2.2.3 直线的一般式方程 课件（共18张PPT） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册
文档属性
| 名称 | 2.2.3 直线的一般式方程 课件（共18张PPT） 2024~2025学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 6.8MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-23 22:35:35 | ||
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文档简介
(共18张PPT)
2.2.3 直线的一般式方程
1.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系；
2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化；
3.能运用直线的一般式方程解决有关问题.
形式 方程 适用条件
点斜式 斜率存在的直线
斜截式 斜率存在的直线
两点式 斜率存在且不为
截距式 斜率存在且不为，不过原点
直线的方程
问题1：由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形.
(1)斜率是,经过点；
(2)在轴和轴上的截距分别是,;
(3)经过两点，;
(4)在轴上的截距是,倾斜角是.
【答案】 (1)；(2)=1；
(3)； (4).
同一直线
都可以化简为
思考1：平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于，的二元一次方程表示吗？
直线
斜率存在
斜率
不存在
0
都可以用,（，不同时为）表示
追问：反之，任意一个关于的二元一次方程都表示一条直线吗？
（，不同时为）
过点
垂直于轴
任意一个关于的二元一次方程都表示一条直线
我们把关于的二元一次方程
(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.
注：①当时，方程可化为，则 是斜率， 是y轴上的截距；
②当时，方程可化为,表示过点，且垂直于x轴的直线.
一般式方程的结构特征：
①要满足A 、B不能同时为0；
②一般式结构特点：左边“x,y,常数依次排列”，右边为“0”；
③可以表示任意直线；
④A>0,A 、B 、C一般是非分式.
1. 斜率为，且在轴上截距为的直线的一般式方程是( )
. .
. .
2. 在直角坐标系中，直线的倾斜角是( )
. . . .
C
C
3.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线．( )
(2)任何一条直线的一般式都能与其他四种形式互化．( )
(3)关于的二元一次方程(不同时为)一定表示直线．( )
(4)对于二元一次方程，当时，方程表示斜率
不存在的直线．( )
【答案】
问题2：在方程中，为何值时，方程表示的直线：
①平行于轴 ②平行于轴 ③与轴重合 ④与轴重合 ⑤过原点
解析：
① 当A=0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与 x 轴平行；
② 当B=0，A≠0，C≠0 时，方程表示的直线与 y 轴平行；
③ 当 A=0，B≠0，C=0时，方程表示的直线与 x 轴重合 ；
④ 当 B=0，A≠0，C=0 时，方程表示的直线与 y 轴重合；
⑤ 当C=0时，方程表示的直线过原点.
4. 已知直线经过点，，求直线的点斜式、斜截式和一般式方程，并根据方程指出直线在轴、轴上的截距.
解：因为，
所以点斜式方程为，
斜截式方程为，
整理得一般式方程为，
直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为.
知识点拨：
在x轴上的截距，令y=0；
在y轴上的截距，令x=0.
问题3：如果直线的 l1，l2 的一般式方程为, , 若 l1 与 l2 平行，则A1，A2，B1，B2，C1，C2
应满足什么条件呢？相交呢？垂直呢？重合呢？
（i）若且，l1//l2；
（ii）若，l1 与 l2 相交；
（iii）若A1A2+B1B2=0，l1⊥l2；
（iv），l1 与 l2 重合.
5.(1)已知直线与直线平行，求的值；
(2)当为何值时，直线与直线互相垂直？
解：(1)由，知：
①当时，显然与不平行；
②当时，，需.
解得或，∴的值为或.
(2)当为何值时，直线与直线互相垂直？
解：(2)由题意知，直线.
①若1，即时，直线与直线显然垂直.
②若1即时，直线与直线不垂直.
③若1且，则直线，的斜率都存在，
，.当时，即解得综上可知，当或时，直线.
直线平行、垂直问题技巧：
1. 直线：，直线：，
(1)若l1∥l2 或 A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1≠0；
(2)若l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2．(1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线方程可设为 Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
(2)与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线方程可设为 Bx－Ay＋m＝0.
6.已知直线的方程为求满足下列条件的直线的方程.
(1)过点，且与平行；
(2)过点，且与垂直.
解：(1)由与平行，可设的方程为.
将点代入上式得.
∴所求直线的方程为.
(2)由与垂直，可设的方程为.将点代入上式得.
∴所求直线的方程为.
点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式
直线方程 Ax+By+C=0
(A,B不同时为0)
已知条件 直线上一定点
,斜率 斜率k, y轴截距b 直线上两点 (x1,y1),(x2,y2) 非零截距a,b 系数
适用条件 斜率存在 斜率存在 斜率存在且不为 斜率存在且不为，不过原点 任何位置
直线的方程
2.2.3 直线的一般式方程
1.了解直线的一般式方程的形式特征，理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系；
2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化；
3.能运用直线的一般式方程解决有关问题.
