直观、定性地进行初步判断函数的单调性;
2.数形结合.
本节课你学到了哪些知识？