4.1 整式（同步课件）-七年级数学上册同步精品课堂（青岛版2024）

第4章 整式的加法与减法
4.1 整式
学习目标
1. 通过具体实例了解单项式、多项式、整式及有关概念，并能够厘清概念之间的关系；
2. 了解单项式的系数和次数，多项式的项和次数的概念；
3. 经历用整式表示具体情境中数量关系的过程，发展抽象能力。
问题引入
上一章我们认识了代数式，它可以像数一样进行运算吗？
问题引入
2022 年，我国上海港集装箱的吞吐量突破 4 730 万标准箱，连续13年蝉联全球第一。在全球货物运输中，集装箱是被广泛使用的一种大型成组工具。为便于使用机械设备装卸和搬运，实现船舶、港口、公路等多种方式的高效联运，集装箱的规格、型号都有一定的标准。
图中两个集装箱均为长方体，宽均为 a m，高均为 b m，其中一个的长为 9 m，另一个的长为 6 m。它们的体积分别是多少？它们的总体积是多少？
体积分别是9abm3、6abm3，
总体积是
观察与发现
(1) 黄豆是一种富含蛋白质的食物，每克黄豆的蛋白质含量约为0.363g，则 x g黄豆的蛋白质含量约为多少?
(3)某志愿团有八年级学生 n 人，七年级学生比八年级学生的一半少1人，用代数式表示该志愿团七年级学生的人数。
(2)如何表示 p2 的相反数?
0.363x g
－p2
?
(????????n－1)人
?
观察与发现
(4)下图是某公寓的建筑平面示意图，用代数式表示这间公寓的建筑面积。
图4.1-1 (单位：m)
(x2＋5x＋3) m2
思考与交流
观察代数式 9ab，6ab，0.363x，－p2，它们有什么特点?
?
代数式 ????????n－1，x2＋5x＋3 又有什么特点?
?
只有乘法运算
既有乘法运算，又有加减运算
9ab＝9×a×b
－p2＝－1×p×p
????????n－1＝ ????????n＋(－1)
?
概括与表达
从运算的角度来看，9ab，6ab，0.363x，－p2，这些代数式都是数与字母的乘积，像这样的代数式叫作单项式 (monomial)。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
?
9ab ＝ 9 × a × b
概括与表达
数字因数
单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数。
字母因数
对于单独的一个非零的数，规定它的次数为0。
－p2 ＝－1× p × p
新知巩固
1.填表：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}单项式
－2x2
a3b
6

x2y4
系数
次数
－2
2
1
4
6
0
????????
?
1
????????
?
6
新知巩固
2. 下列代数式－b，0，????????，????????，????????????????，???????????????? ，????????????，a－1，2xy，x2+y2，π3ab2c3d中，单项式有几个？分别指出单项式的系数和次数。
?
归纳与总结
1.单项式里绝对不能出现加号或减号；
2.分母中含有字母的式子不是单项式；
3.π是数字不是字母;
4.不要把数字的指数误看成字母的指数。
概括与表达
????????n－1，x2＋5x＋3可以看作几个单项式的和。像这样，几个单项式的和叫作多项式 (polynomial)。
?
概括与表达
????????n －1
?
x2 ＋ 5x ＋ 3
多项式中的每个单项式都叫作这个多项式的项。
其中不含字母的项叫作常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数。
例题讲解
例1 判断下列代数式是单项式还是多项式。如果是单项式，指出它的系数和次数；如果是多项式，指出它的各项，并指出这个多项式是几次几项式。
(1)3a；(2) ????????mn；(3) －xy3；(4)n3－1；(5)a2＋2ab＋b2；(6)2x2－3x－4。
?
解：(1) 3a是单项式，系数是3，次数是1。
(2) ????????mn是单项式，系数是???????? ，次数是2。
(3) －xy3是单项式，系数是－1，次数是4。
?
例题讲解
例1 判断下列代数式是单项式还是多项式。如果是单项式，指出它的系数和次数；如果是多项式，指出它的各项，并指出这个多项式是几次几项式。
(1)3a；(2) ????????mn；(3)－xy3；(4)n3－1；(5)a2＋2ab＋b2；(6)2x2－3x－4。
?
