2.2.1 直线的点斜式方程 课件 （共17 张PPT） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册

(共17张PPT)
2.2.1 直线的点斜式方程
1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程；
2.掌握直线的点斜式方程和斜截式方程，并会用它们
求直线的方程；
3.会利用直线的点斜式和斜截式方程解决有关的问题.
一、确定直线的几何要素有哪些？
三、如何利用斜率判断两条直线的平行与垂直？
二、过两点的直线l的斜率公式是什么？
问题1：在平面直角坐标系中，一条直线上任意一点的坐标与直线上一点 和直线斜率之间的关系如何表示？
如图，设是直线上不同于点的任意点，
因为直线斜率为，由斜率公式得，
整理得.
(x，y)
由斜率公式得，整理得
.
问题2：直线上每一个点的坐标都满足方程吗？
当时，这时点与重合，点在直线上；
当时，有，即，这时直线斜率为.
问题3：坐标满足关系式的每一个点都在直线上吗？
因为直线和直线的斜率都为，且都过点，所以它们重合，点在直线上.
我们把方程称为过点P0(x0，y0),且斜率为k的直线l的方程。
方程由直线上一个定点P0(x0, y0)及该直线的斜率k确定, 我们把它叫做直线的点斜式方程, 简称点斜式.
x
y
O
P0(x0, y0)
P(x, y)
l
不是等价的，前者表示整条直线，后者表示去掉点P(x0, y0)的一条直线．
追问 方程与方程等价吗？
当直线的倾斜角为0°时，直线的方程是什么？为什么？
当直线的倾斜角为90°时，直线的方程是什么？为什么？
当直线l的倾斜角为0°时, tan0°=0, 即k=0, 这时直线l与x轴平行或重合, 直线l的方程为.
特别地x轴的方程为y =0.
当直线l的倾斜角为90°时, 直线l的斜率不存在，这时l与y轴平行或重合, 直线l的方程不能用点斜式表示, 此时直线l的方程为.特别地y轴的方程为x =0
直线的点斜式方程不能表示所有的直线，
不能表示垂直于x轴的直线（因为斜率不存在）
思考1
思考2
归纳总结
例1：已知直线经过点，且倾斜角，求直线的点斜式方程，并画出直线.
解：直线过点，且倾斜角，则直线斜率，代入点斜式方程 ，得
即
1. 写出下列直线的点斜式方程:
(1) 经过点A(-2, 3), 斜率是-1;
(2) 经过点B(3, 2), 倾斜角是45°;
(3) 经过点C(0, -2), 倾斜角是0° ;
(4) 经过点D(4,－2), 倾斜角是
2.填空题：
(1) 已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是___, 倾斜角是____ ,过定点_______;
(2) 已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率是___, 倾斜角是___,过定点___________.
135°
30°
（1）
（2）
（3）
（4）
-1
（-1,5）
（-1,0）
问题4：如右图所示，该如何表示过点，斜率为的直线的方程？
（0，b）
由点斜式方程知，即.
我们把直线l与y轴的交点（0，b）的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距.
把方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式.
几何意义：k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距.
截距是距离吗？
思考
问题5：斜截式方程与一次函数之间有什么区别与联系吗？
区别：对于，从函数的角度看，它表示的是自变量x与因变量y之间的对应关系；而从直线方程的角度看，它表示的是平面直角坐标系中一条直线上点的坐标所满足的代数关系.它们所讨论的问题是不一样的.另外，一次函数中的x的系数k≠0，否则就不是一次函数了；但直线的斜截式方程中的k可以为0，表达与x轴平行或重合的直线.
联系：一次函数的解析式与直线的斜截式方程的形式一致，一次函数的图象是一条直线，就是方程的直线.
3. 写出下列直线的斜截式方程:
(1) 斜率是-1，在y轴上的截距是-3;
(2) 斜率是3，在y轴上的截距是-2.
(3) 在y轴上的截距是4,且与x轴平行;
(4) 倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(5) 斜率为2，与x轴的交点为(5,0);
(6) 斜率为2，与y轴的交点到原点的距离为5
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
例2 已知直线，，试讨论：
（1）的条件是什么？（2）的条件是什么？
解：（1）若，则，又与y轴的交点不同，即
反之，若，，则.
（2）若，则，反之，若，则。
对于直线，
归纳总结
4.根据给的条件，试确定a的值
(1)当a为何值时，直线与直线平行？
(2)当a为何值时，直线与直线垂直？
解：（1）若直线，则有
,
解得.
（2）若直线，则有
,
解得.
5.已知直线l过点A(2，－3)．
(1)若l与直线y＝－2x＋5平行，求其方程；
(2)若l与直线y＝－2x＋5垂直，求其方程．
解：
(1)已知直线方程为y＝－2x＋5，又l与其平行，则可设l的方程为y＝－2x＋b.
∵l过点A(2，－3)
∴－3＝－2×2＋b，则b＝1.
∴直线l：y＝－2x＋1
(2)已知直线 y＝－2x＋5的斜率为－2，l与其垂直，
可设l的方程为,
又∵l过点A（2，-3），∴，则c=-4.
∴直线l： .
本节课你学会了哪些主要内容？
形式 条件 直线方程 应用范围
点斜式 直线过点(x0, y0), 且斜率为k
斜截式 在y轴上的截距为b,且斜率为k
在使用这两种形式求解直线方程时，若斜率存在与否难以确定，应分“斜率存在”和“斜率不存在”这两种情况分别考虑，以免丢解.
斜率k存在
斜率k存在
x轴所在直线的方程是: y=0
y轴所在直线的方程是: x=0
注 意