3.3 指数函数 课件 （共22 张PPT）2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第一册

(共22张PPT)
3.3 指数函数
1.理解指数函数的概念和意义，会研究指数函数的解析式.
2.掌握指数函数的性质，利用指数函数的图象和性质比较大小、解简单的指数不等式和方程.
当有机体生存时，会因呼吸、进食等不断地从外界摄入碳14，最终体内碳14与碳12的比值会达到与环境一致(该比值基本不变)，当有机体死亡后，碳14的摄入停止，之后体中碳14因衰变会逐渐减少，通过测定碳14与碳12的比值就可以测定该生物的死亡年代.
已知碳14的半衰期(消耗一半所花费的时间)为5 730年，你能用函数表示有机体内的碳14与其死亡时间之间的关系吗
【问题情境】2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是全面打赢脱贫攻坚战的收官之年.11月23日，国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘帽.，两个贫困县，依靠旅游业成功实现了脱贫攻坚，随着旅游人数的不断增加，，两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，地提高了景区门票价格，而地则取消了景区门票.为了有利于观察规律，根据图表，分别画出，两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象：
地每年游客人数部分数据如下：
年份 2001 2002 2003 2004 2005
人数 290 320 350 388 426
1.指数函数的概念
【问题1】下面比较15年间两地景区游客人次及逐年增加量的数据，你能有什么发现
【答案】可以发现，地景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等；地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律.
【问题2】我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的.能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢 请你试一试.
【答案】从2002年起，将地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到一个近似的常数1.11.
显然，从2001年开始，地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：
1年后，游客人次是2001年的1.111倍；2年后，游客人次是2001年的1.112倍；
3年后，游客人次是2001年的1.113倍；
……
年后，游客人次是2001年的倍.
如果设经过年后的游客人次为2001年的倍，那么([0，+∞)).
【问题3】([0，+∞))是函数吗
【答案】这是一个函数.
一般地，函数(，且)叫作指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是R.
归纳
【例1】有下列函数：
①；②；③；④；⑤.
其中，指数函数的个数是(　　).
A.1 B.2 C.3 D.0
【方法指导】根据指数函数的定义判断.
【解析】①中底数-8<0，所以不是指数函数；②中指数不是自变量，所以不是指数函数；③中底数，只有规定且时，才是指数函数；⑤中前的系数是2，而不是1，所以不是指数函数.综上只有④是指数函数，故选A.
A
【方法小结】记清指数函数概念的几个要点：
(1)底数，且.
(2)的系数为1.
(3)中“是常数”，指数仅为.
【针对训练】下列各函数中，是指数函数的是(　　).
A. B. C. D.
【解析】由指数函数的定义可知A，B，C都不是指数函数，故选D.
D
【问题1】试作出函数(R)和(R)的图象.
【答案】如图所示.
【问题2】两个函数图象有无交点
【答案】有交点，其坐标为(0，1).
【问题3】两个函数的定义域是什么 值域是什么 单调性如何
【答案】定义域都是R；值域都是(0，+∞)；函数是R上的增函数，
函数是R上的减函数.
【问题情境】已知函数(R)和(R).
2.指数函数的图象与性质
指数函数的图象和性质

图象
性质 定义域 R
值域 (0，+∞)
过定点 过点(0，1)　，即时，
单调性 是R上的增函数 是R上的减函数
特别提醒：(1)当底数的大小不确定时，必须分和两种情况讨论函数的图象和性质.
(2)当时，的值越小，函数的图象越接近轴；当时，的值越大，函数的图象越接近轴.
(3)指数函数的图象都经过点(0，1)，且图象都在第一、二象限.
【例2】求下列函数的定义域：
(1)； (2).
【方法指导】(1)根据偶次根式被开方数非负以及指数函数的单调性可解得原函数的定义域；
(2)根据偶次根式被开方数非负、分母不为零以及指数函数的单调性可解得原函数的定义域.
【解析】(1)由题意可得，即，又指数函数单调递增，得.
所以函数的定义域为[0，+∞).
(2)由题意，得得
又指数函数单调递减，所以且.
所以函数的定义域为(-∞，-3)∪(-3，-2].
【方法小结】函数的定义域与值域的求法：
(1)形如的函数的定义域就是的定义域.
(2)形如的值域，应先求出的值域，再由函数的单调性求出的值域.若的取值范围不确定，则需对进行分类讨论.
形如的值域，要先求出的值域，再结合确定出的值域.
【针对训练】求下列函数的定义域与值域：
(1)； (2)； (3).
【解析】(1)因为，所以，故定义域为.
设，因为，所以.
因为，，所以且，故值域为且.
(2)函数 ，R，所以定义域为R.
设，因为，，所以，故值域为.
(3)因为，所以，解得，故定义域为.
因为，所以，即，故值域为.
【例3】比较下列各组数的大小：
(1)和； (2)和；
(3)和； (4)与(且).
【解析】(1)，可看作函数的两个函数值，因为底数，
所以函数在R上是增函数.因为2.5<3.2，所以.
(2)，可看作函数的两个函数值，
因为函数在R上是减函数，且-1.2>-1.5，所以.
(3)由指数函数性质得，，，
所以.
(4)当时，在R上是增函数，故；
当时，在R上是减函数，故.
探究：利用指数函数的单调性比较幂的大小
【探究小结】比较幂的大小的方法
(1)同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较.
(2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当取相同幂指数时可观察出函数值的大小.
(3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同和另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较.
(4)当底数含参数时，要按底数和两种情况分类讨论.
【针对训练】比较下列各值的大小：，，，.
【解析】先根据幂的特征，将这4个数分类：
(1)负数：；(2)大于1的数：，；(3)大于0且小于1的数：.
在(2)中，(也可在同一平面直角坐标系中，
分别作出，的图象，再分别取，，
比较对应函数值的大小，如图)，
故有.
1.下列一定是指数函数的是(　　).
A. B.(且)
C. D.
【解析】根据指数函数的定义，结合选项从而可判断选项C正确.
C
2.下列判断正确的是(　　).
A. B.
C. D.
【解析】∵在定义域上是减函数，0.3<0.5，∴.
D
3.若函数(，且)恒过一个定点，则该定点的坐标为　　　　.
【解析】令得，.所以，所以函数恒过定点(4，5).
(4，5)
4.求下列函数的定义域和值域：
(1)； (2).
【解析】(1)的定义域为R，值域为(0，+∞).
(2)的定义域为[0，+∞)；由知，故的值域为[1，+∞).
1.指数函数的概念
2.指数函数的图象和性质：
3.指数式比较大小的方法：
构造函数法：底数不同指数相同利用幂函数的图像和性质，
底数相同指数不同利用指数函数的图像和性质，
底数不同指数不同利用中间值.
4.利用指数函数性质解不等式、解方程.