(4) n3－1是多项式，它的项分别为n3和－1，它是三次二项式。
(5) a2＋2ab＋b2是多项式，它的项分别为a2，2ab和b2，它是二次三项式。
(6) 2x2－3x－4是多项式，它的项分别为2x2，－3x和－4，它是二次三项式。
注意：命名必须大写
归纳与总结
一个多项式的次数和项数分别是多少，就叫几次几项式。
多项式2x2－3x－4的各项是按字母x的次数从大到小的顺序排列的，这种排列叫作多项式按字母x的降幂排列；还可以将这个 多项式写成－4－3x＋2x2的形式，这种排列叫作多项式按字母x的升幂排列。
解：(1) ????????－????????＋????????????????－????????????????????－????????????????????按字母????的降幂排列：
－????????＋????????????????－????????????????????－????????????????????＋????????；
(2) ????????－????????＋????????????????－????????????????????－????????????????????按字母????的升幂排列：
－????????＋????????????????－????????????????????－????????????????????＋????????。
?
例题讲解
例2 把多项式????????－????????＋????????????????－????????????????????－????????????????????重新排列：
(1) 按字母????的降幂排列；
(2) 按字母????的升幂排列。
?
新知巩固
1. 分别指出下列多项式的各项及各项的系数，并指出是几次几项式。
(1) 6x＋1； (2) 2a＋3b；
解：(1) 6x＋1的项是6x和1，各项系数分别为6和1，它是一次二项式。
(2) 2a＋3b的项是2a和3b，各项系数分别为2和3，它是一次二项式。
新知巩固
1. 分别指出下列多项式的各项及各项的系数，并指出是几次几项式。
(3)－????????m2－7m＋5； (4) 3x2－5xy＋???????? y2。
?
(3) －????????m2－7m＋5的项是－????????m2，－7m和5，各项系数分别为－????????、－7和5，它是二次三项式。
?
(4) 3x2－5xy＋???????? y2的项是3x2，－5xy和???????? y2，各项系数分别为3、－5和 ????????，它是二次三项式。
?
新知巩固
解：(1)按a的升幂排列是－????????＋??????????????－????????????????＋????????；
(2)按a的降幂排列的是????????－??????????????＋????????????????－????????．
?
2. 把多项式????????－????????－????????????????＋????????????????重新排列．
(1) 按a升幂排列；
(2) 按a降幂排列．
?
归纳与总结
(1)多项式的各项应包括它前面的符号；
(3)要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的；
(4)一个多项式的最高次项可以不唯一。
(2)多项式没有系数的概念，但其每一项均有系数，每一项的系数也包括前面的符号；
概括与表达
单项式和多项式统称为整式 (integral expression)。
整式
单项式
多项式
请你仔细想想单项式、多项式、整式、代数式之间有什么联系与区别？
分式
有理式
无理式
代数式
1. 写出同时符合下列条件的所有单项式。
① 含有两个字母，这两个字母是x，y；
② 系数为－2，次数为4
解：符合条件的单项式有－2xy3，－2x2y2，－2x3y。
拓展与提升
解：根据题意可得：关于字母a，b的多项式，每项的次数都是3的多项式最多有4项，
如：????????????+????????????+????????+????????（答案不唯一）．
?
2．一个关于字母a，b的多项式，每项的次数都是3，这个多项式最多有几项，试写出一个符合要求的多项式。
拓展与提升
拓展与提升
解：(1) ∵ ????－????????????－????????－????＋????是关于????的一次式，
∴????－????=????，解得????＝????，
∴－(????＋????)＝－(????＋????)＝－????。
?
3．已知整式????－????????????－????????－????＋????．
(1)若它是关于????的一次式，求????的值并写出常数项；
?
拓展与提升
3．已知整式????－????????????－????????－????＋????．
(2)若它是关于????的三次二项式，求????的值并写出最高次项；
?
(2) ∵ ????－????????????－????????－????＋????关于????的三次二项式，
∴????－????≠????－(????＋????)＝????，
解得????＝－????，
∴最高次项为：－????????????．
?
拓展与提升
3．已知整式????－????????????－????????－????＋????．
(3)在(2)的基础上，若x＝－1，求这个整式的值。
?
(3)由(2)得????－????????????－????????－????＋????=－????????????－????????，
将????=－????代入得－????????????－????????＝－????×(－????)????－????×(－????)＝????＋????＝????。
?
拓展与提升
解：∵关于x的多项式－????????????－????????????＋????－????????－????不含二次项和一次项，
∴－????＝????，????－????＝????，
∴????＝????，????＝????。
?
4．若关于x的多项式－????????????－????????????＋????－????????－????不含二次项和一次项，求m、n的值．
?
1.单项式、多项式、整式的概念。
2.单项式的系数和次数，多项式的项和次数的概念
课堂检测
基础过关
1. 下列选项中，哪个是单项式（ 　）
A．x2+y2 B．3 C．????+???????? D．－????????
?
B
2. 在代数式????????+????????，?????????，????????+????????，????????，?????，?????????????，中，是整式的有（??? ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
?
