1.4.3 一元二次不等式的应用 课件（共15 张PPT） 2024-2025学年高一数学北师版（2019）必修第一册

(共15张PPT)
1.4.3 一元二次不等式的应用
1.能从实际情境中抽象出一元二次不等式，并应用一元二次不等式解决实际问题.
2.会应用一元二次不等式解决恒成立、讨论一元二次方程的根等问题.
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一、应用一元二次不等式解决实际问题
通过分析实际问题建立数学模型，然后利用已知量，已知条件，设出未知量，从而列出一元二次不等式来解决问题的过程.
利用不等式解决实际问题的一般步骤如下：
(1)选取合适的字母表示题中的未知数；
(2)由题中给出的不等关系列出关于未知数的不等式(组)；
(3)求解所列出的不等式(组)；
(4)结合题目的实际意义确定答案.
二、应用一元二次不等式解决恒成立问题
规律总结：一元二次不等式恒成立时要满足的条件：
(1)若恒成立(或解集为R)，则；
(2)若恒成立(或解集为R)时，则；
(3)若恒成立(或解集为R)时，则；
(4)若恒成立(或解集为R)时，则.
通过应用一元二次不等式的相关性质、对应方程的根、对应函数的图象来解决含参数的一元二次不等式恒成立问题的过程.
三、应用一元二次不等式讨论一元二次方程的根
(1)当时，方程才有根，故在用根于系数关系时不要忽略；
(2);但一般不化成求解，
而是转化为前面的形式求解，
即.
(3)一元二次方程根的分布问题，数形结合法是解决此类问题的好方法．
应用一元二次不等式讨论方程的根规律总结：
例5 某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满.该农家院欲提高档次，
并提高租金.经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间. 每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？
解：设每间客房日租金提高个10元，即每间客房日租金提高到元，
则客房出租数减少 x 间，此时客房的租金总收入为元，
又因为每天客房的租金总收入不低于1800元，所以，
化简，得.解得，所以，
由题意可知:每间客房日租金不得超过元，即，所以，
因此，该农家院每间客房日租金提高的空间是元.
例6 为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策:由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂 价为每件12元，每月的销售量 y(单位:件)与销售单价 x(单位:元)之间的关系近似满足一次函数：.
(1)设袁阳每月获得的利润为 w(单位:元)，写出每月获得的利润 w 与销售单价 x 的函数关系
(2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？
解：(1)依题意可知每件的销售利润为元，每月的销售量为件,
所以每月获得的利润 w 与销售单价 x 的函数关系为
例6 为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策:由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂 价为每件12元，每月的销售量 y(单位:件)与销售单价 x(单位:元)之间的关系近似满足一次函数：.
(2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？
(2)由每月获得的利润不小于3000元，得，
化简，得，解得，
又因为这种节能灯的销售单价不得高于25，所以，
设政府每个月为他承担的总差价为 p 元，则，
由，得，
故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为.
例7 关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围.
解：
原不等式等价于对恒成立，
当时，原不等式等价于，因为对恒成立，
当时，由题意得，
，
综上，的取值范围为.
例8 关于x的方程的两根为正数，求的取值范围．
解：
依题意得
，
所以的取值范围为.
练习1：某出版社以每本25元的价格发行一种图书，可发行8000本，经市场调研，一本书的定价每提高1元，发行量就减少200本.要使发行总收入不低于200000元，这种图书的最高定价是多少？
解：设该书每本定价提高了元时，发行总收入为元，依题意得，
，
要使发行总收入不低于200000，则，
即，所以，当，该图书每本售价为40元，
所以这种图书的最高定价是40元.
练习2：已知汽车从踩刹车到停住所滑行的距离(单位:)与速度(单位:)的平方及汽车总质量成正比，设某辆卡车不装货物以59的速度行驶时，从踩刹车到停住滑行了20.如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面20处有障碍物，这是为了能在离障碍物5以外处停车，最大限制时速应是多少？(结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过1)
解：设货车总质量为，依题意得，
当这辆卡车不装货物且以59的速度行驶时，得，
所以当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，得，
所以，即，
方程的两根为，由于，
所以的解集为，所以最大限制速度为26.
提高题：当时，一元二次不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：方法一，对于二次函数，抛物线开口向上，
当时，一元二次不等式恒成立，
则当时函数值，且当时函数值.
得，解得.
方法二，将不等式变形为，设，在区间上不等式恒成立，则，在区间上，函数当时，取得最小值
所以的取值范围是.
本节课你学到了哪些知识？
1.一种方法：数学建模
2.两种思想：分类讨论、 数形结合
3.三种应用：
（1）应用一元二次不等式解决实际问题
（2）应用一元二次不等式解决恒成立问题
（3）应用一元二次不等式讨论一元二次方程的根