2.1.1 倾斜角与斜率 课件（共21张PPT）2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共21张PPT)
2.1.1 直线的倾斜角与斜率
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率公式；
2.熟练使用斜率公式求直线斜率，并能根据倾斜角得到斜率；
3.能根据斜率值判断倾斜角的范围.
问题1：确定一条直线的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线l,如何利用坐标系确定它的位置？
1.过一点能不能确定一条直线
2.方向相同能不能确定一条直线
.
y
x
o
y
x
o
l
x
y
O
A
B
l1
x
y
O
α1
α2
α3
两点确定一条直线
一个点和一个方向
在直角坐标系下，设，为直线上两点，则就是这条直线的方向向量。所以，两点确定一条直线也可以归结为一点和一个方向向量确定一条直线。
x
y
O
l
在平面直角坐标系中，我们规定水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向。直线方向不同，相对于x轴的倾斜程度不同。
直线方向不同
直线的倾斜程度不同
直线的倾斜角不同
表示 “形”
追问1：怎么描述倾斜程度的不同？
l
直线与轴相交时,取轴为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角，叫做直线的倾斜角.
x
y
O
规定：当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为0°
p
o
y
x
直线倾斜角的范围为：
追问2：当直线和轴平行或重合时，其倾斜角大小是多少？直线的倾斜角在什么范围内变化？
p
o
y
x
p
o
y
x
y
p
o
x
注：任何一条直线都有唯一确定的倾斜角与之对应。方向相同的直线其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等。
辨析1：判断正误.
(1)在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角.（ ）
(2)方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等.（ ）
(3)方向不同的直线，倾斜角可能相等.（ ）
(4)可以用倾斜角表示一条直线的倾斜程度，也就表示了直线的方向.（ ）
√
√
√
×
问题2：在平面直角坐标系中，设直线的倾斜角为.
(1)已知直线经过，，与，的坐标有什么关系？
(2)类似地，如果直线经过，，与，的坐标又有什么关系？
(3)一般地，如果直线经过两点，，，那么与，的坐标有怎样的关系？
直线的倾斜角与直线上的两点，的坐标有如下关系：.①
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母表示，即.②
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
倾斜角 零角 锐角 直角 钝角
斜率与倾斜角对应关系
升高量
前进量
问题3：日常生活中，还有没有表示倾斜角的量？
日常生活中常用“坡度”表示倾斜面的倾斜程度：坡度=升高量/前进量.
倾斜角 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率
（1）倾斜角是90°的直线没有斜率.
（2）直线都有倾斜角，但不一定都有斜率
注 意
问题4：直线的倾斜角越大,斜率越大
时,斜率越大,倾斜角越大;
时,斜率越大,倾斜角越大.
斜率范围：（-∞，+∞）
辨析2：判断正误.
(1)倾斜角为的直线的斜率为1.（ ）
(2)直线斜率的取值范围是.（ ）
辨析3：如图所示， 直线的倾斜角为（ ）
. . . .不存在
√
×
斜率公式
问题5: 已知两点， ，，求直线的斜率
当直线平行于y轴，或与y轴重合时，上述公式不适用。你能解释吗？
直线的方向向量的坐标为，当直线与x轴不垂直时，.
此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标是，即.
因此，若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为.
例1：如图，已知，，，求直线，，的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
解：直线的斜率；
直线的斜率；
直线的斜率.
由及可知，直线与的倾斜角均为锐角；
由可知，直线的倾斜角为钝角.
1.已知直线的斜率或者倾斜角，求出直线对应的倾斜角或斜率：
（1）；（2）；（3）；（4） .
解：（1）；
（2） ；
（3）；
（4）.
2.设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.或
【答案】
3.(多选）已知点的坐标为，在坐标轴上有一点，若，则点的坐标可能为（ ）.
. . . .
【答案】
图示
倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180°
斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0
斜率与倾斜角对应关系
时,斜率越大,倾斜角越大;
时,斜率越大,倾斜角越大.
斜率范围：（-∞，+∞）