B
课堂检测
基础过关
3．下列四个单项式的系数、次数正确的是（ ???）
A．????????????????系数为1，次数为3
B．?????????????????系数为????????，次数为2
C．????????????系数为1，次数为2
D．?????????????????系数为?????，次数为3
?
D
课堂检测
基础过关
4．关于多项式?????????????????+?????????????????????，下列说法错误的是（??? ?）
A．次数是7
B．常数项是?????
C．四次项的系数是5
D．按y的降幂排列为??????????????????????????????????????
?
C
课堂检测
基础过关
5．下列各式①?????????，②????????????，③?????????????????，④?????????????????，⑤????????>????，⑥?????，⑦????.????+????，⑧?????????????中，是整式的有 ，是单项式的
有 ，是多项式的有 ．（填序号）
?
③④⑦
①②③④⑥⑦
①②⑥
课堂检测
基础过关
6. 已知代数式(m＋1)x|m|是关于x的一次单项式，则m的值是______。
1
7. 多项式－32a2b＋a2－7是____次____项式，其中最高次项是________，最高次项的系数是______，常数项是______。
?
三
三
－32a2b
－9
－7
课堂检测
基础过关
解：(1)?????????????????????????+????的项数为3，次数为2，二次三项式；
(2)????+????+?????????的项数为4，次数为1，一次四项式；
(3)?????????+????????????+????????????????????的项数为3，次数为4，四次三项式。
?
8．写出下列各多项式的项数和次数，并指出是几次几项式。
(1) ?????????????????????????+????；(2)????+????+?????????；(3)?????????+????????????+????????????????????。
?
课堂检测
基础过关
9．已知?????????????+?????????????????????????????????????????是关于x、y的六次多项式，求m的值，并写出该多项式．
?
解：∵?????????????+?????????????????????????????????????????是关于x、y的六次多项式，
∴????+????=????，解得????=????，
∴多项式是?????????????+?????????????????????????????????????????。
?
课堂检测
基础过关
解：原式=????????????????????+???????????????????????????????????????????????????+?????????????????????+?????????????????????????
=????????????????????+????????????????+?????????????????????+??????????????????????????????????????，
∵原式不含三次项，
∴?????????=????，????????=????，
∴????=????，????=????，
∴原式=??????????????????+????????????????????+????????????????。
?
10．已知关于x、y的整式????????????????????+???????????????????????????????????????????????????+?????????????????????+?????????????????????????中不含三次项，求a、b的值，并将整式按y的升幂排列．
?
课堂检测
能力提升
1．在代数式?????????????????，????+????????，????，????????????????????，????????????，????????+????????，?????????，下列结论正确的是（ ??? ）
A．有????个多项式，????个单项式 B．有????个多项式，????个单项式
C．有????个多项式，????个单项式 D．有????个多项式，????个单项式
?
A
课堂检测
能力提升
2．下列说法正确的是（???? ）
A．单项式????既没有系数也没有次数
B．?????????????????????????是整式
C．多项式?????????????????+?????????????的项是????????，????????，????????，?????
D．????????????????????系数是????????，次数是2次
?
B
课堂检测
能力提升
3．代数式????????????????+?????????????????????????????+????????????是（ ??? ）
A．按x降幂排列 B．按x升幂排列
C．按y降幂排列 D．按y升幂排列
?
A
课堂检测
能力提升
4．若myn+(m-1)y+5是关于y的三次二项式，则m+n=______。
4
5．写出至少两个满足下列条件且只含有字母x，y的多项式：____________________________________________________
(1)是五次三项式；
(2)每一项的系数均为1或－1；
(3)每一项必须同时含有字母x，y，但不能含有其他字母；
(4)不含常数项。
?????????????????????????????+????????????，?????????????+?????????????????????????????????（答案不唯一）
?
课堂检测
能力提升
6．已知?????????????????????+????+??????????????????????????????是关于????、????的七次四项式，且它的最高次项的系数是????．
(1)求????、????的值；
?
解：(1) ∵多项式?????????????????????+????+??????????????????????????????是关于????、????的七次多项式，
且最高次项的系数是????，
∴????+????+????=????，?????=????，
解得：????=????，????=?????。
?
课堂检测
能力提升
6．已知?????????????????????+????+??????????????????????????????是关于????、????的七次四项式，且它的最高次项的系数是????．
(2)把这个多项式按????的降幂重新排列．
?
(2)根据（1）可得该多项式为：????????????????????+??????????????????????????????，
∴把这个多项式按????的降幂重新排列为?????????????+????????????????????+?????????????????。