形式 方程 适用条件
点斜式 斜率存在的直线
斜截式 斜率存在的直线
两点式 斜率存在且不为
截距式 斜率存在且不为，不过原点
直线的方程
问题1：由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形.
(1)斜率是,经过点；
(2)在轴和轴上的截距分别是,;
(3)经过两点，;
(4)在轴上的截距是,倾斜角是.
【答案】 (1)；(2)=1；
(3)； (4).
同一直线
都可以化简为
思考1：平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于，的二元一次方程表示吗？
直线
斜率存在
斜率
不存在
0
都可以用,（，不同时为）表示
追问：反之，任意一个关于的二元一次方程都表示一条直线吗？
（，不同时为）
过点
垂直于轴
任意一个关于的二元一次方程都表示一条直线
我们把关于的二元一次方程
(其中,不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式.
注：①当时，方程可化为，则 是斜率， 是y轴上的截距；
②当时，方程可化为,表示过点，且垂直于x轴的直线.
一般式方程的结构特征：
①要满足A 、B不能同时为0；
②一般式结构特点：左边“x,y,常数依次排列”，右边为“0”；
③可以表示任意直线；
④A>0,A 、B 、C一般是非分式.
1. 斜率为，且在轴上截距为的直线的一般式方程是( )
. .
. .
2. 在直角坐标系中，直线的倾斜角是( )
. . . .
C
C
3.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线．( )
(2)任何一条直线的一般式都能与其他四种形式互化．( )
(3)关于的二元一次方程(不同时为)一定表示直线．( )
(4)对于二元一次方程，当时，方程表示斜率
不存在的直线．( )
【答案】
问题2：在方程中，为何值时，方程表示的直线：
①平行于轴 ②平行于轴 ③与轴重合 ④与轴重合 ⑤过原点
解析：
① 当A=0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与 x 轴平行；
② 当B=0，A≠0，C≠0 时，方程表示的直线与 y 轴平行；
③ 当 A=0，B≠0，C=0时，方程表示的直线与 x 轴重合 ；
④ 当 B=0，A≠0，C=0 时，方程表示的直线与 y 轴重合；
⑤ 当C=0时，方程表示的直线过原点.
4. 已知直线经过点，，求直线的点斜式、斜截式和一般式方程，并根据方程指出直线在轴、轴上的截距.
解：因为，
所以点斜式方程为，
斜截式方程为，
整理得一般式方程为，
直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为.
知识点拨：
在x轴上的截距，令y=0；
在y轴上的截距，令x=0.
问题3：如果直线的 l1，l2 的一般式方程为, , 若 l1 与 l2 平行，则A1，A2，B1，B2，C1，C2
应满足什么条件呢？相交呢？垂直呢？重合呢？
（i）若且，l1//l2；
（ii）若，l1 与 l2 相交；
（iii）若A1A2+B1B2=0，l1⊥l2；
（iv），l1 与 l2 重合.
5.(1)已知直线与直线平行，求的值；
(2)当为何值时，直线与直线互相垂直？
解：(1)由，知：
①当时，显然与不平行；
②当时，，需.
解得或，∴的值为或.
(2)当为何值时，直线与直线互相垂直？
解：(2)由题意知，直线.
①若1，即时，直线与直线显然垂直.
②若1即时，直线与直线不垂直.
③若1且，则直线，的斜率都存在，
，.当时，即解得综上可知，当或时，直线.
直线平行、垂直问题技巧：
1. 直线：，直线：，
(1)若l1∥l2 或 A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1≠0；
(2)若l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2．(1)与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线方程可设为 Ax＋By＋m＝0(m≠C)；
(2)与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线方程可设为 Bx－Ay＋m＝0.
6.已知直线的方程为求满足下列条件的直线的方程.
(1)过点，且与平行；
(2)过点，且与垂直.
解：(1)由与平行，可设的方程为.
将点代入上式得.
∴所求直线的方程为.
(2)由与垂直，可设的方程为.将点代入上式得.
∴所求直线的方程为.
点斜式 斜截式 两点式 截距式 一般式
直线方程 Ax+By+C=0
(A,B不同时为0)
已知条件 直线上一定点
,斜率 斜率k, y轴截距b 直线上两点 (x1,y1),(x2,y2) 非零截距a,b 系数
适用条件 斜率存在 斜率存在 斜率存在且不为 斜率存在且不为，不过原点 任何位置
直线的方程