1.4.1 一元二次函数 课件 （共12张PPT）2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第一册

(共12张PPT)
1.4.1 一元二次函数
1.理解函数y=ax2(a≠0)与y=(x-h)2+k(a≠0)及y=ax2+bx+c(a≠0)的图象之间的关系.
2.掌握二次函数的概念、表达式、图象与性质.
3.会用配方法解决有关问题、能熟练地求二次函数的最值.
在初中，我们学习了一元二次函数，认识这个
函数的过程是从 开始的，是由简到繁的过程(如图).
一元二次函数在高中也是很重要很常见的一种函数，因此，今天我们要更加深入地学习这个函数——一元二次函数.
一元二次函数：一元二次函数都可以通过配方化为
，顶点为，
若设，，则有（顶点式），通常把一元二次函数的图象叫作抛物线.
例如：一元二次函数通过配方可化为，其图象为开口向上，以为对称轴，为顶点的抛物线.
一、一元二次函数
当时，向左平移个单位长度
当时，向右平移个单位长度
当时，向下平移个单位长度
当时，向上平移个单位长度
二、一元二次函数图像的变换规律
一元二次函数的性质：
(1)函数的图象是一条抛物线，顶点坐标是 对称轴是直线.
(2)当时，抛物线开口向上;
在区间上，函数值随自变量的增大而减小;
在区间上，函数值随自变量的增大而增大；
函数在处有最小值，记 作.
当时，抛物线开口向下;
在区间上，函数值随自变量的增大而增大;
在区间上，函数值随自变量的增大而减小；
函数在处有最大值，记 作.
三、一元二次函数的性质
例1 已知一元二次函数.
（1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到；
（2）指出它的图象的对称轴，试述函数的变化趋势及最大值或最小值.
解：
(1)配方，得
，所以函数的图象可
由函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到.
(2)由(1)可知，该函数的的对称轴为，其图象开口向上，
在区间上，函数值随自变量的增大而减小，
在区间上，函数值随自变量的增大而增大，
函数在处取得最小值3，即
练习1：用配方法求出下列函数图象的对称轴及函数的最大值或最小值.
（1）; （2）.
解：(1)配方，得，
所以该函数的的对称轴为，其图象开口向上，
在区间上，函数值随自变量的增大而减小，
在区间上，函数值随自变量的增大而增大，
函数在处取得最小值，即
解：(2)配方，得，
所以该函数的的对称轴为，其图象开口向上，
在区间上，函数值随自变量的增大而增大，
在区间上，函数值随自变量的增大而减小，
函数在处取得最大值，即
练习2：已知一元二次函数.
（1）指出它的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到；
（2）指出它的图象的对称轴，试述函数值的变化趋势及最大值或最小值.
解：(1)配方，得，
所以函数的图象可由的图象向右平移4个单位长度，
再向上平移10个单位长度得到.
(2)所以该函数的的对称轴为，其图象开口向下，
在区间上，函数值随自变量的增大而增大，
在区间上，函数值随自变量的增大而减小，
函数在处取得最大值，即
自我提升:（1）设二次函数的图象顶点为，与轴的两个交点间的距离为6，求二次函数的函数式；
待定系数法
解： 因为二次函数的图象顶点为，
设函数为，即
抛物线与轴的交点的横坐标即方程的根，
设两根为则，
由韦达定理，
，得，
所以二次函数为.
自我提升:（2）已知二次函数图象过点，图象向左平移2个单位后关于轴对称，向下平移1个单位后与轴只有一个交点，求二次函数的函数式.
待定系数法
解：由题意，变换后的函数图象，关于轴对称，且与轴只有一个交点，
所以变换后的函数图象顶点就在原点
设此时的函数为，向上平移1个单位为，
再向右平移2个单位为，
所以原来的二次函数为，
又因为原来的二次函数的图象过点，所以将代入， 得，
故所求二次函数为，即.
根据本节课关键词“一元二次函数”，说说你学到了哪些知识？
1.函数性质：
一元二次函数的最值
一元二次函数 y 随 x 的变化而变化的情况
2.一元二次函数的图象变换