1.4.2 一元二次不等式及其解法 课件（共19张PPT） 2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第一册

(共19张PPT)
1.4.2 一元二次不等式及其解法
1. 了解一元二次不等式和一元二次不等式解集的概念.
2. 能正确理解“三个二次”的关系、会解一元二次不等式.（重点）
3.掌握含有参数的一元二次不等式的解法.（难点）
由题意，只需分别解出使不等式，成立的实数的取值范围，即可确认两车的实际行驶速度是否违法.
刹车距函数
汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续向
前滑行一段距离才能停住，一般称这段距离为“刹车距”.刹
车距(单位)与车速(单位:)之间具有确定的函数关
系，不同车型的刹车距函数不同.它是分析交通事故的一个重
要数据.
甲、乙两辆轿车相向而行，由于突发情况，辆车相撞.交警在现场测得甲车的刹车距超过，但不足，乙车的刹车距超过，但不足.已知这两辆汽车的刹车距函数分别如下：，，车速超过属于违法，试问，哪一辆车违法超速行驶？
情景导入
一元二次不等式在生活中的应用很广泛，同时它在高中数学学习中也很常见很重要，因此，今天我们要更加深入地学习这个不等式——一元二次不等式.
一般地，形如，或，或，
或(其中，为未知数，均为常数，且)的不等式
叫作一元二次不等式，使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合
叫作这个一元二次不等式的解集.
例如：使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合
为，所以该一元二次不等式的解集为；
使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合为，所以该一元二次不等式的解集为.
一、一元二次不等式
类比初中数学中用一次函数的图象求解一次不等式，我们可以利用一元二次函数的图象求一元二次不等式的解集.
以求解不等式为例
首先画出一元二次函数的图象(如图)并观察：
可知抛物线与轴的交点的横坐标分别是，
即当时，
当时，一元二次函数的图象
在轴下方，满足，
所以一元二次不等式的解集为.
二、一元二次不等式的求解方法
一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系
方程根的判别式
方程的实数根
函数的图象
不等式 的解集
的解集
两个不等实根
两个相等实根
无实根
一元二次不等式
的求解方法
二、一元二次不等式的求解方法
若一元二次不等式的解集为.
则一元二次不等式的解集为.
则一元二次不等式的解集为.
则一元二次不等式的解集为.
若要求一元二次不等式的解集，可将不等式左右两边都乘以，转换成上述形式求解.
例如：求的解集时，可先将不等式左右两边都乘以，转化成来求解集.
解一元二次不等式 的步骤：
(1)化成标准形式 ,或
,或.
(2)判定与0的关系，
对于的求出方程的实根，并写出不等式的解集，
对于的，根据函数图象判断解集为 还是R.
例2： 求不等式的解集.
解：因为方程的，
所以该方程有两个相等的实数根，解得，
由不等式对应的一元二次函数的图象可知，该函数开口向上，
且与轴仅有一个交点，
所以不等式的解集为.
例3： 求不等式的解集.
解：方法一：
因为方程的，
所以该方程有两个不相等的实数根，解得，
由不等式对应的一元二次函数的图象可知，该函数开口向上，且与轴有两个交点，
所以不等式的解集为.
例3 ：求不等式的解集.
方法二：
因为方程的，
所以该方程有两个不相等的实数根，解得，
因此，
所以原不等式可转化为，即
所以不等式的解集为.
，或，
例4 ：求关于的不等式的解集，其中是常数.
解：依题意知方程的实数根为，
且一元二次函数的图象是开口向上的抛物线.
(1)当时，函数与轴的交点如图1所示，所以原不等式的解集为.
(2)当时，函数与轴的交点如图2所示，所以原不等式的解集为.
(3)当时，函数与轴的交点如图3所示，所以原不等式的解集为.
综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式
的解集为；当时，原不等式的解集为.
练习1：画出下列函数图象，并分别确定使的实数的取值范围：
(1)； (2)； (3)； (4).
解：（1）如图所示，
函数图象开口向上，
与轴交于两点
，
所以使的实数
的取值范围是
解：（2）如图所示，
函数图象开口向上，
与轴交于点，
所以使的实数
的取值范围是
解：（3）如图所示，
函数图象开口向下，
与轴交于两点
，
所以使的实数
的取值范围是
解：（4）如图所示，
函数图象开口向上，
与轴交于两点
，
所以使的实数
的取值范围是
练习2：求下列不等式的解集：
(1)； (2)； (3)； (4); (5); (6).
解：（1）原不等式可转化为
，
所以原不等式的解集为
.
解：（3）原不等式可转化为
，
所以原不等式的解集为
.
解：（4）原不等式可转为
，所以原不
等式的解集为
.
解：（5）原不等式可转化为
，
所以原不等式的解集为
.
解：（6）原不等式可转化为
，
所以原不等式的解集为
.
解：（2）因为函数
的图象开口向上，
，
所以原不等式的解集为
.
练习3：求关于的不等式的解集，其中是常数.
解：原不等式可转化为，
当，即时，原不等式的解集为，
当，即时，原不等式的解集为，
当，即时，原不等式的解集为，
综上所述，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为.
拓展提升：已知不等式的解集为，求不等式的解集；
解:(1)因为不等式的解集为，
所以方程的解为 解得，
所以不等式即为，
化简得，
所以不等式的解集为.
拓展提升：已知关于的不等式的解集为，求实数的取值范围.
解：根据题意，分两种情况
①当时，即.
若，不等式变为，成立，符合条件；
若，不等式变为，解集为，不符合题意.
②当时，不等式为一元二次不等式，要使解集为，
则对应二次函数抛物线开口只能向上，且，
即，解得
即 综上，求实数的取值范围.
根据本节课关键词“一元二次不等式及其解法”，说说你学到了哪些知识？